1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为 ( )二、填空题2 =_3 =_4 =_5 =_6 =_7 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数8 证明存在 c(0，1) ，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；9 设 f(x)在(0，1)内可导，且 f(x) ，证明(1)中的 c 是唯一的10 求圆 x2+y2=2y 内位于抛
2、物线 y=x2 上方部分的面积11 求双纽线(x 2+y2)2=a2(x2-y2)所围成的面积12 抛物线 y2=2x 把圆 x2+y2=8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比13 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x2，C 1 的方程是 y= ，求曲线 C2 的方程14 设曲线 y=a+x-x3，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，
3、求 a15 曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积16 设平面图形 D 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积17 求曲线 y=3-x 2-1与 z 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积18 求由曲线 y=4-x2 与 z 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积19 曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积20 求摆线 (a0) 的第一拱绕 x 轴旋转
4、一周所得旋转体的体积21 设曲线 (0a4) 与 x 轴、y 轴所围成的图形绕 z 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)+V2(a)最大，并求最大值22 设一抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)与(1 ，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小22 设直线 y=kx 与曲线 y= 所围平面图形为 D1，它们与直线 x=1 围成平面图形为D223 求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值；24 求此时的 D1+D225 求摆线
5、 (0t2)的长度26 设曲线 ，过原点作切线，求此曲线、切线及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的表面积27 一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题2 【正确答案】
6、【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【试题解析】 方法一【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 S 1(c)=cf(c)，S 2(c)= ，即证明 S1(c)=S2(c)，或 cf(f)+ ，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在c(0，1)，使得
7、(c)=0，即 cf(c)+ f(t)dt=0，所以 S1(c)=S2(f)，命题得证.【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 令 h(x)=xf(x)- ，因为 h(x)=2f(x)+xf(x)0，所以 h(x)在0，1上为单调函数，所以(1) 中的 c 是唯一的【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 由【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令则双纽线的极坐标形式为 r2=所求面积为A=4A1=a2【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 设左边的面积为 S1，右边的面积为 S2，【知识模块】 一元函数积分学13 【
8、正确答案】 由题设 C：y=x 2，C 1：y= ，令 C2：x=f(y) ，P 点坐标为(x，y)，【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 设曲线 y=a+x-x3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，( ) ，由条件得因为 0，所以 4+2-3=0又因为(，0)为曲线 y=a+x-x3 与 x 轴的交点，所以有 +-3=0，从而有【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 取x，x+dx 1，2，dv=2x(x-1)(x-2)dx=-2nx(x-1)(x-2)dx，【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 取x，x+dx【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 取x，
9、x+dx 0，1， dv 1=32-(x2-1)2dx=(8+2x2-x4)dx，dv2=32-(1-x2)2dx=(8+2x2-x4)dx，【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 方法一 取x，x+dx -2，2，则 dV=2(3-x)(4-x2)dx，【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 y-a 2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，由题意得 ，解得 a=1 则切线方程为 y=2x-1，旋转体的体积为 V=【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y
10、 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4-a曲线可化为于是 V(a)=V1(a)+V2(a)= 令 V(a)= ，又 V(2)0，所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2)=【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2-a 因为 a0 ，所以 b0，抛物线与 z 轴的两个交点为 0， ，所以令 S(a)=0，得 a=-4，从而 b=6，所以当 a=-4，b=6，c=0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由方程组【
11、知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因为 S(k)=【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 设切点为 ，则过原点的切线方程为 将由曲线 在区间1，2上的一段绕 z 轴一周所得旋转面的面积为切线 在区间0，2上一段绕 x 轴一周所得旋转曲面面积为所求旋转曲面的表面积为 S=S1+S2=【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， dw=(2R-x)R2-(R-x)21gdx=x(2R-x)2gdx，【知识模块】 一元函数积分学
