1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a= ，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 g(x)= 则 g(x)在(1 ，2)内( )（A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点二、填空题3 =_4 =_5 =_6 =_7 maxx+2，x 2dx=_8 =_9 =_10 =_11 =_12 =_13 设 f(x)满足等式 xf(x)-f(x)= =_14 设函数 y=y(z)满足y= =_15 设 ，则 a=_三、解答题
2、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 S(x)=16 证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1) ；17 求18 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：19 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=0， f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得19 设 f(x)在(-a，a)(a 0) 内连续，且 f(0)=220 证明：对 0xa ，存在 01，使得 f(t)dt=xf(x)-f(-x)；21 求22 设23 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 X(-，+)有f(x)+f(x)1证明：f(x)1 24 设 f(x)在(-，+) 上有
3、定义，且对任意的 x，y(- ，+)有f(x)-f(y)x-y证明：25 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：26 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明：27 设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明：28 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时，29 设 f(x)在0，1上连续且 f(x)M证明：30 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令31 设 f(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1证明：32 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明：考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 26 答案与
4、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以两无穷小同阶但非等价，选(C) 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解
5、析】 maxx+2，x 2=当-1x2 时，maxx+2，x 2dx= +2x+C2 当 x2 时，maxx+2，x 2dx= +C3 由【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 4-【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】
6、一元函数积分学15 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 当 nx【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由 nx【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx注意到当 x+时，n+，且由夹逼定理得【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 (x)= ，因为 f(x)在0，1 上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)=0，(1)= 由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而
7、(x)=【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 F(x)= ，显然 F(x)在0，x上可导，且F(0)=0，由微分中值定值，存在 01，使得 F(x)=F(x)-F(0)=F(x)x，即【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 a n+an+2=上连续，tan nxtann+2，且 tannx，tan n+2x 不恒等，所以【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x)+f(x)，由f(x)+f(x)1得(x)e x，又由 f(x)有界得 (-)=
8、0，则 (x)=(x)-(-)= ，两边取绝对值得 ，所以f(x)1【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因为(b-a)f(a)=【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)-m0，f(x)-M0 ，从而【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 方法一 令 (x)= 因为 f(x)在a， b上单调增加，所以【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 当x1，2时，f(x)f(1) ，两边积分得 同理当 X1，2 时， f(2)f(x)，两边积分得 f(2) 同理 f(3)相加得 f(2)+f(n)【知识模块】 一元函数积分学28 【正
9、确答案】 方法一，当 x0，1时，因为 0k1，所以 kxx，又因为 f(x)单调减少，所以 f(kx)f(x)，两边积分得【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f()x，其中 介于 0 与 x 之间，因为f(0)=0，所以f(x) =f()xMx ，x 0，a，从而【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 由 1=f(1)-f(0)= 得 12=1=【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x)-f(a)=f(x)= ，由柯西不等式得【知识模块】 一元函数积分学
