1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )2 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )二、填空题3 =_4 求 =_5 计算 =_6 计算 =_7 计算 =_8 计算 =_9 设 f(x)= =_10 设 f(x)连续，且=_11 =_12 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(-x)=1，则 =_13 I(x)= 在区间-1，1上的最大值为 _14 设 f(x)的一个原函数为 =_15 y= 上的平均
2、值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明：17 设 f(x)在a，b上连续可导，证明：18 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明：19 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明：20 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：20 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，且 a121 确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值；22 求该最小值所对应的平面图形绕 X 轴旋转一周所得旋转体的体积23 求曲线
3、 y=3-x 2-1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积24 求椭圆 所围成的公共部分的面积25 计算 I=26 计算27 计算定积分28 证明： ，其中 a0 为常数29 证明：当 x0 时，f(x)=30 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足：f(tx1+(1-t)x2)tf(x1)+(1-t)f(x2)证明：31 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a ，b上的非负连续函数，且32 令 f(x)=x-x，求极限33 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥提出井口设井深
4、30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设，选(D)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t)-f(-t)为偶函数，所以 tf(t)-f(-t)dt 为奇函数，(A) 不对；因为 f(t2)为偶函数，所以 f(t2)dt 为奇函数，(C)不对；因为不确定 f2(t)
5、的奇偶性，所以(D)不对；令 F(x)= tf(t)+f(-t)dt，F(-x)= (-u)f(u)+f(-u)(-du)=F(x)，选(B)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 e 2-e【试题解析】 【知识模块】 一
6、元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ln3【试题解析】 令 I(x)= 时，I(x)0，当 x 为 I(x)在-1，1上的最小值点，又故 I(x)在-1，1上的最大值为 ln3【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因为 且 f
7、(a)=f(b)=0，所以【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令根据积分中值定理， ，其中a， b由积分基本定理，f(c)=f()+ ，取绝对值得【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 由泰勒公式，得 f(t)=【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由泰勒公式得 f(x)=，其中 介于 x 与之间，因为 f(x)0，所以有因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，于是 (x)0(axb)，【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 g(t)=Int(t0)，g(t)= ，则有g(t)g(x0)+g
8、(x0)(t-x0) gf(x)g(x0)+g(x0)f(x)-x0，两边积分，得【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 直线 y=ax 与抛物线 y=x2 的交点为(0，0)，(a，a 2)当 0a 1 时，S=S1+S2= 令 S=a2-时，S 1+S2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时，S=因为S= 0，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S1+S2 取最小值，而 S(0)S1+S2 时最小【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 旋转体的体积为【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分
9、绕 y=3 旋转所成的体积当 x0 时，y= dV1=32-3-(x2+2)dx=(2x2-x4+8)dx，dV2=32-3-(4-x2)2dx=(2x2-x4+8)dx，【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积则第一象限围成的面积为【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 I= ，令-sinx=u，则【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 方法一 令方法二 令 x=tant，则【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数积分学
10、29 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(x-x2)sin2nx=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0( 除 x=k(k=1，2，)外 f(x)0)，于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当x0，1时，(x-x 2)sin2nx(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2于是【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)取 x0= ，因为 (x)0，所
11、以 a(x)x(x)b(x)，又 ，于是有代入 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)+f(x0)x(x)-x0(x)，上述不等式两边再在区间a， b上积分，得【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 因为x+m=x+m( 其中 m 为整数)，所以 f(x)=x-x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)=对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W1=40030=12000J设拉力对绳所做的功为 W2，任取x ，x+dx 0，30，dW 2=50(30-x)dx，则W2= dW2=22500J设拉力对污泥做功为 W3，任取 t，t+dt 0，10，dW3=(2000-20t)3dt，则 W3= dW3=57000J，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2+W3=91500J【知识模块】 一元函数积分学
