1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 记 P=，则( )（A）PQR（B） QR P（C） QP R（D）RP Q二、填空题2 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r=cos3 ，则 L 所围成的平面图形的面积为_3 区域 D：(x 2+y2)2x2-y2 所围成的面积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 证明：5 设 f(x)=6 设 f(x)=7 设 f(x)=arcsin(x-1)2 且 f(0)=0，求 I=8 设 f(u)是连续函数，证明：9 设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy
2、1 时， f(x)-f(y)arctanx-arctany，又 f(1)=0，证明：10 证明： ，其中 a0 为常数11 证明：12 设 f(x)，g(x) 为a，b 上连续的增函数(0a b)，证明：13 设 f(x)在0，1上可导，且 f(x)M，证明：14 设函数 f(x)在0，2上连续可微，f(x)0，证明：对任意正整数 n，有15 设 f(x)在(-，+) 上是导数连续的有界函数，f(x)-f(x)1，证明：f(x)1 16 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，证明：17 已知 f(x)在0，2上二阶连续可微， f(1)=0，证明：18 计算曲线 y= 的弧长19 设
3、D=(x， y)0x1 ，0y1)，直线 l：x+y=t(t0) ，S(t)为正方形区域 D 位于 l左下方的面积，求20 求曲线 y=2e-x(x0)与 x 轴所围成的图形的面积21 设 f(x)是(-，+) 上的连续非负函数，且 f(x) f(x-t)dt=sin4x，求 f(x)在区间0， 上的平均值22 设抛物线 y=ax2+bx+c(a0)满足：(1)过点(0 ，O) 及(1，2) ；(2)抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2+2x 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值22 设 L：y=sinx(0x )由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S1(t)；由 y=
4、sint，L 及 x=围成面积 S2(t)，其中 0t23 t 取何值时，S(t)=S 1(t)+S2(t)取最小值?24 t 取何值时，S(t)=S 1(t)+S2(t)取最大值?25 设 f(x)= (1-t)dt(x-11) ，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积26 求曲线 y=xe-x(x0)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积27 设由 y 轴、y=x 2(x0)及 y=a(0a 1)所围成的平面图形及由 y=a，y=x 2 及 x=1所围成的平面图形都绕 x 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a27 设曲线 y= 在点(x 0，y 0)处有公共的切线，
5、求：28 常数 a 及切点坐标；29 两曲线与 x 轴所围成的平面图形绕 X 轴旋转所得旋转体的体积考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为三者的大小为 QPR，应选(C)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 曲线所围成的平面图形的面积为【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 1【试题解析】 设区域 D 位于第一卦限的区域为 D1，由对称性，区域 D 的面积为 A=4A1=1【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤。4 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 由 f(0)=0 得 f(x)= ，则【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 由f(x)= f(x)-f(1)= arctanx-arctan1=arctanx- 得【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 令 F(x，y)=f(x)-f(y)g(x)-g(y)，D=(x，y)ax
7、6，ayb ，因为 f(x)，g(x) 在a，b 上为增函数，所以 F(x，y)0，从而【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(0)f(2)，从而 f(2)-f(0)0【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 因为 f(x)有界，所以【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令 f(x)+f(a)，(a)=0，因为 f(x)0，所以 f(x)单调递减，从而 (x)0(axb) 由得 (x)0(axb)，于是 (b)0，故【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由泰勒公式得 f(x)=f(1)
8、(x-1)+ (x-1)2，其中 位于 1 与 x 之间，积分得【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 所围成的面积为 =2【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1 ，2)得 则 y=ax2+(2-a)x令 ax2+(2-a)x=-x2+2x 得 x=0 及 x= 所围成的图形面积为 S(a)= -x2+2x-ax2-(2-a)xdx得 a=-3，且当 a-3 时，S(a) 0；当 a-3
9、时，S(a)0，故当 a=-3 时，所围成的面积最小，此时 a=-3，b=5，c=0【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 S 1(t)=tsint- sinxdx=tsint+cost-1， S2(t)=S(t)=S1(t)+S2(t)=2(t-)sint+2cost-1 当 t= 时，S(t)最小，且最小面积为【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 当 t=0 时， S(t)最大，且最大面积为 S(0)=1【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 当-1x0 时，f(x)=当 x0 时，f(x)=即 f(x)=由 故所求的面积为 A=【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由 ，切点坐标为(e 2，1)【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 所求体积为 V=V1+V2，【知识模块】 一元函数积分学
