1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 33 及答案与解析一、填空题1 =_。2 =_。3 =_。4 =_。5 设 a0，则 =_。6 设 =_。7 =_。8 =_。9 =_。10 =_。11 设函数 则 一 +xf(x)dx=_。12 已知 则 k=_。13 由曲线 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_。14 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 则 L 所围平面图形的面积是_。15 在曲线 y=x2(0x1)上取一点(t ，t 2)(0t1)，设 A1 是由曲线 y=x2(0x1)，直线 y=t2 和 x=0 所围成图形的面积；A 2 是由曲线 y=x2(0x1)，直
2、线 y=t2 和 x=1 所围成图形的面积，则 t 取_时，A=A 1+A2 取最小值。16 曲线 直线 x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为_。17 设无界区域 G 位于曲线 下方，x 轴上方，则 G 绕 x轴旋转一周所得空间区域的体积为_。18 当 0 时，对数螺旋 r=e 的弧长为_。19 曲线 的弧长 s=_。20 曲线 =1 相应于 的一段弧长 s=_。21 设曲线的参数方程为 的曲线段的弧长S=_。22 设有摆线 x=a(tsint)，y=a(1 一 cost)(0t2,rr)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积 S=_。二、
3、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 D 是由曲线 ，直线 x=a(a0)及 x 轴所围成的平面图形，V x，V y 分别是 D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy=10Vx，求 a 的值。24 设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 Y=ax2 围成一平面图形 D，求 (I)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(A); (II)a 的值，使 V(x)为最大。25 设曲线 y=ax2+bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 ，试确定 a、b、
4、c 的值，使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积最小。26 过点(0 ，1)作曲线 L： y=lnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域D 由 L 与直线 AB 围成。求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。27 一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时(如图 1 一 34)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 kg/m3。)28 函数 与直线 x=0，x=t(t 0)及 y=0 围成一曲边梯形。该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)
5、，侧面积为 S(t)，在 x=t 处的底面积为F(t)。(I)求 的值；( )计算极限29 设有摆线 试求 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积。30 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 135 所示)。已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：1 N1 m=1 J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦。 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。)30 一容器的内侧是由图中(
6、如图 136)曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 连接而成。31 求容器的容积；32 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为 g ms 2，水的密度为 103kgm 3。)考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 33 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 【试题解析】 已知函数可化为【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，原式可化为【
7、知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=t，【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 令 x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式。【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 已知 x0 时，函数 f(x)值恒为 0，因此可得【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 一 2【试题解析】 已知要求极限存在，所以k0。
8、那么 所以 k=一 2。【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 4ln2【试题解析】 先画图，作出 y=4x 与 的交点(1，4) ，直线 y=x 与 的交点(2， 2)，由图可知，面积 S 分两块(如图 1 一 38)。【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 直接利用封闭曲线图形的面积公式可得【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 直接利用旋转体的体积公式可得，如图 1310 所示，x 的积分从1 到 2。【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 由题意【知识
9、模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 利用极坐标的弧长公式：【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【试题解析】 根据旋转面面积公式可得【知识模块】 一元函数积分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由微元法可知【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由题意知，y=ax 2 与 y=1 一 x2 的交点为 直线 OA的方程为 (I)旋转体
10、的体积(II)当 a0 时，得V(A)的唯一驻点 a=4。当 0a4 时，V(A) 0；当 a4 时，V(A)0。故 a=4为 V(A)的唯一极大值点，即为最大值点。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 已知该曲线过原点，因而 c=0，又当 0x1 时，y0，可知a0，a+b0，于是该曲线在 0x1 上与 x 轴所围成的面积为即 该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积为 可知，要使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积最小，a，b 的值应分别是【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 设切点坐标为 A(x0，lnx 0)，斜率为 ，因此该点处切线方程为又因为该切线过 B(0，1
11、)，所以 x0=e2，故切线方程为切线与 x 轴交点为(1，0)。因此直线 AB 的方程为 区域的面积为 旋转一周所围成的体积为【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 如图 1311，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。记 S1 为下半椭圆面积，则 ，记 S2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积，则 S2= 记 y=bsint，则 dy=bcostdt，则因此可知油的质量为【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 这是由参数方程给出的曲线，由于 x()=1 一 cos，y()=sin，则按旋转面面积计算公式，可得旋转面的面积【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 作 x 轴如图 13 一 12 所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力50(30 一 x)N，污泥的重力 ，即【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 曲线可表示为【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 利用微元法，所做功的计算分为两部分：【知识模块】 一元函数积分学
