1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（A）g 0hahdh（B） g0aahdh（C） g0h ahdh（D）2g 0hahdh2 在曲线 y(1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ，则区域 D 绕 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题3 _4 _5 _6 设 f()连续，则 f(t)dt_7 曲线 y 4 (0)与 轴围成的区域面积为_8 _9
2、 01arctand_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求曲线 y 与 轴围成的区域绕 轴、y 轴形成的几何体体积11 求曲线 y 22 、y 0、1、3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V12 设 L：ye (0) (1)求由 ye -、 轴、y 轴及 a(a0)所围成平面区域绕 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c) V(a)，求 c13 设 yf() 为区间0 ，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c ，1上以 yf()为曲边的曲边梯形的面积； (2
3、)设 f()在(0，1) 内可导，且 f() ，证明(1)中的 c 是唯一的14 求圆 2y 22y 内位于抛物线 y 2 上方部分的面积15 求双纽线( 2y 2)2a 2(2y 2)所围成的面积16 抛物线 y22 把圆 2 y28 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比17 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 35 轴和 Y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y 2，C 1 的方程是 y 2，求曲线 C2 的方程18 设曲线 ya 3，其中 a0当 0 时，该曲线在 轴下方
4、与 y 轴、 轴所围成图形的面积和在 轴上方与 轴所围成图形的面积相等，求 a19 曲线 y(1)(2)和 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积20 设平面图形 D 由 2y 22 与 y 围成，求图形 D 绕直线 2 旋转一周所成的旋转体的体积21 求曲线 y3 21 与 轴围成的封闭图形绕 y3 旋转所得的旋转体的体积22 求由曲线 y4 与 轴围成的部分绕直线 3 旋转一周所成的几何体的体积23 曲线 y 2(0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 轴所围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 轴旋转一周所成立体的体积24 求摆线 L： (a0)的第一拱绕
5、 轴旋转一周所得旋转体的体积25 设曲线 1(0a4) 与 轴、y 轴所围成的图形绕 z 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)V 2(a)最大，并求最大值26 设一抛物线 ya 2bc 过点(0，0)与(1，2) ，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 轴所围图形的面积最小27 设直线 yk 与曲线 y 所围平面图形为 D1，它们与直线 1 围成平面图形为 D2 (1)求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值； (2)求此时的 D1D 228 求摆线 (0t2)的
6、长度29 设曲线 y ，过原点作切线，求此曲线、切线及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的表面积30 一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 取，d 0，h，dFgadgad， 则Fg 0hadg 0hahdh，选 A【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y(1) 2 上点(2，1) 的法线方程为 y 2，该法线与 轴的交点 为(4，0)，则由该法线、
7、 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V，选 D【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 0f(u)du f()【试题解析】 0f(t)dt 0f(t)d(t) 0f(u)du 0f(u)du， 则 0f(u)duf()【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正
8、确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 V 取， d 0， ，dV y2cosd ，故【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 区域面积为【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 (1)V(a) 0ae2 d(1e 2a ) (2)解得 cln2【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 (1)S 1(c) cf(c)，S 2(c) c1f(t)dt 1cf(t)dt 即证明 S1(c)S 2(c)或cf(c) c1f(t)dt0 令 () 1f(t)dt，(0)(1)0，根据罗尔定理，存在c(0
9、，1)，使得 (c)0，即 cf(c) 1cf(t)dt0，所以 S1(c)S 2(c)，命题得证 (2)令 h()f() 1f(t)dt，因为 h()2f() f()0，所以 h()在0，1上为单调函数，所以(1)中的 c 是唯一的【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 由 所围成的面积为【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令则双纽线的极坐标形式为 racos2(0 )，第一卦限的面积为所求面积为A4A 1a 2【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 设左边的面积为 S1，右边的面积为 S2，【知识模块】 一元函数积分
10、学17 【正确答案】 由题设 C：y 2，C 1：y 2，令 C2：(y)，P 点坐标为(， y)，则 所以， 因为 PC，所以有 0yf(y)dy， 即 ，两边对 求导， 得 2.f(3) 2，即 f(2) 从而 C2 的方程为 f(y) ，即 y 2【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 设曲线 ya 3 与 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 0(a 3)d (a 3)d，移项得 0(a 3)d (a 3)d 0(a 3)d0 (4a2 3)0， 因为 0，所以 42 30 又因为(，0)为曲线 ya 3 与 轴的交点，所以有 a 30，从而有3a a3a 27a 30 a
11、 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 取，d 1，2，dv2( 1)(2)d2(1)( 2)d， V 12dv2 12(33 22)d 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 取，d 0，1，则 dv2(2)( )d，【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 取，d 0，1， dv 13 2( 21) 2d(82 2 4)d， V 1 01dv1 01(82 2 4)d， ， d 1，2， dv 23 2(1 2)2d(82 2 4)d， V 2 12dv2 12(82 2 4)d， 则所求体积为V2(V 1V 2)2 02(82 2 4)d 【知识模块】 一元函数积
12、分学22 【正确答案】 取y，ydy 0，4 ，则【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 ya 22a(a)即y2aa 2 由题意得 S ，解得a1， 则切线方程为 y 21，旋转体的体积为 V【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 曲线与 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a ，0)，(0，b) ，其中b4a 曲线可化为 y ， 对任意的 ，d 0，a ，dV22.yd2. d 于是 V2，根据对称性，有 V1 ab2 于是 V(a)V 1(a)V 2(a) (4a) 令 V(a)
13、(42a) 0 a2，又 V(2)0，所以a2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2) 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c0，又曲线过点(1，2)，所以ab2，b 2a 因为 a0，所以 b0，抛物线与 z 轴的两个交点为0， ，所以 令 S(a)0，得 a 4，从而 b 6，所以当 a4，b 6，c0 时，抛物线与 轴所围成的面积最小【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 (1)由方程组 得直线与曲线交点为k1因为 V(k) 0，所以 函数 V(k)当 k 时取最小值，且最小值为 (2)因为 S(k)， 所以此时S【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 设切点为(a， )，则过原点的切线方程为y ， 将(a， )代入切线方程，得 a2， 1，故切线方程为 y ， 由曲线 y 在区间1，2 上的一段绕 轴一周所得旋转面的面积为切线 y 在区间0，2上一段绕 轴一周所得旋转曲面面积为所求旋转曲面的表面积为SS 1S 2 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点， 轴铅直向下，取， d 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， dw(2R)R 2(R) 21gd(2R ) 2gd， W【知识模块】 一元函数积分学
