1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()，g()是连续函数，当 0 时，f() 与 g()是等价无穷小，令 F() 0f(t)dt，G() gg(t)dt，则当 0 时，F()是 G()的( ) （A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 F() +2esintsintdt，则 F()( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 有关二、填空题3 设 f(sin2) ，则 _4 f(ln) ，则f()d_5 设f()darcsinC，则 _6 设 F()为
2、连续函数，且满足 01f(t)dtf()sin，则 f()_7 求 _8 求 _9 求 _10 求 _11 求 _12 求：arctan d_13 求 arcsind_14 求 _15 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 f() ，求 012f()d17 设 f()连续，且 f()2 0f(t)dte ，求 f()18 19 20 21 22 23 24 25 设 F()为 f()的原函数，且当 0 时，f()F() ，又 F(0)1，F()0，求 f()26 设 f(ln) ，求 f()27 -22(34) d28 29 30 设 f()连续， 0tf(t)dt1c
3、os ，求 f()d31 设 S() 0costdt (1) 证明：当 n(n1) 时，2nS()2(n1)； (2)求 32 设 f()在0，)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：33 设 f()在0，1上连续，f(0)0， 01f()d0证明：存在 (0，1) ，使得0f()d f()考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 F() 0f(t)dt 0f(t)d(t) 0f(u)du， G() 01g(t)dt 0g(u)du， 则 1 故选 D【知识模块】 一元函数积分学2 【正
4、确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 arcsin 2 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 ln(1e )C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 cossinC【试题解析】 由 01f(t)dtf()sin ，得 01(t)d(t)f() 2sin 即 0f(t)dtf() 2sin，两边求导得 f()2sin cos ，积分得 f()cossinC【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试
5、题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 arctan(sin)C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【
6、正确答案】 0f(t)dt 0f(u)(du) 0f(u)du， f() 2 0f(u)due 两边求导数得 f()2f() e ， 则 f()(e .e2d dC)e 2d Ce 2e ， 因为 f(0)1，所以 C2，故 f()2e 2e 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为( 2e)( 22)e ，【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正
7、确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 两边积分得 F2() ，解得 F2() C， 由 F(0)1，F() 0， 得 F() ，于是 f()【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 lnt，则 f(t) ， 当 t0 时，f(t) t C 1； 当 t0时，f(t)e tC 2 显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C11C 2， 故f()【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 tant ，则【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 令 f() ， 当 01 时，当 12 时，【知
8、识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由 1tf(t)dt 0(u)f(u)( du) 0(u)f(u)du 0fj(u)du 0uf(u)du 得 0f(u)du 0uf(u)du1cos， 两边求导得f(u)dusin，令 得 f()d1【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 (1)当 n(n1) 时，(2)由 n(n1)，得 根据迫敛定理得【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 对充分大的 ，存在自然数 n，使得 nT注意到当 时，n，且【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 令 () 因为 f()在0 ，1上连续，所以 ()在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)0，(1) 01f()d0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()0， 而 () ，所以0f()df()【知识模块】 一元函数积分学
