1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)满足等式 0f(x)+f”(x)sinxdx=5,且 f(0)=2，则 f()等于( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)为偶函数，且 -+f(x)dx=C(C 为常数)，记 F(x)=-xf(t)dt，则对任意 a(一，+)，F(一 a)等于( )（A）F(a)（B）一 F(a)（C） C 一 0af(x)dx（D）3 下列反常积分中发散的是( )4 曲线 y=ex 与该曲线经过原点的切线及 y 轴所围成的平面图形的面积为( )（A） 01
2、(ln yylny)dy（B） 01(ex 一 ex)dx（C） 1e(ln yylny)dy（D） 0e(ex 一 ex)dx5 双曲线(x 2+y2)2=x2 一 y2 所围成区域的面积可用定积分表示为( )6 如图 35，横截面积为 S，深为 h 的水池装满水，其中 S，h 为常数，水密度=1，g 为重力加速度，若将池中的水全部抽到距原水面高为 H 的水塔上，则所做的功为( )（A） 0hS(H+h 一 y)gdy（B） 0HS(H+h 一 y)gdy（C） 0hS(H+y)gdy（D） 0HS(H+y)gdy二、填空题7 设 f(x)=8 设函数 f(x)=-1x(1 一|t“)dt(
3、x一 1)，则曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面图形的面积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求下列不定积分：10 11 计算下列定积分：(1) -32min2，x 2dx；(2) -1a|x|dx12 设 H(x)=0xf(t)g(x 一 t)dt，其中 g(x)= f(x)=x，求 H(x)13 计算14 设 f(x)具有二阶连续导数，且 f(0)=1,f(2)=3，f(2)=5，求 01xf”(2x)dx15 证明16 若函数 f(x)连续，且满足 f(x).f(一 x)=1，g(x)是连续的偶函数，试证明：17 设 f(x)，g(x) 在区间 一 a，a(a
4、0) 上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(一 x)=A(A 为常数)(1)证明 -aaf(x)g(x)dx=A0ag(x)dx；(2)利用(1)的结论计算定积分18 设 f(x)为0，1上单调减少的连续函数，且 f(x)0，试证：存在唯一的点(0， 1)，使得 0f(x)dx=(1 一 )f()成立19 设 f(x)在0，+)上连续且单调增加，试证对任何 ba0，都有下面不等式成立：20 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且 axf(t)dtaxg(t)dt，xa，b)， abf(t)dt=abg(t)dt 证明： abxf(x)dxabxg(x)dx21 计
5、算下列反常积分：22 计算下列反常积分：(1) -+(|x|+x)e-|x|dx；23 已知24 求曲线 y=x2-2x，y=0，x=1，x=3 所围成的平面图形的面积 S，并求该平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V.25 设曲线 过原点作其切线，求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积26 如图 34 所示，设抛物线 y=ax2+bx，当 0x1 时 y0，若该抛物线与 x 轴以及直线 x=1 所围成的封闭图形的面积为 ，试求 a，b 的值，使此平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小27 曲线 的弧长为_28 设有一薄板，其边沿为一抛物线，
6、如图 36 所示，若顶点恰在水面上，试求薄板所受的静压力，并求将薄板下沉多深，压力加倍?29 设某商品从时刻 0 到时刻 t 的销售量为 x(t)=kt，t0，T，k0欲在 T 时将数量为 A 的该商品销售完，试求：(1)t 时的商品剩余量，并确定 k 的值；(2)在时间段 0，T 上的平均剩余量考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 0f(x)+f”(x)sin xdx=0f(x)sinx dx+0f”(x)sinx dx， 其中 0f“(x)sinxdx=0sin xdf(x)=si
7、nxf(x)|0-0f(x)cosxdx =-0cosxdf(x)=一 cosxf(x)|0一 0f(x)sinxdx =f()+f(0)一 0f(x)sin xdx 于是 0f(x)sinxdx+f()+f(0)一 0f(x)sinxdx=5 即 f()=5-f(0)=3，应选 D。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 -+f(x)dx=C，又 f(x)为偶函数，应有 C=2-0f(x)dx，即 -0f(x)dx= F(一 a)=-af(x)dx=-0f(x)dx+0-af(x)dx= 其中0af(-t)(-dt)=一 0af(x)dx，所以 F(-a)= 故应
8、选(D)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 而即(B)、(C)、(D) 都收敛【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 设切点为(a，e a)，则切线方程为 y-ea=ea(x-a) 由于切线过(0，0)，易知 a=1，于是切线方程为 y=ex，故所求平面图形的面积为 A=01(ex 一 ex)dx(如图3 一 1)应选(B) 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线的极坐标方程为 r2=cos 2，因为曲线围成的区域对 x 轴，y轴有对称性，所以面积 故选(A)【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析
9、】 建立坐标系如图 35选取 y 为积分变量，在0，h 内任取一子区间y， y+dy，功的微元(将y，y+dy这层水抽至高度为 H+h 处，克服重力所做的功) dW=S(H+h 一 y)gdy， 于是 W= 0hS(H+h 一 y)gdy，应选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，f(x)= -10(1+t)dt+0x(1 一 t)dt= 当 x0时，f(x)=-1x(1+t)dt= y=f(x)的图形如图 32于是所求平面图形的面积为【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出
10、文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 当 ，H(x)=0xf(xu)g(u)du=0x(x 一 u)sinu.du=x0xsin udu0xusin udu=x(-cos u)|0x+0xudcos u=x(1 一 cosx)+xcos x0xcos udu=x-sin x；【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 利用上面结论，有【知识模块
11、】 一元函数积分学16 【正确答案】 由于 f(x).f(一 x)=1，g(一 x)=g(x)，所以 在此等式中，取 f(x)=ex， 则 f(x).f(一 x)=ex.e-x=1，g(一 x)=g(x)，【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 (1) -aaf(x)g(x)dx=-a0f(x)g(x)dx+0af(x)g(x)dx，其中于是 -aaf(x)g(x)dx=0af(一 x)g(x)dx+0af(x)g(x)dx =0af(一 x)+f(x)g(x)dx=A0ag(x)dx(2)取 f(x)=arctan ex，g(x)=|sinx|， 上连续，g(x)为偶函数，又 (ar
12、ctan ex+arctan e-x)=0，所以 arctan e x+arctan e-x=A令 x=0，得 2arctan 1=A，即于是【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt 一(1 一 x)f(x)，x 0，1，则 F(x)在0，1上连续 又 F(0)=-f(0)0，F(1)= 01f(x)dx0，由零点定理可知，至少存在一点(0， 1)，使 F()=0，则有 0f(x)dx=(1 一 )f() 下面用反证法证明 的唯一性，假设存在两个值 1， 2(0，1)满足上式( 不妨设 1 2)，则 f(2)-f(1)0，而与F(2)-F(1)=0 矛盾，
13、于是有唯一的 (0，1)，使得 0f(x)dx=(1 一 )f()成立【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由于 f(x)单调增加,f(x)-f(t)0 ，于是 F(x)0，又 F(a)=0，所以 F(x)在0，+) 上单调增加，有 F(b)F(a)，则【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 F(x)=f(x)-g(x)，G(x)= axF(t)dt，易由条件知 G(x)0，xa，b，又 G(a)=G(b)=0，G(x)=F(x)从而 ab=xF(x)dx=abxdG(x)=xG(x)|ababG(x)dx=一abG(x)dx， 由于 G(x)0， xa，b，故有一 ab
14、G(x)dx0即 abxF(x)dx0， 因此 abxf(x)dxabxg(x)dx【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (1) -+(|x|+x)e-|x|dx=-+|x|e-|x|dx+-+xe-|x|dx =20+xe-xdx=2(-xe-x|0+0+e-xdx) =2(一 e-x)|0+=2【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 如图 3-3，所求面积 S=S1+S2，平面图形 S1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积： 平面图形 S2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积：
15、 故所求旋转体的体积为【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 设切点为 则过(0，0)的切线方程为 代入切点坐标，解得 =1，则切线方程为 由绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为由 绕 x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为 因此，所求旋转体的表面积为【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 平面图形的面积为 该图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为又，该曲线与 x 轴以及直线 x=1 所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 曲线的参数方程为 故所求弧长为【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 不难求出抛物线方程为 则在水下 x 到 x+dx 这一小块所受的静压力为 所以整块薄板所受到的静压力为若板下沉 h，此时板受到的静压力为要使 P2=2P1，则 h=12【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 (1)在时刻 t 商品的剩余量为 y(t)=A 一 x(t)=A 一 kt，t0，T由A 一 kT=0，得 因此 (2)依题意，y(t)在0，T上的平均值为 因此在时间段0，T上的平均剩余量为【知识模块】 一元函数积分学
