1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 积分 aa+2cosxln(2+cosx)dx 的值（A）与 a 有关（B）是与 a 无关的负数（C）是与 a 无关的正数（D）为零二、填空题2 设 f(x)在0，1连续， =A，则 I=02f(cosx)dx=_3 =_4 =_5 (a0)=_6 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设函数 f(x)= 并记 F(x)=0xf(t)dt(0x2)，试求 F(x)及f(x)dx8 求下列不定积分： ()arcsinx.arccosxdx；(
2、)x 2sin2xdx9 求下列定积分：10 求下列曲线的曲率或曲率半径： ()求 y=lnx 在点(1，0)处的曲率半径 ()求x=tln(1+t 2)，y=arctant 在 t=2 处的曲率11 有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力12 比较定积分 的大小13 已知 f(x)= 在(，+)存在原函数，求常数 A 以及f(x)的原函数14 计算下列反常积分：15 设 f(x)在a，b有连续的导数，求证：16 设 F(x)= ，试求： ()F(x)的极值； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () 2 3x2F(x)dx1
3、7 求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 x2+y22x 与 yx 确定的平面图形绕直线x=2 旋转而成的旋转体； () 由曲线 y=3x 21与 x 轴围成封闭图形绕直线y=3 旋转而成的旋转体18 求星形线 的质心，其中 a0 为常数19 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)sinxdx=0， 0f(x)cosxdx=0证明：在(0，)内 f(x)至少有两个零点20 已知 是 f(x)的一个原函数，求x 3f(x)dx21 求22 求无穷积分 J=23 设 f(x)在( ，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令()试求 A 的值，使 F(x)在(，+)上连续；()求
4、F(x)并讨论其连续性24 求双纽线 r2=a2cos2(a0) 绕极轴旋转所成的旋转面的面积25 设 a0， f(x)在(0 ，+) 连续，求证：26 证明： ，其中 p0考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2+cosx).cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此 原式=02ln(2+cosx)cosxdx= ln(2+cosx)cosxdx =20ln(2+cosx)cosxdx=20ln(2+cosx)d(sinx) =2sinxln(2+c
5、osx) 0 0sinxdln(2+cosx)= 又因为在0，上，被积函数连续，非负，不恒为零，因此该积分是与 a 无关的正数故选 C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题2 【正确答案】 4A【试题解析】 由于 f(cosx ) 在(，+) 连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 2e 2+2【试题解析】 原式=4e22e 2+2=2e2+2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 【试题解析】 利用分部
6、积分法【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 3【试题解析】 令 x2=t，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 根据牛顿-莱布尼兹公式，当 0x1 时，有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 () ()由于sin2x= (1cos2x)，所以 连续使用分部积分法得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 () 由于，故()由于，故作平移变换：，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 () 先求 ，然后代公式： 于是，在任意点 x0 处曲
7、率为 于是曲线在点(1，0)处的曲率半径 = ()利用由参数方程确定的函数的求导法则，得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 取坐标系如图 317 所示，椭圆方程为 =1分割区间0，a，在小区间x，x+dx对应的小横条薄板上，水对它的压力 dP=压强 面积=x.2ydx= ，其中 为水的比重于是从 0 到 a 积分便得到椭圆形薄板所受的压力【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小这里被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被
8、积函数的大小【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 易求得仅当 A=0 时f(x)在 x=0 连续于是 f(x)在( ，+)连续，从而存在原函数当 A0 时 x=0 是f(x)的第一类间断点，从而 f(x)在( ，+)不存在原函数因此求得 A=0下求f(x)的原函数被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数当 x0 时，当 x0 时，取 C1=0，随之取C2=1，于是当 x0 时与 x0 +时f(x)dx 的极限同为 1，这样就得到 f(x)的一个原函数 因此 f
9、(x)dx=F(x)+C，其中C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 () 这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算因为，且 x1，于是有原函数()这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为 a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉注意被积函数可改写为，即 x= (1+sint)，代入即得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 可设 =f(x 0)，即证 (ba)f(x 0) abf(x)dx+(ba) abf(x) dx，即证 abf(x0)
10、dx abf(x)dx(ba)ab f(x)dx注意 abf(x0)dx abf(x)dx abf(x0)f(x)dx=ababf(t) dtdx=(ba) abf(x)dx故得证【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 () 由 F(x)= ，即知 F(x)在 x=0 处取极小值0，且无其他极值()F“(x)=2(14x 4) ，注意到仅当 x= 时 F“(x)=0，且在x= 两侧 F“(x)变号，即知 x= 为曲线 y=F(x)的拐点的横坐标()注意到x2F(x)为奇函数，因此【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 () 对该平面图形，我们可以作垂
11、直分割也可作水平分割作水平分割该平面图形如图 328上半圆方程写成 x=1 (0y1)任取 y轴上0 ，1 区间内的小区间y，y+dy ，相应的微元绕 x=2 旋转而成的立体体积为()曲线y=3 x2 1与 x 轴的交点是(2，0) ，(2，0)曲线 y=f(x)=3x 21与 x轴围成的平面图形，如图 329 所示 显然作垂直分割方便任取x ，x+dx*2，2，相应的小竖条绕 y=3 旋转而成的立体体积为 dV=32(3f(x) 2dx=(9x 21 2)dx，于是 V=2 29(x 21) 2dx =2029(x 42x 2+1)dx =【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正
12、确答案】 先求 dsds= =3asintcostdt 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 反证法如果f(x)在(0 ，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x) 0(或0)，由于在(0，)内，亦有 sinx0，因此，必有0f(x)sinxdx0(或0) 这与假设相矛盾 如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，) 内 f(x)sin(xa) 同号，因此 0f(x)sin(xa)dx0但是，另一方面 0f(x)sin(xa)dx= 0f(x)(sinxcosacosxsina)d
13、x =cosa 0f(x)sinxdxsina 0f(x)cosxdx=0 矛盾说明 f(x)也不能在(0 ，)内只有一个零点，因此它至少有两个零点【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 按题意：f(x)= x3f(x)dx x3df(x)=x3f(x)3x 2f(x)dx=x2cosxxsinx3(xcosxsinx)dx=x2cosxxsinx3xdsinx 3cosx=x 2cosxxsinx(3xsinx+3cosx)3cosx+C=x 2cosx4xsinx6cosx+C 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概
14、念、计算及应用22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 () 由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 =A而 故令 A=0即可() 当 x0 时 F(x)= 在 x=0 处，由导数定义和洛必达法则可得故 F(x)在( ，+)上连续【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 面积由 r2=a2cos2=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 () 按要证的等式，将等式左端改写可得()按题设，对左端作变换 t= =【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
