1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列可表示由双纽线(x 2+y2)2=x2-y2 围成平面区域的面积的是2 设 f(x)为连续函数， ，其中 t0 ，s0，则 I 的值（A）依赖于 s 和 t（B）依赖于 s，t，x（C）依赖于 t，x，不依赖于 s（D）依赖于 s，不依赖于 t3 下列函数中在-1，2上定积分不存在的是4 下列函数中在-2，3不存在原函数的是5 积分 aa+2cosxln(2+cosx)dx 的值（A）与 a 有关（B）是与 a 无关的负数（C）是与 a 无关的正数（D）为
2、零6 设常数 0，I 1= 则（A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1=I2（D）I 1 与 I2 的大小与 的取值有关7 下列反常积分中发散的是（A） e+ (k1)（B） e+xe-x2dx（C） -11（D） -118 设 f(x)=01 ，则 f(t)在 t=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导二、填空题9 由曲线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)(摆线)及 x 轴围成平面图形的面积S=_.10 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 F(x)=0x2e-t2dt，试求： ()F(x) 的极值
3、； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () -23x2F(x)dx.12 求曲线 r=asin3 的全长13 求曲线 r=a(1+cos)的曲率14 已知一条抛物线通过 x 轴上两点 A(1，0)，8(3，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x 轴与该抛物线所围成的面积15 求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 x2+y22x 与 yx 确定的平面图形绕直线x=2 旋转而成的旋转体； () 由曲线 y=3-x 2-1与 x 轴围成封闭图形绕直线 y=3旋转而成的旋转体16 求由曲线 ：x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2) 及 y=0 所围图形绕 Ox 轴旋
4、转所成立体的体积17 求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h 的正劈锥体的体积18 求曲线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)及 y=0 所围图形绕 x 轴旋转一周所得曲面的面积 S19 边长为 a 和 b 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深h 处，设 a b，液体的比重为 ，求薄板受的液体压力20 设有一半径为 R 长度为 l 的圆柱体，平放在深度为 2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?21 求星形线 的质心，其中 a0 为常数22 求由曲线 x2=ay
5、 与 y2=ax(a0)所围平面图形的质心 (形心)( 如图 334).23 有两根长各为 l，质量各为 M 的均匀细杆，位于同一条直线上，相距为 a，求两杆间的引力24 设有以 O 为圆心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， =b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式25 设有半径为 a，面密度为 的均匀圆板，质量为 m 的质点位于通过圆板中心 O且垂直于圆板的直线上， =b，求圆板对质点的引力26 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)sinxdx=0， 0f(x)cosxdx=0证明：在(0，)内 f(x)至少有两个零点27 设 f(x)在(-，+)
6、 连续，以 T 为周期，令 F(x)=0xf(x)dt，求证：( )F(x) 一定能表示成：F(x)=kx+(x)，其中 k 为某常数，(x)是以 T 为周期的周期函数；()0xf(t)dt= 0Tf(x)dx；()若又有 f(x)0(x(-，+)，n 为自然数，则当nTx(n+1)T 时，有 n0Tf(x)dx0xf(t)dt 0T(n+1)f(x)dx.考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线的极坐标方程是：r 4=r2(cos2-sin2)即 r2=cos2当
7、 -，时，仅当 时才有 r0(图325) 由于曲线关于极轴与 y 轴均对称，如图 325，只需考虑 部分由对称性及广义扇形面积计算公式得故应选(A)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 D【试题解析】 I= 0sf(u)du，选(D)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 D【试题解析】 显然，(A) ， (B)，(C) 中的 f(x)在-1，2均有界，至多有一个或两个间断点，因而 f(x)在-1 ， 2均可积，即 -12f(x)fx选(D)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 C【试题解析】 先考察 f(x)的连续性关于(A)
8、：= =f(0)，f(x)在-2，3连续，存在原函数(B)中 f(x)如图 31 所示，显然处处连续，在-2，3 存在原函数显然，(D)中 g(x)在-2，3可积，f(x)= 0xg(t)dt 在-2，3连续 f(x)在-2 ，3 存在原函数选(C)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2+cosx).cosx 是以 2为周期的偶函数，因此原式=02ln(2+cosx)cosxdx=-ln(2+cosx)cosxdx=20ln(2+cosx)cosxdx=20ln(2+cosx)d(sinx)=2sinxln(2+cosx) 0-0si
9、nxdln(2+cosx)=20 .又因为在0，上，被积函数连续，非负，不恒为零，因此该积分是与 a 无关的正数故选(C)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 A【试题解析】 I 1-I2= 当0x 时 cosxsinx，又 0x -x，所以 I1-I20故选(A)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ：由于当 k1 时故 e+ 收敛对于(B)：0+xe-x2dx= e-x2 0+= 是收敛的对于(C) ： -11 =arcsinx -11=也是收敛的由排除法可知，应选(D)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【
10、正确答案】 C【试题解析】 f(0)= 01lnxdx=(xlnx-x) 01=-1当 t0时，因 =-1=f(0)，故函数 f(t)在 t=0 处连续又故 f(x)在t=0 处不可导选(C) 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题9 【正确答案】 3a 2【试题解析】 当 t0，2时，曲线与 x 轴的交点是 x=0，2a( 相应于 t=0，2)，曲线在 x 轴上方，见图 326 于是图形的面积S=02ay(x)dx 02a(1-coxt)a(t-sint)dt=02a2(1-cost)2dt=a02(1-2cost+cos2t)dt=3a2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及
11、应用10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 () 由 F(x)=2xe-x4 ，即知 F(x)在 x=0 处取极小值0，且无其他极值()F(x)=2(1-4x 4)e-x4，注意到仅当 x= 时 F(x)=0，且在 x=两侧 F(x)变号，即知 x= 为曲线 y=F(x)的拐点的横坐标 ()注意到x2F(x)为奇函数，因此 -23x2F(x)dx=-22xF(x)dx+23x2F(x)dx=223x3e-x4dx= 23e-x4d(x4)= e-x4 23= (e-16-e-81)【知识模
12、块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 r=asin 3 以 6 为周期，0 ，3 0，r0；0 (3，6) (，2) ，r0只需考虑 00，3r=3asin 2，r 2+r2=a2sin4 ，则L=03 =a03sin2 d=3a0sin2tdt= .【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 曲线的参数方程为 x=rcos=a(1+cos)cos，y=rsin=a(1+cos)sin，x=-asin(1+2cos)=-a(sin+sin2) ，y=a(cos+cos2)，x 2+y2=a22(1+cos)=2ar，x=-a(cos+2cos2)，y=-a(s
13、in+2sin2)， xy-x“y=a 2(sin+sin2)(sin+2sin2)+(cos+cos2)(cos+2cos2)=3a2(1+cos)=3ar因此，曲率【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 1)写出抛物线方程 y=a(x-1)(x-3)(a0 或 a0 为常数)，如图327 所示 2)求两坐标轴与抛物线所围面积 S1，即S1=01a(x-1)(x-3)dx= a 01(1-x)(3-x)dx= a 01(3-x)d(1-x)2= a(-3)- a 01(1-x)2dx 3)求 x 轴与该抛物线所围面积S2，即 S 2=13a(x-1)(x-3) dx=a
14、 13(x-1)(3-x)dx=a 13 (3-x)d(x-1)2= a 13(x-1)2dx 4)因此，S 1=S2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 () 对该平面图形，我们可以作垂直分割也可作水平分割作水平分割该平面图形如图 328上半圆方程写成 x=1- (0y1)任取 y轴上0 ，1 区间内的小区间y，y+dy ，相应的微元绕 x=2 旋转而成的立体体积为dV=2-(1- )2-(2-y)2dy于是 V=012-(1- )2dy-01(2-y)2dy，= 01(2-y2+ )dy-12t2dt()曲线 y=3-x 2-1与 x 轴的交点是(-2，0)，(2
15、，0)曲线 y=f(x)=3-x 2-1与 x 轴围成的平面图形，如图 329 所示 显然作垂直分割方便任取x，x+dx-2，2，相应的小竖条绕 y=3 旋转而成的立体体积为 dV=32-(3-f(x)2dx=(9-x 2-1 2)dx，于是 V=-229-(x2-1)2dx =2029-(x4-2x2+1)dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 用已有的体积公式 Vx=aby2dx 代入参数方程时，就相当于作了变量替换平面图形如图 330 所示 由已知的体积公式，得 V=02ay2(x)dx =02a2(1-cost)2x(t)dt=02a3(1-cost)3dt=
16、a3028sin6 dt=16a30sin6sda=32a3 sin6sds=32a3 =52a3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 取底圆所在平面为 Oxy 平面，圆心 O 为原点，并使 x 轴与劈锥的顶平行，底圆方程为 x2+y2=R2过 x 轴上的点 x(-RxR)作垂直于 x 轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形，底边长即 高为 h，该截面的面积为于是 V=-RRS(x)dx=h-RR R2h.【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 由旋转面面积公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 建立坐标系如图 332 所示，
17、z 轴铅直向下一长边的深度为 h，另一长边的深度为 h+bsin，在h ，h+bsin 中任取x，x+dx，相应的薄板上一小横条，长 a，宽 ，于是所受的压力为 整块板受的压力为P=hh+bsin x2 h+bsin=ab(h+ +bsin).【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 任取小区间x，x+dx -R，R相应的柱体薄片，其体积为移至水面时薄片移动的距离为 R-x，所受的力(重力与浮力之差)为 ，因而移至水面时做的功为整个移出水面时，此薄片离水面距离为 R+x，将薄片从水面移到此距离时所做的功为 (R+x)2l 于是对薄片做的功为dW=2l(-1)(R-x)+(R
18、+x) =2l(2-1)R+x 因此，所求的功W=-RR2l (2-1)R+xdx=2l(2-1)R-RR =21(2-1)R. R2=l(2-1)R3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 先求 =3asintcostdt再求总长度积分于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 两曲线的交点是(0，0)，(a ，a)设该平面图形的质心(形心)为，则由质心(形心) 公式有 同样计算或由对称性可知【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 沿杆建立坐标系如图 335.在右杆上任取微元x，x+dx，它与左杆间的引力为 于是两杆间的引力为
19、【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 如图 336，由对称性，引力沿 方向取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为 s 到 s+ds 的一段微元 ，它的质量为 ，到 P 点的距离为 的夹角为 ，cos= 对 P 点的引力沿 方向的分力为 于是整个圆环对 P 点的引力为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 如图 337，任取r，r+dr对应的圆环，它的面积 dS=2rdr，质量 dM=dS=2rdr，对质点 P 的引力 ，因此，整个圆板对 P的引力为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 反证法如果 f(x)在(0 ，)内无零点
20、(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x) 0(或0)，由于在(0，)内，亦有 sinx0，因此，必有0f(x)sinxdx0(或0) 这与假设相矛盾。 如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，) 内 f(x)sin(x-a)同号，因此 0f(x)sin(x-a)dx0但是，另一方面 0f(x)sin(x-a)dx=0f(x)(sinxcosa-cosxsina)dx =cosa0f(x)sinxdx-sina0f(x)cosxdx=0 这个矛盾说明 f(x)也不能在(0，) 内只有一个零点，因此它至少有两个零点
21、【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 () 即确定常数 k，使得 (x)=F(x)-kx 以 T 为周期由于 (x+T)=F(x+T)-k(x+T)=0xf(x)dt-kx+0x+Tf(t)dt-kT=(x)+0Tf(t)dt-kT，因此，取 k= 0Tf(t)dt，(x)=F(x)-kx,则 (x)是以 T 为周期的周期函数此时 F(x)= 0Tf(t)dtx+(x).()不能用洛必达法则因为 不存在，也不为但0x(t)dt 可表示成 0x(t)dt= 0Tf(t)dt+(x)(x)在(-，+)连续且以 T 为周期，于是，(x)在0，T 有界，在(-，+) 也有界因此()因 f(x)0，所以当 nTx(n+1)T 时，n 0Tf(t)dt=0nTf(t)0xf(t) 0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)0Tf(t)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
