1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 15 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求 0e-1(x+1)ln2x(x+1)dx2 求定积分：()J= -22min2，x 2dx； ()J= -1x(1-t)dt，x-13 设 n 为正整数,利用已知公式 In= sinnxdx= cosnxdx= ，其中求下列积分：()J n= sinnxcosnxdx；()J n=1(x2-1)ndx4 求无穷积分 J=1+5 设 f(x)= 求 f(x)的不定积分 f(x)dx6 设 f(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求 01f(x)dx7 设 a0
2、，f(x)在(- +)上有连续导数求极限 -aaf(t+a)-f(t-a)dt8 求 0(x) (x)-tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数，(x)为已知的可微函数9 设 f(x)在(-，+) 连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令()试求 A 的值，使 F(x)在(-，+)上连续；()求 F(x)并讨论其连续性10 设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= 求 f(x)11 求函数 f(x)=ex 在区间e，e 2上的最大值12 求星形线 L (a0)所围区域的面积 A13 求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 y=x2，x=y 2 所
3、围图形绕 x 轴旋转所成旋转体； ( )由曲线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体14 求双纽线 r2=a2cos2(a0) 绕极轴旋转所成的旋转面的面积15 求功：()设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?()半径为尺的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?16 过曲线 y=x2(x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 ，求：()切点 A 的坐标； ()过切点 A 的切线方程；()由上述图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积17 设常数 a b，
4、曲线 ： (x，)的弧长为1( )求证：18 设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x)0xf(x-t)dt=sin2x；求 f(x)在 上的平均值19 设 a0， f(x)在(0 ，+) 连续，求证：( ) ta ()又设=f(x)(x0)，则 aa220 设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 abf(x)dx=0，求证：在a，b上 f(x)021 证明 其中 n 为自然数22 证明：定积分 sinx2dx023 证明：24 证明： nn+psin(x2)dx ，其中 p025 证明： 0 =026 设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有f(x)-f(y)Mx-y，M
5、为正的常数，求证：27 设函数 f(x)与 g(x)在区间 a，b上连续，证明： abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx (*)考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 15 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 原式= 0e-1ln2(x+1)d(x+1)2 1eln2tdt2= (t2ln2t 1e-1et2dln2t)= (e2-1tt2.2lnt. dt)= (e2-1elntdt2)= (e2-t2lnt 1e+1et2dlnt)= 1etdt= t2 1e= (e2-1)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及
6、应用2 【正确答案】 ()min2，x 2= 于是 J=-22min2，x 2dx=202min2，x 2dx () 当-1x0 时，J= -1x(1+t)dt= (1+t)2 -1x= (1+x)2当 x0 时，J= -10(1+t)dt+0x(1-t)dt= (1+t)2 -10-(1-t)2 0x=1- (1-x)2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 ()J n=2-n sinn2xdx=2-n. 0sinnudu，而() J n=201(-1)n(1-x2)ndx (-1)n(1-sin2t)ncostdt【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案
7、】 J= 1+ln(1+x)-lnx- dx，而，因此【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 当 x0 时，f(x)=sin2xdx= cos2x+C1；当 x0 时，f(x)=ln(2x+1)dx=xln(2x+1)- =xln(2x+1)-dx+ =xln(2x+1)-x+ ln(2x+1)+C2，为了保证 F(x)在 x=0 点连续，必须 C2= +C1， (*) 特别，若取 C1=0，C 2=就是 f(x)的一个原函数因此【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 01f(x)dx=01f(x)d(x-1)=(x-1)f(x) 01-01(x-1)f
8、(x)dx=f(0)-01(x-1)f(x)dx=-01(x-1)arcsin(x-1)2dx= 01arcsin(x-1)2d(x-1)2 01arcsintdt= 01arcsintdt【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 记 I(a)= -aaf(t+a)-f(t-a)dt，由积分中值定理可得 I(a)= f(+a)-f(-a).2a= f(+a)-f(-a)，-a a因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a)= f().2a=f()，-a +a 于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 =(x)0(x)f(t)dt+(x)f
9、(x)(x)-(x)f(x)(x)=(x)0(x)f(t)dt【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 () 由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 F(x)=A而 故令 A=0 即可( )当 x0 时 F(x)= 0xtf(t)dt+ 0xtf(t)dt在 x=0 处，由导数定义和洛必达法则可得所以 又故 F(x)在(-，+)上连续【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 因由f(x)连续及 x2 可导知 f2(x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2(x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，
10、得 2f(x)f(x)=f(x).2x f(x)=x在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=0于是 (*)式 两边积分( 0x)得 0xf(t)dt=0xtdt，f(0)=0 ，x 0，a【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大 (小)值必在端点处取得由 f(x)=，xe ，e 2，可知 f(x)在e，e 2上单调增加，故【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正
11、确答案】 图形关于 x，y 轴均对称，第一象限部分：【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 () 如图 32，交点(0，0) ，(1， 1)，则所求体积为 V=01 -(x2)2dx=01(x-x4)dx ()如图 33，所求体积为V=202ayxdx=202a(1-cost)a(t-sint)a(1-cost)dt=2a302(1-cost)2(t-sint)dt=2a302(1-cost)2tdt-2a3-(1-cost)2sintdt=2a302(1-cost)2tdt 2a3-1-cos(u+)2(u+)du=2a3-(1+cosu)2udu+22a3-(1+co
12、su)2du=42a30(1+cosu)2du=42a30(1+2cosu+cos2u)du=42a3 =63a3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 面积由 r2=a2cos2 2rr=-2a2sin2，【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 ()(微元法) 以球心为原点，x 轴垂直向上，建立坐标系(如图35) 取下半球中的微元薄片，即 取小区间x，x+dx -1，0，相应的球体小薄片，其重量(即体积) 为 (1-x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功 d
13、w1=(1+x)(1-x2)dx因此，对下半球做的功 w1=-10(1+x)(1-x2)dx 取上半球中的微元薄片，即 V 取小区间x，x+dx 0，1 ，相应的小薄片，其重量为 (1-x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为 1所受力为重力，故需做功 dw2=(1-x2)dx因此，对上半球做的功 w2=01(1-x2)dx 于是，对整个球做的功为 w=w 1+w2=-10(1+x)(1-x2)dx+01(1-x2)dx =-11(1-x2)dx+-10x(1-x2)dx ()建立坐标系如图 36取 x 为积分变量，x0，R x，x+dx相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R 2-x2
14、)dx，又比重 =1，于是把这层水抽出需做功 dw=x(R2-x2)dx因此，所求的功w=0Rx(R2-x2)dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 如图 37()设点 A(x0，x 02)，点 A 处的切线方程 y=x 02+2x0(x-x0)，即 y=2x0x-x02 令 y=0 截距 x= 按题意解得 x 0=1 A(1，1)()过 A 点的切线 y=2x-1() 旋转体体积 V=01(x2)2dx-【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 ()：y 2=(x-a)(b-x)=-x2+(a+b)x-ab，两边对 x 求导得 2yu=-2x+a
15、+b，因此()曲线为圆心，半径为 的半圆周由题()：=a，= ，则对应的 长【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 令 x-t=u，则 0xf(x-)dt=0xf(u)du于是 f(x)0xf(u)dx=sin4x，d 0xf(u)du2=2sin4xdx两边积分故 f(x)在 上的平均值为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 () 按要证的等式，将等式左端改写可得()按题设，对左端作变换【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 由定积分的性质 0axf(t)dtabf(x)dx=0( a，b) axf(t)dt=0( a，b)
16、 axf(t)dt=f(x)=0( a，b)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 利用被积函数的结合性，原式改写成 In= cosn-1xcosxsinnxdx，两式相加得 2In=cosn-1x(cosxsinnx-sinxcosnx)dx= cosn-1xsin(n-1)xdx= +In-1现得递推公式 2In= +In-1，即 2nIn= +2n-1In-1令 Jn=2nIn，得 Jn-1= +Jn-1由此进一步得注意 J0=0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 先作变量替换 t=x2 被积函数在0，2 上变号， t(0，)时取正值，t(
17、 ，2) 时取负值，于是 I=0I1+I2把后一积分转化为0 ，上积分，然后比较被积函数，即 被积函数若补充定义 f(0)=0，则 f(t)在0， 连续，且 f(t)0(t (0，) 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 ()()()由题()与题()得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 使用和差化积公式由于 sin2nx=sin2x-sin2x+sin4x-sin4x+sin(2n-2)x-sin(2n-2)x+sin2nx =sin2x+2cos3xsinx+2cos5xsinx+
18、2cos(2n-3)xsinx+2cos(2n-1)xsinx， 所以 I=20cosx+cos3x+cos5x+cos(2n-1)xdx=0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 将 01f(x)dx 与 分别表示成代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得不等式左端【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 把证明定积分不等式 ( abf(x)g(x)dx)2abf2(x)dxabg2(x)dx (*)转化为证明重积分不等式引入区域 D=(x，y)axb， ayb(*)式左端= abf(x)g(x)dx.abf(y)g(y)dy= f(x)g(y).f(y)g(x)dxdy f2(x)g2(y)+f2(y)g2(x)dxdy= f2(x)g2(y)dxdy+ f2(y)g2(x)dxdy= abf2(x)dxabg2(y)dy+ abf2(y)dyabg2(x)dx=abf2(x)dxabg2(y)dy=(*)式右端【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
