1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为连续函数，I= ，其中 t0，s 0，则 I 的值（A）依赖于 s 和 t（B）依赖于 s，t，x（C）依赖于 t，x，不依赖于 s（D）依赖于 s，不依赖于 t2 下列反常积分中发散的是二、填空题3 设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则 F(x)=_4 =_5 01xarcsinxdx=_6 设 f(x)在a ，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 ab
2、f2(x)dx=1，则 abxf(x)f(x)dx=_7 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 abf(x)dx=f(b)求证：在(a ，b) 内至少存在一点 ，使 f()=09 求下列不定积分：10 求下列不定积分：11 计算不定积分12 计算下列反常积分(广义积分)的值：13 设函数 y=f(x)在a ，b(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴围成的平面图形(如图 312) 绕 y 轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式14 证明下列不等式：15 计算下列定积分：16 设 f(x
3、)在a，b上有二阶连续导数，求证： abf(x)dx= (ba)f(a)+f(b)+ abf“(x)(xa)(x b)dx17 设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求18 求曲线 r=a(1+cos)的曲率19 求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h 的正劈锥体的体积20 有两根长各为 l，质量各为 M 的均匀细杆，位于同一条直线上，相距为 a，求两杆间的引力21 求22 求 0e1 (x+1)ln2(x+1)dx23 设 f(x)=arcsin(x1) 2，f(0)=0，求 01f(x)dx24 求函数 f(x)= 在区间e，e
4、 2上的最大值25 过曲线 y=x2(x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 ，求：()切点 A 的坐标； ()过切点 A 的切线方程；()由上述图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积26 证明， ，其中 n 为自然数27 设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有f(x)f(y) Mxy，M为正的常数，求证：考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 I= ，选 D【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A
5、：由于当 k1 时，故 收敛对于 B：是收敛的对于 C： 也是收敛的由排除法可知，应选 D【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题3 【正确答案】 2sinx【试题解析】 由题设及原函数存在定理可知，F(x)= 0xf(t)dt为求 f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=f(x)sinxdx=(cos 2x+C)=2sinxcosx， 从而 f(x)=2cosx ，于是 F(x)= 0xf(t)dt=0x2costdt=2sinx 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 【试题解析
6、】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 【试题解析】 因 =f(x)f(x)，所以【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 【试题解析】 因(xe x)=ex(x+1)，令 xex=t，则 dt=ex(x+1)dx，于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点 c 使得 这就说明 f(c)=f(b)根据假设可得 f(x)在c，b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c ，b) 内至少存在一点 ，使
7、 f()=0，其中 (c，b) (a，b)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 () 利用三角函数的倍角公式：1+cos2x=2cos 2x 进行分项得()利用加减同一项进行拆项得 ()将被积函数的分母有理化后得再将第二项拆项得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 () 令，则再用上面的三角形示意图 ，则得()令 x= ，于是 dx=asec2tdt，=asect，则 再利用上面的三角形示意图，则有其中C1=Clna()【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 ()
8、由于 x22x=(x 1) 21，所以为去掉被积函数中的根号，可令 x1=sect ，则有()采用分解法与分部积分法注意 ，将被积函数分解并用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 用微元法任取a，b 上小区间x，x+dx，相应得到小曲边梯形，它绕 y 轴旋转所成立体的体积(见图 312)为 dV=f(x)2xdx，于是积分得旋转体的体积为 V=2 abxf(x) dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 () 设 f(x)= ，则 f(x)在区间0，1上连续，且可见函数 f(x)在点 x= 处取得它在区间0，1上的最小值 ，又因 f(
9、0)=f(1)=1，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)=f(1)=1，从而()注意 0 x 时，0xtanx 1，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 () 这是一个含根式的积分，首先应该通过变量替换去掉根式()万能代换令 故()由于 ，故被积函数为分段函数，其分界点为 于是()作幂函数替换后再分部积分，则有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 连续利用分部积分有 abf(x)dx=abf(x)d(xb)=f(a)(ba) abf(x)(xb)d(xa) =f(a)(ba)+ ab(xa)df(x)(xb) =f(a)(b a)+
10、ab(xa)df(x)+ abf“(x)(xa)(x b)dx =f(a)(ba)+f(b)(ba) abf(x)dx+abf“(x)(xa)(xb)dx移项后得 abf(x)dx= (ba)f(a)+f(b)+ abf“(x)(xa)(xb)dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 本题是求 型未定式的极限，需用洛必达法则，但分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 与 g(xt)不含 x 才可以求导令原式=由积分中值定理，在 0 与x 之间存在 ，使 0xg(u)du=xg()，于是有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 曲线的参数方程为 x
11、=rcos=a(1+cos)cos，y=rsin=a(1+cos)sin， x=asin(1+2cos)=a(sin+sin2)，y=a(cos+cos2) ， x 2+y2=a22(1+cos)=2ar，x“=a(cos+2cos2)，y“=a(sin+2sin2)， xy“x“y=a 2(sin+sin2)(sin+2sin2)+(cos+cos2)(cos+2cos2) =3a2(1+cos)=3ar因此，曲率 K=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 取底圆所在平面为 Oxy 平面，圆心 O 为原点，并使 x 轴与劈锥的顶平行，底圆方程为 x2+y2=R2过 x
12、 轴上的点 x(RXR)作垂直于 x 轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形，底边长即 ，高为 h，该截面的面积为(由定积分的几何意义直接写出 =以半径为 R 的半圆的面积= )【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 沿杆建立坐标系如图 335在右杆上任取微元x，x+dx，它与左杆间的引力为 杆的线密度为 ，此微元到左杆右端距离为 x，于是两杆间的引力为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 先作恒等变形，然后凑微分即得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 【知识模块】
13、一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大 (小)值必在端点处取得由可知 f(x)在e，e 2上单调增加，故【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 如图 37()设点 A(x0，x 02)，点 A 处的切线方程 y=x02+2x0 (xx 0 )，且 y=2x0x 02令 y=0=截距 x= 按题意解得 x 0=1=A(1，1)()过 A 点的切线 y=2x1()旋转体体积 y=01(x2)2dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 利用被积函数的结合性，原式改写成 In= 两式相加得现得递推公式令 Jn=2nIn，得 Jn= +Jn1 由此进一步得 注意J0=0=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 将 01f(x)dx 与 分别表示成代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
