1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下三个命题， 若数列 un)收敛 A，则其任意子数列 必定收敛于 A； 若单调数列x n的某一子数列 收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x2n与x n+都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数( 假设都有意义 )中，是奇函数的是( )（A）f(x)（B） f(x)（C） (f(x)（D）(x)3 设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sin
2、x)，则在区间(0， )内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数4 设在区间(一,一) 内 f(x)0，且当 k 为大于 0 的常数时有 f(x+k)= ，则在区间(一 ，+)内函数 f(x)是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）周期函数（D）单调函数5 设 则 f(一 x)等于二、填空题6 设 ，则 ， 的值为_7 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_8 对充分大的一切 x，给出
3、以下 5 个函数：100 x，log 10x100，e 10x， ，则其中最大的是_9 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f(x)= g(x)=ex，求 fg(x)11 设 f(x)= 求 fg(x)12 (1)求函数 f(x)= 的表达式，x0 ；(2) 讨论函数 f(x)的连续性13 计算极限：14 求极限：15 求极限：16 求极限：17 求极限：18 求极限：19 20 求极限：21 求极限：22 求极限：23 求极限：24 求极限：25 求极限：26 求极限：27 求极限：28 求极限：29 求极限：30 求极限：31 求极限：考研数学二（函数、极限、连续）
4、模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有|u 0 一 A|则当 niN 时，恒有 |u ni 一 A| 因此数列 uni也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n为单调增加的，即 x 1x2x n，其中某一给定子数列 收敛于A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 ni N 时，恒有 由于数列x n为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 ninni+1，有 从而 |x n 一 A|可知数
5、列x n收敛于 A因此命题正确对于命题， 由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2：当 2nN 1 时，恒有|x 2n 一 A| ；当2n+1N 2 时，恒有|x 2n+1 一 A|取 N=maxN1，N 2，则当 nN 时，总有|x n 一A|因此 可知命题正确故答案选择(D)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有 g(一 x)=(一 x)=(一(x)=一 (x)=一 g(x)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 注意在 内，sin x 是增函数， cos x 是减函数
6、任取 x1,，且 x1x 2，有 cos x1cos x 2，所以 sin(cos x)sin(cos x 2)，即 f(x)是减函数；由于 sin x1sin x 2，所以 COS(sin x1)cos(sin x 2)，即 (x)是减函数【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x+2k)= =f(x)，故 f(x)是周期函数【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 f(-x)=【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=一 1，则 f
7、(1)=f(一 1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一f(一 1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k 一 1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na，令x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(n)=一 f(-n)=一(一 ha)=na所以对一切整数 n，
8、均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系：e axx ln x，其中， ， 0，故本题填【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由 fg(x)= 得到 fg(x)=【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 本题同样考查分段函数的复合方法下面用解析法求解首先，广义化为 fg(x)= 由 g(z)的表达式知， (1)当 g(x)0，即2ex 一 10)x0)或x 2 一 10)x0)，而 2e x 一
9、 10x0=x一 ln 2x0=x一 ln 2， x 2 一 10x0)= 一 1x1x0=0x1)(2)当g(x)0，即2e x 一 10x0 或x 2 一 10x0，而 2e x 一 10x0=x一 ln 2x0=一 ln 2x0)， x 2 一 10x 0)=x 1 或 x一 1x 0=x1综上，得 fg(x)=【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 当 x0 时，tan xx，【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 当 x0 时，sin xx，e xe-x=e-x(e
10、2x 一 1)2x，故原极限=2【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 当 x0 时，ln(1+x 4)x 4，1-cos x-，故原极限=【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 这是“1 ”型极限，可用公式 计算事实上 lnu=ln1+(u 一 1)u 一 1(u1)故原式=【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 这是“一”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法则求极限或利用等价无穷小ex 一 1x(当 x0)代换，则【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 是“1 ”型极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用
11、等价无穷小代换【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 投命题者所好，当狗0 时，狗一 sin 狗【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 当 x0 时，e tanxesinx=esinx(etanx-sinx 一 1)tan xsin x，xsin 2xx 3，故【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 根据海涅定理,【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 当 x=0，原式=1 ；【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续
