1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则 ( )（A）a=1 ，（B） a=1，（C） a=一 1，（D）a= 一 1，2 设当 x0 时，f(x)=ax 3+bx 与 是等价无穷小，则 ( )（A） b=1（B） a=3，b=0（C） b=0（D）a=1 ，b=03 若 在(一，+) 上连续，且 则 ( )（A）0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k04 设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2)一
2、 ln(1+sin2x)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 f2(x)=f1f1(x)，f k+1(x)=f1fk(x)，k=1 ，2，则当 n1时，f n(x)= ( ) 6 设 f(x)与 g(x)在( 一，+)上都有定义，且 x=x1 是 f(x)的唯一间断点，x=x 2 是g(x)的唯一间断点则 ( )（A）当 x1=x2 时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1（B）当 x1x2 时，f(x)+g(x)必有两个间断点 x=x1 与 x=x2（C）当 x1=x2 时，f(x)g(x)必有唯一间断点 x=x1（D）当 x
3、1x2 时，f(x)g(x)必有两个间断点 x=x1 与 x=x2二、填空题7 8 设 存在且不为零，则常数 k=_9 设 则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求极限：11 求极限：12 设 f(x)的二阶导数在 x=0 处连续，且 试求 f(0)，f(0)，f“(0)以及极限13 设 a0， x10， n=1，2，试求14 试讨论函数 在点 x=0 处的连续性15 求函数 的间断点，并判断它们的类型16 设 求 f(x)的间断点并判定其类型17 设 求 f(x)的间断点，并说明间断点的类型18 设 函数 f(x)由下列表达式确定， 求 f(x)的连续区间和间断点，并判定
4、间断点的类型19 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b上的一个点列，求20 (1)求函数 的表达式，x0； (2)讨论函数 f(x)的连续性21 如果数列x n收敛，y n发散，那么x nyn是否一定发散?如果x n和y n都发散，那么x nyn的敛散性又将如何?22 已知 是连续函数，求 a，b 的值23 设 为了使 f(x)对一切 x 都连续，求常数 a的最小正值24 设在 0x1 时函数 f(x)=xsinx 其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k使极限 存在25 证明：若单调函数 f(x)在区间(a ，b)内有间断点，则必为第一类
5、间断点26 设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2 一 x=0 确定，且满足 y(1)=一 1 的连续函数，求27 (1)设 k 为正整数， 证明：F(x) 存在唯一的零点，记为 xk；(2)对于(1)中的 xk，证明： 存在，且其极限值小于 228 设 a0， b0，ab，求29 求函数 的所有间断点，并判断它们的类型29 设数列x n满足 0x 1 1，ln(1+x n)=exn+1 一 1(n=1，2，)证明30 当 0x1 时，ln(1+x)xe x 一 1；31 存在，并求该极限考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
6、项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由泰勒公式知 从而 解得 a=1， 即a=1，【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 当 b0 时，该极限为，于是 b=0，从而 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 因 故 k0若 0，则必存在一个 x 使得 e-kx=0，即分母为 0，矛盾，故 0【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 因此 n=4【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 设 则 因此对任意 n1，有 故选(C)【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 B【试题
7、解析】 反证法令 (x)=f(x)+g(x)当 x1x2 时，若 (x)在 x=x1 处连续，由f(x)=(x)一 g(x)及题设 g(x)仅在 x=x2 处间断，可以推知 f(x)在 x=x1 处亦连续，与题干矛盾，故 (x)在 x=x1 处间断同理可推知 (x)在 x=x2 处亦间断所以(B)正确【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题7 【正确答案】 e -【试题解析】 因为 所以 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 100【试题解析】 由此可知，极限存在且不为零的充要条件是 99 一 k+1=0，即 k=100【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 由
8、积分的定义知， 因此 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 又 由夹逼准则得【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 这是“一”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法则求极限 或利用等价无穷小代换 ex 一 1x(x0) ，则 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 依题意有 故所以有 所以这是“1 ”型未定式 由 得 f(0)=0将原极限凑成第二个重要极限， 其中 所以必有 于是有 从而得 f(0)=0，f“(0)=4则 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 因为故x n有下界，
9、又 故x n单调递减，所以存在 令 于是 解得故【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 所以： 当 0 且 =一 1 时，有 g(0-)=g(0+)=g(0)=0，故 g(x)在 x=0 处连续； 当0 且 一 1 时，有 g(0-)g(0+)，故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点； 当 0 时，点x=0 是 g(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因故点 x=0 是函数 F(x)的跳跃间断点 当 x0 时， 在 x=1 处没有定义，且 振荡，不存在，故点 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点 当 x0 时， 在点列
10、 处没有定义，则这些点都是函数 F(x)的间断点特别对点 有 故点 是函数 F(x)的可去间断点；而点列 显然是函数 F(x)的无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因故 x=0 为可去间断点 又 故 x=一 1 为跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 f(x)在区间( 一 1，0)，(0，1)及(1，+) 上都是初等函数，且是连续的f(0)无定义，故 x=0 是间断点因为所以 x=0 为跳跃间断点 f(1) 无定义，故 x=1 是间断点因为所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 显然 x=1 为间断点，连续区间为
11、(一，1)(1，+)由于 所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 本题考虑夹逼准则由 f(x)在a ，b上连续，知 ef(x)在a ，b 上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)在a，b上的最大值和最小值，于是 故 由根据夹逼准则，得【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 (1)当 时，有当 时，有当 x2 时，有又 故 (2)因为 f(x)在 2，+)上均连续，又 所以 f(x)在0，+) 上连续【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 在题设两种情况下，x nyn)的收敛性都不能确定现在先就 xn收敛，y n
12、发散的情况来分析利用 这个恒等式，就可得到下述结论：若x n收敛且不收敛于零， yn发散，则x nyn)必发散这是因为若x nyn收敛，且x n收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限的除法法则，可知y n收敛，这与假设矛盾若 且y n发散，则 xnyn可能收敛，也可能发散，如： yn=n，则 xnyn=1，于是x nyn收敛 yn=(一 1)nn，则 xnyn=(一 1)n，于是x nyn发散 现在再就x n和y n都发散的情况来分析x nyn的收敛性有下面的结论：若x n和y n都发散，且两者至少有一个是无穷大，则xnyn必发散这是因为如果x nyn收敛，而x n为无穷大，从等式 便得到y
13、 n收敛于零，这与假设矛盾若x n和y n都不是无穷大，且都发散，则xnyn可能收敛，也可能发散，如： xn=yn=(一 1)n，有 xnyn=1，于是x nyn收敛 x n=(一 1)n，y n=1 一(一 1)n，有 xnyn=(一 1)n 一 1，于是x nyn)发散【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 当 x=1 时， 当|x|1 时， 当|x|1 时，当 x=一1 时， 于是只需讨论分界点处的连续性： 在 x=1 处，有要使 f(x)在 x=1 处连续，则 a+b=1； 在 x=一 1 处，有f(-1)=要使 f(x)在 x=一 1 处连续，则 a 一 b=一 1 综上可
14、得，当 a=0，b=1时， 是连续函数【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 当|x|1 时， 所以 f(x)=sinax； 当|x| 1时， 又 f(1)=1，f( 一 1)=一 1，所以 由此可得，f(x)在( 一，-1，(一 1，1)，1，+)内连续，故只需 f(x)在 x=一 1，x=1 这两点处连续即可因为 所以 即为常数 a 的最小正值【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x)v(x)化为复合函数 ev(x)lnu(x)，故 其中，(*)处通过等价无穷小代换与洛必达法则得 根据题设的关系式知 f(x)
15、=2f(x+1)一 k，得 由上述结果可得 f(x)在 x=0处的右极限 f(0+)=1，而其左极限 要使极限 存在，应有2 一 k=f(0-)=f(0+)=1，故 k=1【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 不妨设f(x)在(a ，b)内是单调递增的，x 0(a，b)是 f(x)的间断点再设 x(a，x 0)，则 xx 0，由单调递增性知： f(x)f(x 0)(为常数)，即 f(x)在(a， x0)上单调递增有上界，它必定存在左极限：式中“”处若取“ 一” 号，则 f(x)在点 x0 处左连续，同理可证，当 xx 0 时，单调增函数 f(x)存在右极限 x(x0)f(x0)，则
16、 f(x)在 x0 处右连续反之点 x0 为跳跃间断点综合之，单调增函数 f(x)在间断点 x0 处的左、右极限都存在，故若 x0 是 f(x)的间断点，则 x0 一定是 f(x)的第一类间断点同理可证f(x)在(a，b)内单调递减的情形【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 因为 y(1)=一 1，所以所给极限为 由洛必达法则得 对所给的方程两边求导得 2yyxy+y+2x 一 1=0，即 当 x1 时y一 1，y(x)0所以(*)式又是 于是有 又(*)式求导可得 当 x1 时 y一1，y(x)0，于是 y“(x)2所以 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 (1)故
17、 F(x)至少存在一个零点又 故至多存在一个零点所以 F(x)有且仅有一个零点 xk，且 (2)因 由单调有界定理知 存在，且极限值小于 2【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 考虑函数无定义的点，间断点有 x=一 2，一 1，0，1 在点 x1=一 2 处，由 可知 f(x)在点 x1=一 2 的半径小于 1的去心邻域内有界；同时，任一半径小于 1 的去心邻域内 f(x)的函数值无限振荡，振幅不趋于 0，所以 x1=一 2 是 f(x)的振荡间断点 在点 x2=一 1 处，由于即 在点 x2=一 1 的半径小于 1的去心邻域内有界
18、；而 所以 从而可知x2=一 1 是 f(x)的可去间断点 在点 x3=0 处，由于 所以 x3=0 是f(x)的无穷间断点 在点 x4=1 处，由于 所以x4=1 是 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 记 F1(x)=ln(1+x)一 x，则 于是F1(x)在(0 ，1)内单调减少，由 F1(0)=0，知 F1(x)0，x(0，1)，从而 ln(1+x) x； 记 F2(x)=x-ex+1，则 F2(x)=1 一 ex0，于是 F2(x)在(0，1)内单调减少，由 F2(0)=0，知 F2(x)0，x (0，1)，从而 xe
19、x 一 1 故 ln(1+x)xe x 一 1，0x1【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 当 0x1 时， ln(1+x)xe x 一 1 由 011，可知 0e x21一 ln(1+x1)x 11，从而 0x 21同理可证当 0x kk+1 同样满足 0x k+11，由数学归纳法知对一切 n=1，2，有 0x n1，即数列x n是有界的 又当0x n1 时 xn+1e xn+1 一 1=ln(1+xn)x n，即x n单调减少 由单调有界准则知存在将该极限值记为 a，则 a0 对 ln(1+xn)=exn+1 一 1 两边取极限，得 ln(1+a)=ea 一 1 设 f(x)=ex 一 1 一 ln(1+x)，当 0x1 时，因此 f(x)单调增加由 f(0)=0，可知 f(x)0，从而只有a=0，即【知识模块】 函数、极限、连续
