1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(f(x)等于( )（A）0（B） 1（C）（D）2 下列各题计算过程中正确无误的是( )（A）（B）（C）（D）3 下列各式中正确的是( )（A）（B）（C）（D）4 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且 则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点（C） x=0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关5 设 x0 时，ax 2+bx+ccosx 是比 x2 高阶无穷小，
2、其中 a，b，c 为常数，则( )（A）（B）（C）（D）6 设数列 xn 与 yn 满足 ,则下列断言正确的是( )（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必无界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小7 设 x0 时，(1+sinx) x 一 1 是比 xtanxn 低阶的无穷小，而 xtanxn 是比(e sin2x 一 1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义 f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则(
3、 )（A）(f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D） 必有间断点9 极限 ( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于10 设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x 一 a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( ) f(x)g(x)是 x 一 a 的 n+m 阶无穷小 若 nm，则 是 x 一 a 的n 一 m 阶无穷小若 nm，则 f9x)+g(x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小（A）1（B） 2（C） 3（D）011 曲线 ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有垂直渐近线（D）既有水平渐近线也有垂直渐
4、近线12 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当x(a 一 ，a+)时，必有 ( )（A）(x 一 a)f(x)一 f(a)0（B） (x 一 a)f(x)一 f(a)0（C）（D）13 x0 当时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小?( )（A）x 2（B） 1 一 cosx（C）（D）x 一 tanx14 f(x)=xsinxe cosx(xR)是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数15 设 则( )（A）f(x)在点 x=1 连续，在点 x=一 1 间断（B） f(x)在点 x=1 间断，在点 x=一 1
5、 连续（C） f(x)在点 x=1，x=一 1 都连续（D）f(x)在点 x=1，x= 一 1 都间断16 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在，但不为17 函数 f(x)=xsinx( )（A）当 x时为无穷大（B）在 (一，+)内有界（C）在 (一，+)内无界（D）当 x时有有限极限18 设数列极限函数 则 f(x)的定义域，和 f(x)的连续区间 J 分别是( )（A）I=( 一，+)，J=(一，+) （B） I=(一 1，+)，J=(一 1，1) (1，+)（C） I=(一 1，+)，J=(一 1，+) （D）I=( 一 1，1) ，J=(
6、 一 1，1)19 设 f(x)可导 f(x)=0,f(0)=2， ，则当 x0 时，F(x)是 g(x)的 ( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小20 设 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x0 间断，则在点 x0 处必定间断的函数是( )（A）f(x)sinx （B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）f(x)二、填空题21 设 ，则 f(x)的间断点为 x=_22 =_.23 设 =_.24 =_.25 =_.26 =_.27 =_.28 =_.29 =_.30 =_.31 =_.32 =_.三、解答题解答应写出文字说明
7、、证明过程或演算步骤。33 试确定常数 A，B，C 的值，使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小34 设 f(x)连续， 求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性35 已知函数 (1)求 a 的值；(2)若 x0 时 f(x)一 a与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值36 已知两曲线 y=f(x)与 在点(0，0)处的切线相同求此切线的方程，并求极限37 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinxn(n=1，2，)(1)证明 存在，并求该极限(2)计算38 求极限39 求极限40 求极限41 (1)证明方程
8、xn+xn-1+x=1(n 为大于 1 的整数)在区间 内有且仅有一个实根；(2)记(1)中的实根为 xn，证明 存在，并求此极限41 设 x1=a0，y 1=b0(ab) ，且 证明：42 均存在；43 考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 而由 可知f(x)1，因此(f(f(x)=1故选 B【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 A 项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则 B 项错误，是定式不能用洛必达法则C 项错误，用洛必达法则求不存在，也不
9、为，法则失效，不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的故选 D【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 由重要极限结论 可立即排除 B、D 对于 A、C 选项，只要验算其中之一即可对于 C 选项，因，故 C 不正确，选 A【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 又 g(0)=0，所以当 a=0时，有 也就是说，此时 g(x)在点 x=0 处连续，当 a0 时，即此时 x=0 是 g(x)的第一类间断点，因此， g(x)在 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得
10、得 c=1，又因为所以 b=0， .故选 C.【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 取 xn=n，y n=0，显然满足，由此可排除 A、B若取 xn=0，y n=n，也满足，又排除 C，故选 D.【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，(1+sinx) x 一 1 一 ln(1+sinx)x 一 1+1=xln(1+sinx)xsinxx 2，(e sin2x 一 1)ln(1+x2)sin 2x.x2x 4，而 xtanxn 一x.xn=xn+1因此 2n+14，则正整数 n=2，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确
11、答案】 D【试题解析】 取 则 f(x)，(x) 满足题设条件由于 (f(x)=1，(x) 2=1,f(x)=1 都是连续函数，故可排除A、B、C，应选 D【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 与 k 的取值有关，则极限 不存在，故选 A【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题按无穷小阶的定义要逐一分析：对于：即sinx+(一 x)是 x 的三阶无穷小因此，正确，但错误故选 B【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0 是函数 的间断点因为 ，故x=0 是该函数的无穷型间断点，即 x=0 是该
12、曲线的垂直渐近线又因故原曲线有水平渐近线 y=1，因此选 D【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A、B 显然不正确由 f(a)是 f(x)的极大值，即 f(a)一 f(x)0，可见 因此选 C【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小结论由于 x0 时，所以当 x0 时，B、C 与 A 是同阶的无穷小，由排除法知选 D【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(一 x)=(一 x)sin(一 x)e cos(-x)=sinx e cosx=f(x)，故 f(x)为偶函数，应选 D【知识模块】
13、 函数、极限、连续15 【正确答案】 B【试题解析】 由连续定义可知，所以，f(x)在 x=一1 处连续，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 D【试题解析】 因 故当 x1 时，函数极限不存在，也不是，应选 D【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 C【试题解析】 由于当 x时 f(x)中含有“” 因子 x，而无确定的零因子，因而f(x)无界，故选 C【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 B【试题解析】 当 当 x=1 时，当 x1 时，当 x一 1 时,不存在，因为【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 D【试题解析】 先改写【知识模块】
14、 函数、极限、连续20 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sinx 在 x=x0 连续，则 f(x)=(f(x)+sinx)一 sinx 在 x=x0 连续，与已知矛盾因此 f(x)+sinx 在 x0 必间断故选 B【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题21 【正确答案】 0【试题解析】 首先对于不同的 x，用求极限的方法得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点当 x=0 时,f(x)=0；当 x0 时，所以 x=0 为f(x)的间断点【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 0【试题解析】 因为 ，arctanx 为有界函数，即【知识模块】 函数、极限、连续23
15、 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，将 xn 化简得所以【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 e 9【试题解析】 化为指数函数求极限，则有【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【试题解析】 先将分子化简，然后用等价无穷小因子进行代换易知，则【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为 ，因此 e3a=8，即a=ln2【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 2【试题解析】 由于 则【知识模块】 函
16、数、极限、连续30 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。33 【正确答案】 将泰勒公式 代入已知等式得整理得比较系数可得【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 已知 即 f(0)=0，f(0)=A ，并且 (0)=0又因 根据导数的定义，有 因此，(x)在x=0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 (1) 即a=1(2)当 x0 时，由题设，x0 时 f(x)一 a
17、 与 xk 是同阶无穷小，所以 k=1【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 由已知条件得故所求切线方程为y=x由导数定义，及数列极限与函数极限的关系可得【知识模块】 函数、极限、连续37 【正确答案】 (1)证明：因为 0x 1 ，则 0x 2=sinx11 可推得0x n+1=sinxn1，n=1，2，则数列x n有界于是 (因当x0 时，sinxx)，则有 xn+1x n，可见数列x n单调减少，故由【知识模块】 函数、极限、连续38 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续39 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续40 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续
18、41 【正确答案】 (1)根据题意，令 f(x)=xn+xn-1+x 一 1则 f(1)0，再根据结合零点定理可得,至少存在一个零点，即方程 xn+xn-1+x=1 在区间 内至少有一个实根又因为 f(x)=xn+xn-1+x-1 在 上是单调的，可知 f(x)=xn+xn-1+x 一 1 在 内最多只有一个零点综上所述，方程 xn+xn-1+x=1 在区间 内有且仅有一个实根 (2)由题设 f(xn)=0，可知 xnn+xnn-1+xn 一 1=0，进而有 xn+1n+1+xn+1n+xn+1 一 1=0，所以 xn+1n+xn+1n-1+xn+1 一10，比较上面两个式子可知 xn+1x n，故x n单调递减又由 (1)知 ，也即x n是有界的则由单调有界收敛定理可知x n收敛，假设 =a，可知ax 2x 1=1当 n时，【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续42 【正确答案】 由不等式 及题设条件，有0x n+1yn+1(n=0，1，2，)，所以 因此可知数列x n单调增加，数列y n单调减少，又 a=x1x2x nxn+1yn+1yny 1=b所以数列xn有上界，数列 yn有下界根据单调有界准则，此二数列均收敛【知识模块】 函数、极限、连续43 【正确答案】 设 ，则由【知识模块】 函数、极限、连续
