1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，(1 一 cosx)In(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是 tt(ex2 一1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 f(x)在 x0 点连续，且在 x0 一空心邻域中有 f(x)0，则( )（A）f(x 0)0（B） f(x0)0（C） f(x0) 0（D）f(x 0)=03 把 x0 +时的无穷小量 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），（
2、B） ， （C） ， （D）， 4 函数 的间断点及类型是( )（A）x=1 为第一类间断点， x=一 1 为第二类间断点（B） x=1 均为第一类间断点（C） x=1 为第二类间断点，x= 一 1 为第一类间断点（D）x=1 均为第二类间断点5 设 则( )（A）（B）（C）（D）6 设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点 (x) 2 必有间断点 (x)没有间断点（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 则 ( )（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零
3、（C）一定不存在（D）不一定存在8 设 f(x)=2x+3x 一 2，则当 x0 时( )（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶，但非等价无穷小（C） f(x)是比 x 高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 低阶的无穷小9 设 ，其中 a2+c20，则必有( )（A）b=4d（B） b=一 4d（C） a=4c（D）a= 一 4c10 当 x0 时，e x 一(ax 2+bx+1)是 x2 高阶的无穷小，则 ( )（A） （B） a=1，b=1（C） （D）a= 一 1，b=111 设函数 在(一，+)内连续，且 则常数 a，b 满足 ( )（A）a0， b0（B） a0
4、，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b012 设函数 ，则( )（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点13 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )（A） （B） （C） （D） 14 函数 在一 ， 上的第一类间断点是 x=( )（A）0（B） 1（C）（D）15 设函数 则 f(x)有( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断
5、点（C） 2 个跳跃间断点（D）2 个无穷间断点16 当 x0 时 f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则( )（A）（B）（C）（D）17 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小，则( )（A）k=1，c=4（B） k=1，c=一 4（C） k=3，c=4（D）k=3，c=一 418 函数 的无穷间断点的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）319 设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 02f(t)dt 是( )（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在 x
6、=0 间断的奇函数（D）在 x=0 间断的偶函数20 设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是( )（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛21 设a n，b n，c n均为非负数列，且 ，则必有( )（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 不存在（D）极限 不存在二、填空题22 设 a1，a 2，a m 为正数 (m2)，则 =_.23 =_.24 x表示 x 的最大整数部分，则 =_.25 数列 =_.26
7、 若 在(一，+) 内连续，则 a=_27 设函数 f(x)在 x=1 连续，且 f(1)=1，则 =_28 设函数 f(x)在(一，+)上连续，则A=_.29 =_.30 设函数 在 x=0 处连续，则 a=_31 当 x0 时，a(x)=kx 2 与 是等价无穷小，则k=_32 已知函数 f(x)连续，且 ，则 f(0)=_33 设函数 在(一，+)内连续，则 c=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。34 设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明在0，1上至少存在一点 ，使得 f()35 设函数 设数列x 0满足 ，证明 存在，并求此极限36 计算： 。37
8、求38 求39 求40 求41 求考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因当 x0 时，而由(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxu 高阶的无穷小，知 4n+1，即 n3；由 xsinxn是比(e x2 一 1)高阶的无穷小，知 n+12，即 n1因此正整数 n=2，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x0 连续，有 ，又因在 x0 的一空心邻域中有f(x)0，由极限的保号性性质有 f(x0)0，故选 B【知识模块】
9、函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以当 x0 +时， 是 x 的一阶无穷小， 是 x 的三阶无穷小， 是 x 的二阶无穷小，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 分别就x=1，z1，x1 时求极限 得出 f(x)的分段表达式：【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 用推演法将题设条件 f(x)中的所有自变量 z 都用(一 x)替换，得故选 D【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 B【试题解析】 错误举例如下：设 则 f(x)=1在 R 上处处连续错误举例如下：设 则(x) 2=9 在 R 上处处连续正确
10、，因为 f(x)在 R 上连续，而 (x)的取值必定在 R 上因此正确的只有，选 B【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 D【试题解析】 取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然有 (x)f(x)g(x)，且，但 不存在，故 A、B 排除再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样有 (x)f(x)g(x)，且 ，但 可见 C不正确，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 B【试题解析】 利用洛必达法则求解因故选 B【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，由皮亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为x 的一阶无穷小；而
11、 1 一 cosx，1 一 e-2 均为 x 的二阶无穷小，因此有【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 A【试题解析】 显然要使上式为 x2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 故选A【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)连续，所以 a+ebx0，因此只要 a0 即可再由可知 x一时，a+e bx 必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需 b0，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【试题解析】 显然函数 f(x)在 x=0，x=1 两个点处无定义，因此这两个点均为间断点因 ，所以 x=0 为第二类间断点；因为 ，所以 x=1
12、 为第一类间断点，故应选 D【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查的内容是等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可当 x0 +时，有下列几个等价无穷小成立：故用排除法可得正确选项为 B本题亦可以利用另外的方法来解答或者直接分解所以应选 B【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 A【试题解析】 可以先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型显然函数在 x=0，x=1， 均无意义，而故 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点，故应选 A【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 A【试题解析】 x=0，x=1 时 f(x)均无
13、定义，所以 x=0，x=1 是函数的间断点并且根据可去间断点和跳跃间断点的定义可知，x=0 是可去间断点，x=1 是跳跃间断点因此选 A【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 A【试题解析】 本题可以利用排除法解答，由于 ln(1 一 bx)与一 bx 为等价无穷小，则所以本题选 A【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意且由泰勒公式和洛必达法则有由此可得 k=3，c=4，故选C【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 B【试题解析】 所以正确选项为 B【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 B【试题解析】 本题可采用赋值法进行求解
14、，取符合题意条件的特殊函数计算 它是连续的偶函数，故选B【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)在( 一，+) 内单调有界，且结合选项 B，x n单调，所以f(xn)单调且有界故 f(xn)一定存在极限，即f(x n)一定收敛【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查极限的相关定义，由于极限值与数列前面有限项的大小无关，因此可排除 A，B；而极限 是一个 0.型未定型极限，可能存在也可能不存在，因此可以排除 C；极限 是 1.型，必为无穷大量，即极限不存在因此选项 D 正确也可用举反例法，取 ，则可立即排除 A，B，C
15、，因此正确选项为 D【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题22 【正确答案】 maxa 1，a 2，a m【试题解析】 假设 a1 为最大值，则所以【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【试题解析】 利用等价无穷小因子，【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 0【试题解析】 因为 f(x)在( 一，0)及(0，+) 内连续，所以选择数 a，使 f(x)在 x=0处连续【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 ln3【试题解析】 由题干
16、可知， 由函数的连续性得【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【试题解析】 令函数 其中 g(x)，h(x) 分别在a，x 0，(x0，b是初等函数，因此连续且 f(x)在 x0 连续所以 g(x0)=h(x0)对任意常数A，显然 x1 时 f(x)连续当且仅当 时 f(x)在 x=1 连续因此，当 时 f(x)在( 一，+) 上连续【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【试题解析】 已知 f(x)在 x=0 处连续，则所以【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知， 所以
17、得【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 1【试题解析】 由题设知，cx0，所以【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。34 【正确答案】 本题可以转化为证明 在0，1存在零点，因为 f(x)在0，1连续，所以 连续F(x)在存在零点的情况可转化为函数 F(x)在 上存在两个点的函数值是异号【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 因此数列x n单调递增由于 得 0x ne，即数列x n有界由单调有界必收敛定理可知，极限 存在【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续37 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续38 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续39 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续40 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续41 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续
