1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 45 矩阵， 1， 2， 3， 4， 5 是 A 的列向量组，r( 1， 2， 3， 4， 5)=3，则 ( )正确。（A）A 的任何 3 个行向量都线性无关（B） 1， 2， 3， 4， 5 的一个含有 3 个向量的部分组()如果与1， 2， 3， 4， 5 等价，则一定是 1， 2， 3， 4， 5 的最大无关组（C） A 的 3 阶子式都不为 0（D） 1， 2， 3， 4， 5 的线性相关的部分组含有向量个数一定大于 32 n 维向量组() 1， 2
2、， ， r 可以用 n 维向量组() 1， 2， s 线性表示（A）如果() 线性无关，则 rs（B）如果 ()线性相关，则 rs（C）如果 ()线性无关，则 rs（D）如果() 线性相关，则 rs3 A 是 mn 矩阵， B 都 nm 矩阵AB 可逆，则（A）r(A)=m，r(B)=m（B） r(A)=m，r(B)=n （C） r(A)=n，r(B)=m （D）r(A)=n，r(B)=n 4 AB=0，A， B 是两个非零矩阵，则（A）A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关（D）A
3、的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关5 设 1， 2， 3 线性无关，则( )线性无关：（A） 1+2， 2+3， 3 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 13 2+223，3 1+525 36 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示7 若 1， 2， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1+2， 1+2+3（B） 1+2， 1 2， 3（C） 1+2， 2+3， 3
4、 1（D） 1 2， 2 3， 3 18 设 n 维向量 1， 2， s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1+2， 2+3， s1 +s， s+1 也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关（C）如果 1， 2， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相关，那么 s 可由 1， 2， s1 线性表出二、填空题9 设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 =(1，0，0) T，则方程组 AX=的解为_10 已知 1=(a，a，a) T，
5、2=(a，a，b) T， 3=(a，a，b) T 线性相关，则 a，b满足关系式_11 任意 3 维向量都可用 1=(1，0，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表出，则 a_12 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A*)=_13 与 1=(1， 1，0，2) T， 2=(2，3，1，1) T， 3=(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (1)如果矩阵 A 用初等列变换化为 B，则 A 的列向量组和 B 的列向量组等价(2)如果矩阵 A 用初等行变换化为 B，则 A 的行向量组和 B 的行向量组等
6、价15 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=k，r( 1， 2， s， ，)=k+1，求 r(1， 2， s，)16 已知 ，求 r(ABA) 17 设 1=(1， 0，2，3) T， 2=(1，1，3，5) T， 3=(1，1，a+2，1)T， 4=(1，2，4，a+8) T， =(1，1，b+3，5) T 问：(1)a，b 为什么数时， 不能用1， 2， 3， 4 表示? (2)a ，b 为什么数时， 可用 1， 2， 3， 4 表示，并且表示方式唯一?18 已知 可用 1， 2， s 线性表示，但不可用 1， 2， s1 线性表示证明 (1) s 不可用 1， 2， s1
7、 线性表示； (2) s 可用1， 2， s1 ， 线性表示19 已知 1， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为1 和 1，又 3 维向量3 满足 A 3=2+3 证明 1， 2， 3 线性无关20 设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX=0 的一个非零解，向量组 1， 2， s 满足Ai1 i(i=2，3，s)证明 1， 2， s 线性无关21 设 1， 2， 3 都是 n 维非零向量，证明： 1， 2， 3 线性无关对任何数s，t， 1+s3， 2+t3 都线性无关22 设 1， 2， s 和 1， 2， t 都是 n 维向量组，证明r(1， 2， s， 1， 2， t)r
8、(1， 2， s)+r(1， 2， t)设 A和 B 是两个行数相同的矩阵，r(AB)r(A)+r(B) 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵， 表示 A 在上，B 在下构造的矩阵证明23 设 A 是 n 阶矩阵，证明24 设 A 为实矩阵，证明 r(ATA)=r(A)25 已知 a1，a 2，a s 是互不相同的数，n 维向量 i=(1，a i，a i2，a in1 )T(i=1，2，s)，求向量组 1， 2， s 的秩26 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 6 答案与解析一、选
9、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 r( 1， 2， 3， 4， 5)=3，说明 1， 2， 3， 4， 5 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定相关，但是相关不一定包含向量超过 3 个D 不对 r(1， 2， 3， 4， 5)=3，则 A 的行向量组的秩也是 3，因此存在 3 个行向量线性无关，但是不是任何 3 个行向量都线性无关排除 A A 的秩也是 3，因此有 3 阶非零子式，但是并非每个 3 阶子式都不为 0，C 也不对 下面说明 B 对( )与1， 2， 3， 4， 5 等价，则()的秩=r( 1， 2， 3， 4， 5)=
10、3=()中向量的个数，于是( )线性无关，由定义() 是最大无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩2 【正确答案】 A【试题解析】 C 和 D 容易排除，因为()的相关性显然不能决定 r 和 s 的大小关系的A 是定理 38 的推论的逆否命题根据该推论，当向量组 ()可以用()线性表示时，如果 rs ，则( ) 线性相关因此现在( ) 线性无关，一定有 rsB 则是这个推论的逆命题，是不成立的也可用向量组秩的性质来说明 A 的正确性：由于() 可以用 ()线性表示，有r()r( )s又因为()线性无关，所以 r()=r于是 rs【知识模块】 向量组的线性关系与秩3 【正确答案】 A【试题解析
11、】 AB 是 m 阶矩阵，AB 可逆，则 m=r(AB)r(A)m，得 r(A)=m同理得 r(B)=m。【知识模块】 向量组的线性关系与秩4 【正确答案】 A【试题解析】 用秩矩阵的行(列)向量组线性相关，即其的秩小于行(列)数设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，则由 AB=0 得到 r(A)+r(B)n由于 A，B 都不是零矩阵，r(A)0，r(B)0于是 r(A)n ，r(B)n n 是 A 的列数，B 的行数，因此 A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩5 【正确答案】 C【试题解析】 容易看出 A 中的向量组的第 2 个减去第 1 个等
12、于第 3 个，所以相关B 组的前两个之和等于第 3 个，也相关于是 A 和 B 都可排除现在只用判断 C 组是否相关(若相关，选 D，若无关，选 C )1+22，2 2+33，3 3+1 对1， 2， 3 的表示矩阵为 C 可逆，于是 r(1+22，2 2+33，3 3+1)=r(C)=3，因而 C 组向量线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩6 【正确答案】 C【试题解析】 故应选 C【知识模块】 向量组的线性关系与秩7 【正确答案】 D【试题解析】 用观察法由( 1 2)+(2 3)+(3 1)=0，可知1 2， 2 3， 3 1 线性相关故应选 D至于 A，B，C 线性无关的判断可以
13、用秩也可以用行列式不为 0 来判断例如，A 中 r(1， 1+2， 1+2+3)=r(1， 1+2， 3)=r(1， 2， 3)=3或( 1， 1+2， 1+2+3)=，由行列式 0 而知 1， 1+2， 1+2+3 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩8 【正确答案】 C【试题解析】 A：当 s 为偶数时，命题不正确例如，1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关 B ：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系例如， 1， 2， s与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关 C：因为(A 1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，于是
14、r(A 1，A 2，A s)=rA(1， 2， s)r(1， 2， s)s， 所以，A 1，A 2，A s 必线性相关故应选 C D：要正确理解线性相关的意义【知识模块】 向量组的线性关系与秩二、填空题9 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 设 A=(1， 2， 3)A 为正交矩阵，列向量是单位向量于是 1 是(1，0， 0)T则 = 1=A(1，0，0) T， 解为(1，0，0) T【知识模块】 向量组的线性关系与秩10 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 1， 2， n=0而故 a=0 或 a=b【知识模块】 向量组的线性关系与秩11 【正确
15、答案】 3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1， 2， 3 线性表出 r(1， 2， 3)=3因而所以 a3 时，任何 3 维向量均可由1， 2， 3 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩12 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*)= 知 r(A*)=0【知识模块】 向量组的线性关系与秩13 【正确答案】 【试题解析】 设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则 T=0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，1，2，1) T，单位化得为所求【知识模块】 向量组的线性关系与秩三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (
16、1)利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵 A 用初等列变换化为B 时，存在一系列初等矩阵 P1，P 2，P s，使得 AP 1P2Ps=B 由于 P1P2Ps 是可逆矩阵，于是 A 的列向量组和 B 的列向量组等价 (2)当矩阵 A 用初等行变换化为 B 时，存在一系列初等矩阵 P1，P 2，P s，使得 P sP2P1A=B 由于PSP2P1 是可逆矩阵，于是 A 的行向量组和 B 的行向量组等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩15 【正确答案】 利用定理 36，只用看 能不能用 1， 2， s 线性表示 由条件知， 可用 1， 2， s 线性表示， 不能用 1， 2， s， 线性表示，从
17、而也就不能用 1， 2， s 线性表示于是 不能用1， 2， s 线性表示从而 r(1， 2， s，)=k+1 【知识模块】 向量组的线性关系与秩16 【正确答案】 如果先求出 ABA，再求它的秩，计算量比较大注意到ABA=A(BE) ，而 BE 是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质 ，r(ABA)=r(A) ，直接计算 r(A)就简单多了 得 r(ABA)=r(A)=2 【知识模块】 向量组的线性关系与秩17 【正确答案】 利用秩来判断较简单为此计算出 r(1， 2， 3， 4)和r(1， 2， 3， 4，)作比较 构造矩阵( 1， 2， 3， 4) ，并用初等行变换化为阶梯形矩阵： (1)当 a
18、+1=0，而b0时，r( 1， 2， 3， 4)=2，而 r(1， 2， 3， 4，)=3，因此 不能用1， 2， 3， 4 线性表示 (2)当 a+10时(b 任意) ，r( 1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4，)=4 ， 可用 1， 2， 3， 4 表示，并且表示方式唯一(如果a+1=0，而 b=0，则 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4，)=2，因此 能用1， 2， 3， 4 线性表示但是表示方式不唯一)【知识模块】 向量组的线性关系与秩18 【正确答案】 由于 可用 1， 2， s 线性表示，可设有表示式=k11+k22+kmm， ()(1) 用反证法
19、如果 s 可用 1， 2， s1 线性表示；设 s=t11+t22+tm1 m1 ，代入()式得 用 1， 2， s1 的线性表示式：=(k1+t1)1+(k2+t2)2+(km1 +tm1 )dm1 ，与条件矛盾(2)()中的 km0(否则 可用 1， 2， ， s1 线性表示)于是有【知识模块】 向量组的线性关系与秩19 【正确答案】 根据特征向量的性质， 1， 2 都是 A 的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的根据定理 32，只用再证明 3 不可用 1， 2 线性表示 用反证法如果 3 可用 1， 2 表示，设 3=c11+c22，用 A 左乘等式两边，得 2+3=c 11+c
20、22， 减去原式得 1=2c 11， 与 1， 2 线性无关矛盾，说明 3 不可用 1， 2 线性表示【知识模块】 向量组的线性关系与秩20 【正确答案】 用定义法 设 c11+c22+css=0(1)，要推出系数 ci 都为 0 条件说明 Aii=A1=0(i=1，2，3，s) 用 As1 乘(1)的两边，得 cs1=0，则 cs=0 再用 As2 乘(1) 的两边，得 cs1 1=0，则 cs1 =0 这样可逐个得到每个系数都为0【知识模块】 向量组的线性关系与秩21 【正确答案】 “=”用定义法也不麻烦(请读者自己做 )，但是用 C 矩阵法更加简单 1+s3， 2+t3 对 1， 2，
21、3 的表示矩阵为 显然对任何数s，t， C 的秩都是 2，于是 1+s3， 2+t3 的秩为 2，线性无关“ 1， 2 线性无关，于是(根据定理 32) 只要再证明 3 不可用 1， 2 线性表示用反证法如果 3 可以用 1， 2 线性表示，设 3=c11+c22，则因为 3 不是零向量，c 1，c 2 不能全为0不妨设 c10，则有 于是 1 3， 2 线性相关，即当s= ，t=0 时 1+s3， 2+t3 相关，与条件矛盾【知识模块】 向量组的线性关系与秩22 【正确答案】 这是 3 个互相等价的命题：是 的向量形式；是的转置形式因此对其中之一的证明就完成了这 3 个命题的证明 证明取1，
22、 2， s， 1， 2， t的一个最大无关组 () ，记() 1 是()中属于1， 2， s 中的那些向量所构成的部分组，() 2 是()中其余向量所构成的部分组于是() 1 和() 2 分别是属于 1， 2， s 和 1， 2， t 的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过 r(1， 2， ， s)和 r(1， 2， t)从而 r( 1， 2， s， 1， 2， t)=() 中向量个数 =( ) 1 中向量个数+() 2 中向量个数 r( 1， 2， s)+r(1， 2， t)【知识模块】 向量组的线性关系与秩23 【正确答案】 当 r(A)=n 时，A 可逆，从而 A*也可逆，秩为 n
23、 当 r(A)n1时，它的每个余子式 Mij(是 n1 阶子式)都为 0，从而代数余子式 Aij 也都为 0于是 A*=0，r(A *)=0 当 r(A)=n1 时，A=0，所以 AA*=0于是 r(A)+r(A*)n由于 r(A)=n1，得到 r(A*)1 又由 r(A)=n 1 知道 A 有 n1 阶非 0 子式，从而存在代数余子式 Ahk 不为 0，于是 A*0，r(A *)0于是 r(A*)=1【知识模块】 向量组的线性关系与秩24 【正确答案】 通过证明 ATAX=0 和 AX=0 同解，来得到结论 A TAX=0 和AX=0 同解，即对于实向量 ，A TA=0A=0 “”A TA=
24、0=TATA=0，从而(A，A)= TATA=0，得 A=0【知识模块】 向量组的线性关系与秩25 【正确答案】 当 sn 时， 1， 2， s 必线性相关，但 1， 2， n是范德蒙行列式，故 1， 2， n 线性无关因而 r(1， 2， s)=n 当 s=n时， 1， 2， ， n 线性无关，秩 r(1， 2， n)=n 当 sn 时，记1=(1， a1，a 12，a 1s1 )T， 2=(1，a 2，a 22，a 2s1 )T， ， s=(1，a s，a s2，a ss1 )T，则 1， 2， s 线性无关那么1， 2， s 必线性无关故 r(1， 2， s)=s【知识模块】 向量组的线性关系与秩26 【正确答案】 因为 AB=C，所以 r(AB)r(A)，即 r(A)r(C)=m又 A 是 mn 矩阵，r(A)m，从而 r(A)=m因为 r(A)=A 的行秩，所以 A 的行向量组线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩
