1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示2 向量组 1， 2， a 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， a 均不是零向量（B） 1， 2， a 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， a， s+1 线性无关（D） 1， 2， a 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表出3 设 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向
2、量，则下列说法正确的是（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1+3， 2+4 也线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关，则 1+4， 2+4， 3+4 线性无关（C）若 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关（D）若 1， 2， 3， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关4 若 1， 2， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1+2， 1+2+3（B） 1+2， 1-2，- 3（C） -1+2， 2+3， 3-1（D） 1-2， 2-3， 3-15 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2
3、， s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关6 若 r(1， 2， r)=r，则（A）向量组中任意 r-1 个向量均线性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r+1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r7 设 n 维向量 1， 2， s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1+2， 2+3， s-1+s， s+1 也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关（C）
4、如果 1， 2， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相关，那么 s 可由 1， 2， s-1 线性表出8 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） Rm，方程组 Ax=b 必有无穷多解（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）行列式A TA=0二、填空题9 向量组 1=(1，0，1，2) T， 2=(1，1，3，1) T， 3=(2，-1，a+1，5) T 线性相关，则a=_10 已知 1=(a，a，a) T， 2=(-a，a ，b)
5、T， 3=(-a，-a，-b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式_.11 已知 1， 2， 3 线性无关， 1+v， 2-3， 1-2+3 线性相关，则 a=_12 若 =(1，3，0) T 不能由 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，-2) T 线性表出，则 a=_.13 任意 3 维向量都可用 1=(1，0，1) T， 2=(1，-2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表出，则 a=_14 向量组 1=(1，-1 ，3，0) T， 2=(-2，1，a ，1) T， 3=(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则 a=_15 已知 r(1， 2，
6、s)=r(1， 2， s，)=r，r( 1， 2， s，)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_16 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A*)=_17 已知 A= 且 AXA*=B，秩 r(X)=2，则a=_18 已知 A= ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 BAT=0，则 a=_19 与 1=(1， -1，0，2) T， 2=(2，3，1，1) T， 3=(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 AT=A*，证明 A 是正交矩阵21 已知 1=(1，1，0，2) T， 2=(-1，
7、1，2，4) T， 3=(2，3，a，7) T， 4=(-1，5，-3，a+6) T，=(1，0，2，6) T，问 a，b 取何值时，() 不能由 1， 2， 3， 4 线性表示?() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一； () 能用1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式22 已知向量组 1= ， 2= ， 3= 与 1= ， 2= ， 3= 有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 4 线性表出，求 a，b 的值23 已知 a1，a 2，a s 是互不相同的数，n 维向量 i=(1，a i，a i2，a in-1)T(i=1，2，s)，求向量组 1， 2
8、， s 的秩24 设 A 是 n 阶非零实矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出25 证明 1， 2， s(其中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 i(1is)能由它前面的那些向量 1， 2， i-1 线性表出26 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关27 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)28 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是
9、实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交.考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 故应选(C)【知识模块】 向量组的线性关系与秩2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1=(1，1，1)T， 2=(1，2， 3)T， 3=(2，3，4) T，虽 1， 2， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1+2-3=0， 1， 2， 3 线性相关(C)是线性无关的充分条件由 1， 2， s， s+1 线性无关 1， 2， ，
10、 s 线性无关，但由1， 2， s 线性无关 1， 2， s， s+1 线性无关 (D)是线性相关的意义故应选(D) 【知识模块】 向量组的线性关系与秩3 【正确答案】 C【试题解析】 若 1=(1，0) ， 2=(2，0)， 3=(0，2)， 4=(0，3)，则 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，但 1+3=(1，2) ， 2+4=(2，3)线性无关故(A)不正确 对于(B) ，取 4=-1，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0， 1)，(-1，-1，-1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1， 2，
11、3 线性无关，则 4 必可由 1， 2， 3 线性表出现在 4 不能由1， 2， 3 线性表出，故 1， 2， 3 必线性相关故应选(C)【知识模块】 向量组的线性关系与秩4 【正确答案】 D【试题解析】 用观察法由 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0，可知 1-2， 2-3， 3-1 线性相关故应选(D) 至于 (A)，(B)，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断 例如，(A)中 r(1， 1+2， 1+2+3)=r(1， 1+2， 3)=r(1， 2， 3)=3或( 1， 1+3， 1+2+3)=(1， 2， 3) 由行列式0 而知 1， 1+2， 1+2+3
12、线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩5 【正确答案】 D【试题解析】 若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)【知识模块】 向量组的线性关系与秩6 【正确答案】 C【试题解析】 秩 r(1， 2， s)=r 向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 r 个向量 向量组 1， 2， s 中有 r 个向量线性无关，而任 r+1 个向量必线性相关所以应选(C) 【知识模块】 向量组的线性关系与秩7 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ：当 s 为偶数时，命题不正确例如，1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数
13、可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系例如， 1， 2， s与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A 1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，于是 r(A 1，A 2，A s)=rA(1， 2， s)r(1， 2， s)s， 所以，A 1，A 2，A s 必线性相关故应选(C) (D)：要正确理解线性相关的意义【知识模块】 向量组的线性关系与秩8 【正确答案】 A【试题解析】 例如， ，只用初等行变换就不能化为(E 2，0)形式，(A)不正确故应选(A) 因为 A 是 mn 矩阵，m=r(A)r(Ab)m 于是 r(a)=r(ab)=mn(B) 正确由 BA=0
14、知 r(B)+r(A)m，又 r(A)=m，故 r(B)=0，即B=0(C)正确A TA 是 n 阶矩阵，r(A TA)r(A)=mn，故A TA=0 ，即(D) 正确【知识模块】 向量组的线性关系与秩二、填空题9 【正确答案】 -1【试题解析】 1， 2， 3 线性相关 r(1， 2， 3)3故 a=-1【知识模块】 向量组的线性关系与秩10 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 1， 2， n=0而 1， 2， 3=2a2(a=b)，故 a=0 或 a=b【知识模块】 向量组的线性关系与秩11 【正确答案】 2【试题解析】 记 1=1+2， 2=a2-3
15、， 3=1-2+3，则 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩12 【正确答案】 -1【试题解析】 不能由 1， 2， 3 线性表出 方程组 x11+x22+x23= 无解又因为 a=-1 时方程组无解，所以 a=-1 时 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩13 【正确答案】 3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1， 2， 3 线性表出 r(1， 2， 3)=3因而=2(a-3)0，所以 a3 时，任何 3 维向量均可由1， 2， 3 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩14 【正确答案】 -2【试题解析】 r( 1， 2， 3)=
16、2，计算秩得 a=-2【知识模块】 向量组的线性关系与秩15 【正确答案】 r+1【试题解析】 r( 1， 2， ， s)=r(1， 2， s，)=r 表明 可由1， 2， s 线性表出，于是 r(1， 2， s， ，)=r( 1， 2， s，)=r+1【知识模块】 向量组的线性关系与秩16 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*)= 知 r(A*)=0【知识模块】 向量组的线性关系与秩17 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)=r(X)，从而 r(B)=2，B =0于是 =a=0.【知识模块】 向量组的线性关系与秩18 【正确答案】 【试题解析】
17、 由 BAT=0 有 r(B)+r(AT)3，即 r(A)+r(B)3又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即A=0.于是【知识模块】 向量组的线性关系与秩19 【正确答案】 (1，-1，2，-1) T【试题解析】 设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则 Ti=0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，-1，2，-1) T，单位化得 (1，-1，2，-1) T 为所求【知识模块】 向量组的线性关系与秩三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 AA T=AA*=AE ，因此只用证明A =1，就可由定义得出 A是正交矩阵 由于
18、 A0，有非零元素，设 aij0则 AAT 的(i，i) 位元素A=a i12+ai22+aij2+ain20，从而 AAT0 对等式 AAT=AE，两边取行列式，得A 2=A n，即A n-1=1又由A0，得出A =1【知识模块】 向量组的线性关系与秩21 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x44=，对增广矩阵( 1， 2， 3， 4：) 作初等行变换，有()当 a=1，b2 或 a=10， b-1时，方程组均无解所以 不能由 1， 2， 3， 4线性表出() 当 a1且 a10时， 方程组均有唯一解所以 能用1， 2， 3， 4 线性表示且表示法唯 .()方程组在两种情况下有无穷多
19、解，即(1) 当a=10，b=-1 时，方程组有无穷多解：x 4=t，x 3=t+ ，x 2= ，x 1=即 = 3+t4.(2)当a=1，b=2 时，方程组有无穷多解：x 4= ，x 2=t，x 3=1-2t，x 1=5t- ，即 =1+t2+(1-2t)3- 4.【知识模块】 向量组的线性关系与秩22 【正确答案】 因为 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故方程组 x11+x22+x33=3 有解由并且秩 r(1， 2， 3)=2于是 r(1， 2， 3)=2从而 1， 2， 3【知识模块】 向量组的线性关系与秩23 【正确答案】 当 sn 时， 1， 2， s 必线性相关，但 1， 2
20、， n是范德蒙行列式，故 1， 2， n 线性无关因而 r(1， 2， s)=n 当 s=n时， 1， 2， ， n 线性无关，秩 r(1， 2， n)=n 当 sn 时，记1=(1， a1，a 12，a 1s-1)T， 2=(1，a 2，a 22，a 2s-1)T， ， s=(1，a s，a s2，a ss-1)T，则 1， 2， s 线性无关那么1， 2， s 必线性无关故 r(1， 2， s)=s【知识模块】 向量组的线性关系与秩24 【正确答案】 因为 A*=AT，按定义有 Aij=aij( ，j=1，2，n)，其中 Aij 是行列式A中 aij 的代数余子式由于 A0，不妨设 a11
21、0，那么 A=a 11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20于是 A=(1， 2， n)的 n个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ，恒有 1， 2， n， 线性相关因此 必可由 1， 2， n 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩25 【正确答案】 必要性因为 1， 2， a 线性相关，故有不全为 0 的k1，k 2，k s，使 k 11+k22+kss=0 设 ks，k s-1，k 2，k 1 中第一个不为 0的是 ki(即 ki0，而 ki+1=ks-1=ks=0)，且必有 i 1(若 i=1 即 k10，k 2=ks=0，那么 k11=0于是 1=
22、0 与 10矛盾)，从而 k11+k22+kii=0，k i0那么i= (k11+k22+ki-1i-1) 充分性设有 i 可用 1， 2， i-1 线性表示，则 1， 2， ， i-1， i 线性相关，从而 1， 2， s 线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩26 【正确答案】 (用定义) 对矩阵 A 按行分块，记 A= ，那么AT=(2T， 2T， mT)若 k11T+k22T+kmmT=0，即( 1T， 2T， mT)=0，即 AT =0，那么 BTAT =0于是 CT =0 因为 C 是 mp矩阵，那么 CT 是 pm 矩阵由于 r(CT)=r(C)=m，所以齐次方程组 CTx=
23、0 只有零解因此 k1=0，k 2=0， ，k m=0 故 1， 2， m 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩27 【正确答案】 对齐次方程组()ABx=0，()Bx=0，如 是 ()的解，有 B=0，那么 AB=0，于是 是()的解如 是 ()的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以 Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是 ()的解因此方程组() 与()同解那么 s-r(AB)=s-r(B)，即 r(AB)=r(B)所以 r(B)=r(C)【知识模块】 向量组的线性关系与秩28 【正确答案】 因为 AT=-A，Ax=y，所以 (x ，y)=x TAx=(ATx)Tx=(-Ax)Tx=(-y，x)，得(x， y)=0【知识模块】 向量组的线性关系与秩
