1、考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2010 年) 设函数 zz(，y)由方程 F( )0 确定，其中 F 为可微函数，且F20，则 【 】（A）（B） z（C） （D）z2 (2010 年) 【 】（A）（B）（C）（D）3 (2011 年) 设函数 f()，g()均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f(0)g(0)0，则函数 zf()g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是 【 】（A）f(0)0，g(0) 0（B） f(0) 0，g(0) 0（C） f(0) 0，g(0
2、) 0（D）f(0)0，g(0) 04 (2012 年) 设函数 f(，y)可微，且对任意 ，y 都有型 0，则使不等式 f(1，y 1)f( 2，y 2)成立的一个充分条件是 【 】（A） 1 2，y 1y 2（B） 1 2，y 1y 2（C） 1 2，y 1y 2（D） 1 2，y 1y 25 (2012 年) 设区域 D 由曲线 ysin ，y1 围成，则 (y51)ddy 【 】（A）（B） 2（C） 2（D）6 (2013 年) 设 z f(y)，其中函数 f 可微，则 【 】（A）2yf(y) （B） 2yf(y)（C） f(y)（D） f(y)7 (2013 年) 设 Dk 是圆
3、域 D(，y) 2y 21)在第 k 象限的部分，记 IK (y)ddy(k1，2，3，4)，则 【 】（A）I 10（B） I20（C） I30（D）I 408 (2014 年) 设函数 u(，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 0 及 0，则 【 】（A）u(，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得（B） u(，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得（C） u(，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值都在 D 的边界上取得（D）u(，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值都在 D 的边界上取得9 (2015 年) 设函数 f(u，v)满足 f(
4、y， ) 2y 2，则 依次是 【 】（A） ，0（B） 0，（C） ，0（D）0，10 (2015 年) 设 D 是第一象限中由曲线 2y1，4y1 与直线 y，y 围成的平面区域，函数 f(，y)在 D 上连续，则 (，y)ddy 【 】（A）（B）（C）（D）二、填空题11 (2014 年) 设 zz(，y)是由方程 e2yz y 2z 确定的函数，则dz _12 (2015 年) 若函数 zz(，y)由方程 e2y3z yz1 确定，则 dz (0，0)_13 (2011 年) 设平面区域 D 由直线 y ，圆 2y 22y 及 y 轴所围成，则二重积分yd_三、解答题解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤。14 (2010 年) 设函数 uf(，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式0确定 a，b 的值，使等式在变换 ay，by下简化为 015 (2010 年) 计算二重积分 I ，其中 D(r，)0rsec，0 16 (2011 年) 设函数 zf(y，yg()，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g()可导且在 1 处取得极值 g(1)1求17 (2011 年) 已知函数 f(，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)0，f(，1)0， (，y)ddya，其中 D(，y)01，0y1)，计算二重积分I yf y(，y)ddy18 (2012 年) 求函数 f(，y)
6、的极值19 (2012 年) 计算二重积 yd，其中区域 D 由曲线 r1cos(0)与极轴围成20 (2013 年) 求曲线 3yy 31(0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离21 (2013 年) 设平面区域 D 由直线 3y，y3y 及 y8 围成，计算 ddy22 (2014 年) 设平面区域 D(，y) 1 2y 24，0，y0，计算23 (2015 年) 已知函数 f(，y)满足 f( ，y)2(y1)e ，f(，0)(1)e ，f(0，y)y 22y，求 f(，y)的极值24 (2015 年) 计算二重积分 (y)ddy ，其中 D(，y) 2y 22，y 2考研数学二
7、（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数求导公式得【知识模块】 多元函数微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 则 ACB 20 故 zf()g(y)在(0，0)点取极小值应选 A【知识模块】 多元函数微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由型可知，f(，y)关于变量 是单调增的，关于变量 y 是单调减的因此，当 1 2，y 1y 2 时， f( 1，y 1)f( 2，y 1)，f(
8、 2，y 1)f( 2，y 2) 则f(1，y 1)f( 2，y 2) 故应选 D【知识模块】 多元函数微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 作辅助线 ysin( 0)如图，将区域 D 分为两部分 D1 和D2，其中 D1 关于 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，而 y5 分别关于变量 和 y 都是奇函数，则【知识模块】 多元函数微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 和 D3 关于直线 y 对称，则 而在 D2 上，y0，在 D4 上 y0，则 I 20，I 40 故应选 B【知识模块】 多元函数微积分8 【正确答案
9、】 A【试题解析】 由题设 可知，B0，AC0，则 ACB 20 故函数 u(，y)在区域 D 内无极值点，因此，u(，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得故应选 A【知识模块】 多元函数微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D【知识模块】 多元函数微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知积分域 D 如图所示，曲线 2y1，4y1 在极坐标下方程分别为 2r 2cossin1，4r 2cossin1 即 ， 直线y，y 在极坐标下的方程为 ，则故应选 B【知识模块】 多元函数微积分二、填空题11 【正确答案】 (ddy) 【试题解析】 将 y 代入 e2yzy 2z
10、得【知识模块】 多元函数微积分12 【正确答案】 (d 2dy)【试题解析】 将 0，y0 代入 e2y3z yz 1 中得 e3z1，则 z0 方程e2y3z yz 1 两端微分得 e2y3z (d2dy3dz)yzdzdyydz0 将0，y0，z0 代入上式得 d2dy3dz0 则 dz (1，0) (d2dy)【知识模块】 多元函数微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 将以上各式代入原等式，得由题意，令 由10ab12(a b)80 ，舍去 故 a2，b 或a ，b 2【知识模块】 多元函
11、数微积分15 【正确答案】 由题设知，积分区域 D 如图所示，将积分化为直角坐标系下的二重积分为【知识模块】 多元函数微积分16 【正确答案】 由题意 g(1)0【知识模块】 多元函数微积分17 【正确答案】 因为 f(1，y)0，f(，1)0，所以 fy(1，y)0，f (，1)0 从而【知识模块】 多元函数微积分18 【正确答案】 令 ，得驻点(1 ，0) 和 (1，0) 在点(1，0)处，由于 B2AC 2e-10，A2 0 所以 f(1，0) 是 f(，y)的极大值 在点(1， 0)处，由于 B2AC2e -10，A2 0 所以 f(1，0) 是，(， y)的极小值【知识模块】 多元函
12、数微积分19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分20 【正确答案】 设(，y)为曲线上的点，目标函数为 f(，y) 2y 2，构造拉格朗日函数 L(，y，) 2 y2( 3yy 31)当 0，y0 时，由 ，得 ，即 3y(y) ( y)( y)，得 y，或 3y(y)(由于 0，y0，舍去) 将 y 代入 得 23 210，即(2 21)(1)0， 所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时 ； 当 0，y1 或 1，y0 时，1 故所求最长距离为 ，最短距离为 1【知识模块】 多元函数微积分21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分22 【正确答案】 由于积分域 D 关于直线 y
13、 对称，则【知识模块】 多元函数微积分23 【正确答案】 由 f y2(y1)e ，得 f(y1) 2e() 因为 f(，0)(1)e，所以 e()(1)e 得 ()e ，从而 f(y1) 2ee 对 积分得f(，y) (y 1) 2e(1)e (y) 因为 f(0，y)y 22y，所以 (y)0，从而 f(，y) ( y 22y)e 于是 fy(2y2)e ，f ( y 22y2)e ，f2e 令 f0，f y0，得驻点(0，1)，所以 Af (0，1) 1，B f y(0，1)0，C f yy(0，1) 2 由于 ACB 20，A0，所以极小值为 f(0，1)1【知识模块】 多元函数微积分24 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 yddy0【知识模块】 多元函数微积分
