[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编2及答案与解析.doc

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1、考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (2010 年) 设函数 zz(,y)由方程 F( )0 确定,其中 F 为可微函数,且F20,则 【 】(A)(B) z(C) (D)z2 (2010 年) 【 】(A)(B)(C)(D)3 (2011 年) 设函数 f(),g()均有二阶连续导数,满足 f(0)0,g(0)0,且 f(0)g(0)0,则函数 zf()g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 【 】(A)f(0)0,g(0) 0(B) f(0) 0,g(0) 0(C) f(0) 0,g(0

2、) 0(D)f(0)0,g(0) 04 (2012 年) 设函数 f(,y)可微,且对任意 ,y 都有型 0,则使不等式 f(1,y 1)f( 2,y 2)成立的一个充分条件是 【 】(A) 1 2,y 1y 2(B) 1 2,y 1y 2(C) 1 2,y 1y 2(D) 1 2,y 1y 25 (2012 年) 设区域 D 由曲线 ysin ,y1 围成,则 (y51)ddy 【 】(A)(B) 2(C) 2(D)6 (2013 年) 设 z f(y),其中函数 f 可微,则 【 】(A)2yf(y) (B) 2yf(y)(C) f(y)(D) f(y)7 (2013 年) 设 Dk 是圆

3、域 D(,y) 2y 21)在第 k 象限的部分,记 IK (y)ddy(k1,2,3,4),则 【 】(A)I 10(B) I20(C) I30(D)I 408 (2014 年) 设函数 u(,y)在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数,且满足 0 及 0,则 【 】(A)u(,y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得(B) u(,y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得(C) u(,y)的最大值在 D 的内部取得,最小值都在 D 的边界上取得(D)u(,y)的最小值在 D 的内部取得,最大值都在 D 的边界上取得9 (2015 年) 设函数 f(u,v)满足 f(

4、y, ) 2y 2,则 依次是 【 】(A) ,0(B) 0,(C) ,0(D)0,10 (2015 年) 设 D 是第一象限中由曲线 2y1,4y1 与直线 y,y 围成的平面区域,函数 f(,y)在 D 上连续,则 (,y)ddy 【 】(A)(B)(C)(D)二、填空题11 (2014 年) 设 zz(,y)是由方程 e2yz y 2z 确定的函数,则dz _12 (2015 年) 若函数 zz(,y)由方程 e2y3z yz1 确定,则 dz (0,0)_13 (2011 年) 设平面区域 D 由直线 y ,圆 2y 22y 及 y 轴所围成,则二重积分yd_三、解答题解答应写出文字说

5、明、证明过程或演算步骤。14 (2010 年) 设函数 uf(,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式0确定 a,b 的值,使等式在变换 ay,by下简化为 015 (2010 年) 计算二重积分 I ,其中 D(r,)0rsec,0 16 (2011 年) 设函数 zf(y,yg(),其中函数 f 具有二阶连续偏导数,函数 g()可导且在 1 处取得极值 g(1)1求17 (2011 年) 已知函数 f(,y)具有二阶连续偏导数,且 f(1,y)0,f(,1)0, (,y)ddya,其中 D(,y)01,0y1),计算二重积分I yf y(,y)ddy18 (2012 年) 求函数 f(,y)

6、的极值19 (2012 年) 计算二重积 yd,其中区域 D 由曲线 r1cos(0)与极轴围成20 (2013 年) 求曲线 3yy 31(0,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离21 (2013 年) 设平面区域 D 由直线 3y,y3y 及 y8 围成,计算 ddy22 (2014 年) 设平面区域 D(,y) 1 2y 24,0,y0,计算23 (2015 年) 已知函数 f(,y)满足 f( ,y)2(y1)e ,f(,0)(1)e ,f(0,y)y 22y,求 f(,y)的极值24 (2015 年) 计算二重积分 (y)ddy ,其中 D(,y) 2y 22,y 2考研数学二

7、(多元函数微积分)历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数求导公式得【知识模块】 多元函数微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 则 ACB 20 故 zf()g(y)在(0,0)点取极小值应选 A【知识模块】 多元函数微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由于偏导数本质上就是一元函数导数,则由型可知,f(,y)关于变量 是单调增的,关于变量 y 是单调减的因此,当 1 2,y 1y 2 时, f( 1,y 1)f( 2,y 1),f(

8、 2,y 1)f( 2,y 2) 则f(1,y 1)f( 2,y 2) 故应选 D【知识模块】 多元函数微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 作辅助线 ysin( 0)如图,将区域 D 分为两部分 D1 和D2,其中 D1 关于 轴对称,D 2 关于 y 轴对称,而 y5 分别关于变量 和 y 都是奇函数,则【知识模块】 多元函数微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 和 D3 关于直线 y 对称,则 而在 D2 上,y0,在 D4 上 y0,则 I 20,I 40 故应选 B【知识模块】 多元函数微积分8 【正确答案

9、】 A【试题解析】 由题设 可知,B0,AC0,则 ACB 20 故函数 u(,y)在区域 D 内无极值点,因此,u(,y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得故应选 A【知识模块】 多元函数微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D【知识模块】 多元函数微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知积分域 D 如图所示,曲线 2y1,4y1 在极坐标下方程分别为 2r 2cossin1,4r 2cossin1 即 , 直线y,y 在极坐标下的方程为 ,则故应选 B【知识模块】 多元函数微积分二、填空题11 【正确答案】 (ddy) 【试题解析】 将 y 代入 e2yzy 2z

10、得【知识模块】 多元函数微积分12 【正确答案】 (d 2dy)【试题解析】 将 0,y0 代入 e2y3z yz 1 中得 e3z1,则 z0 方程e2y3z yz 1 两端微分得 e2y3z (d2dy3dz)yzdzdyydz0 将0,y0,z0 代入上式得 d2dy3dz0 则 dz (1,0) (d2dy)【知识模块】 多元函数微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 将以上各式代入原等式,得由题意,令 由10ab12(a b)80 ,舍去 故 a2,b 或a ,b 2【知识模块】 多元函

11、数微积分15 【正确答案】 由题设知,积分区域 D 如图所示,将积分化为直角坐标系下的二重积分为【知识模块】 多元函数微积分16 【正确答案】 由题意 g(1)0【知识模块】 多元函数微积分17 【正确答案】 因为 f(1,y)0,f(,1)0,所以 fy(1,y)0,f (,1)0 从而【知识模块】 多元函数微积分18 【正确答案】 令 ,得驻点(1 ,0) 和 (1,0) 在点(1,0)处,由于 B2AC 2e-10,A2 0 所以 f(1,0) 是 f(,y)的极大值 在点(1, 0)处,由于 B2AC2e -10,A2 0 所以 f(1,0) 是,(, y)的极小值【知识模块】 多元函

12、数微积分19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分20 【正确答案】 设(,y)为曲线上的点,目标函数为 f(,y) 2y 2,构造拉格朗日函数 L(,y,) 2 y2( 3yy 31)当 0,y0 时,由 ,得 ,即 3y(y) ( y)( y),得 y,或 3y(y)(由于 0,y0,舍去) 将 y 代入 得 23 210,即(2 21)(1)0, 所以(1,1)为唯一可能的极值点,此时 ; 当 0,y1 或 1,y0 时,1 故所求最长距离为 ,最短距离为 1【知识模块】 多元函数微积分21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分22 【正确答案】 由于积分域 D 关于直线 y

13、 对称,则【知识模块】 多元函数微积分23 【正确答案】 由 f y2(y1)e ,得 f(y1) 2e() 因为 f(,0)(1)e,所以 e()(1)e 得 ()e ,从而 f(y1) 2ee 对 积分得f(,y) (y 1) 2e(1)e (y) 因为 f(0,y)y 22y,所以 (y)0,从而 f(,y) ( y 22y)e 于是 fy(2y2)e ,f ( y 22y2)e ,f2e 令 f0,f y0,得驻点(0,1),所以 Af (0,1) 1,B f y(0,1)0,C f yy(0,1) 2 由于 ACB 20,A0,所以极小值为 f(0,1)1【知识模块】 多元函数微积分24 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称,所以 yddy0【知识模块】 多元函数微积分

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