1、考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（A）g 0hahdh（B） g0aahdh（C） g0hahdh（D）2g 0hahdh2 在曲线 y(1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ，则区域 D 绕 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题3 _4 _5 _6 设 f()连续，则 0f(t)dt_7 曲线 y 4 (0)与 轴围成的区域面积为_8 _9 0
2、1arctand_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y 2，C 1 的方程是 y 2，求曲线 C2 的方程11 设曲线 ya 3，其中 a0当 0 时，该曲线在 轴下方与 y 轴、 轴所围成图形的面积和在 轴上方与 轴所围成图形的面积相等，求 a12 曲线 y(1)(2)和 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积13 设平面图形 D 由 2y 22 与 y
3、围成，求图形 D 绕直线 2 旋转一周所成的旋转体的体积14 求曲线 y3 21 与 轴围成的封闭图形绕 y3 旋转所得的旋转体的体积15 求由曲线 y4 2 与 轴围成的部分绕直线 3 旋转一周所成的几何体的体积16 曲线 y 2(0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 轴所围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 轴旋转一周所成立体的体积17 求摆线 L： (a0)的第一拱绕 轴旋转一周所得旋转体的体积18 设曲线 1(0a4) 与 轴、y 轴所围成的图形绕 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)V 2(a)最大，
4、并求最大值19 设一抛物线 ya 2bc 过点(0，0)与(1，2) ，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 轴所围图形的面积最小20 设直线 yk 与曲线 y 所围平面图形为 D1，它们与直线 1 围成平面图形为 D2 (1)求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值； (2)求此时的 D1D 221 求摆线 (0t2)的长度22 设曲线 y ，过原点作切线，求此曲线、切线及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的表面积23 一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功24 设
5、 f()e 22 01f()d，求 01f()d25 讨论反常积分 的敛散性，若收敛计算其值26 设 f() ，求 01f()d27 求曲线 L： (a0)所围成的平面区域的面积28 设 L： (0t2) (1)求曲线 L 与 轴所围成平面区域 D 的面积 (2)求区域 D 绕 轴旋转一周所成几何体的体积29 求曲线 y 与 轴所围成的平面区域绕 y 轴旋转而成的几何体的体积考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 取，d 0，h，dFgadgad， 则Fg 0had 0hahdh，选 A【
6、知识模块】 定积分及应用2 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y(1) 2 上点(2，1) 的法线方程为 y 2，该法线与 轴的交点为(4，0)，则由该法线、 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 轴旋转一周所得的几何体的体积为故选 D【知识模块】 定积分及应用二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用6 【正确答案】 0f(u)du f()【试题解析】 0f(t)dt 0f(t)d(t) 0f(u)du 0f(u)du， 则f(t)dt 0f(u)du
7、 0f(u)duf() 【知识模块】 定积分及应用7 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用9 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由题设 C：y 2，C 1：y 2，令 C2：f(y)，P 点坐标为(， y)，则 所以， 因为 PC，所以有 0yf(y)dy即 ，两边对 求导，得 2.f(2) 2，即 f(2) 从而 C2 的方程为 f(y) ，即 y 2【知识模块】 定积分及应用11 【正确答案】 设曲线 ya 3 与 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件
8、得 0(a 3)d (a 3)d，移项得 0(a 3)d (a 3)d 0(a 3)d0 (4a2 3)0， 因为 0，所以 4a2 30 又因为(，0)为曲线 ya 3 与 轴的交点，所以有 30， 从而有 3aa3a27a 30【知识模块】 定积分及应用12 【正确答案】 取，d 1，2，dv2( 11)( 2)d2(1)(2)d ，【知识模块】 定积分及应用13 【正确答案】 取，d 0，1，则 dv2(2)( ，)d，【知识模块】 定积分及应用14 【正确答案】 取，d 0，1， dv 13 2(1 2)2d(82 2 4)d， V 1 01dv1 01(82 2 4)d， ， d 1
9、，2， dv 23 2( 21) 2d(82 2 4)d， V 2 12dv 12(82 2 4)d， 则所求体积为V2(V 1V 2)2 02(82 2 4)d 【知识模块】 定积分及应用15 【正确答案】 取y，ydy 0，4 ，则【知识模块】 定积分及应用16 【正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 ya 22a(a)，即y2aa 2， 由题意得 S ，解得a1， 则切线方程为 y 21，旋转体的体积为【知识模块】 定积分及应用17 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用18 【正确答案】 曲线与 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a ，0)，(0，b) ，其中b4
10、a 曲线可化为 y ， 对任意的 ，d 0，a ，dV22.yd2. d， 于是 V2， 根据对称性，有 V1 ab2 于是V(a)V 1(a)V 2(a) a(4a) 令 V(a) (42a)0 a2，又 V(2) 0，所以 a2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2) 【知识模块】 定积分及应用19 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c0，又曲线过点(1，2)，所以ab2，b 2a 因为 a0，所以 b0，抛物线与 轴的两个交点为0， ，所以 令 S(a)0，得 a4，从而 b6，所以当 a4，b6， c0 时，抛物线与 轴所围成的面积最小【知识模块】 定积分及应用20 【正确答案】
11、(1)由方程组 得直线与曲线交点为因为 V(k)0，所以函数 V(k)当 k 时取最小值，且最小值为(2)因为 S(k)所以此时 S【知识模块】 定积分及应用21 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用22 【正确答案】 设切点为(a， )，则过原点的切线方程为y ， 将(a， )代入切线方程，得 a2， 1，故切线方程为 y ， 由曲线 y 在区间1，2上的一段绕 轴一周所得旋转面的面积为切线 y 在区间0，2上一段绕 轴一周所得旋转曲面面积为所求旋转曲面的表面积为SS 1S 2【知识模块】 定积分及应用23 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点， 轴铅直向下，取， d 0，2R
12、，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， d (2R)R 2(R )21gd(2R) 2gd， W 02Rd g【知识模块】 定积分及应用24 【正确答案】 令 A 01f()d，f() e 22 01f()d 两边积分得 A 01e2d 2A，解得 A 01f()d 01e2d【知识模块】 定积分及应用25 【正确答案】 因为 且 1， 又因为且 1，所以 收敛 于是 2arcsin 01 【知识模块】 定积分及应用26 【正确答案】 01f()df() 01 01f()d【知识模块】 定积分及应用27 【正确答案】 令 L： (0t2)， 第一卦限的面积为所求的面积为A4A 1 【知识模块】 定积分及应用28 【正确答案】 (1)所求的面积为 A 02ayd 02a (1cost).a(1cost)dta 202(1 cost)2dt (2)所求体积为 V 02ay2d 02a2(1cost) 2.a(1cost)dt 2a 30216a 30sin6tdt 5 2a3【知识模块】 定积分及应用29 【正确答案】 取，d 0，2，则 dV2.y.d2. d， 所求的体积为【知识模块】 定积分及应用
