1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( ) 2 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )（A）y=f(x)+Ce -f(x)（B） y=f(x)+1+Ce-f(x)（C） y=f(x)一 C+Ce-f(x)（D）y=f(x)一 1+Ce-f(x)3 微分方程 满足 y(1)=0 的特解是 ( ) 4 设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解
2、，C1，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1 一 C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y35 函数 (其中 C 时任意常数)对微分方程 而言， ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解二、填空题6 设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数， 设 y1(x)，y 2(x)与 y3(x)是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 则式的通解为_ 7 设 y1=ex，
3、y 2=x2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为_8 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_9 微分方程 y“一 4y=e2x 的通解为 y=_10 微分方程 ytanx=ylny 的通解是_11 微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是_ 12 微分方程 的通解是_13 设一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y1，y 2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_14 微分方程 y“一 7y=(x 一 1)2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_15 以 y=cos2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次
4、线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 a0，函数 f(x)在0，+) 上连续有界，证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+) 上有界17 已知曲线 y=y(x)经过点 (1，e -1)，且在点(x，y) 处的切线方程在 y 轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式18 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解19 求(4 一 x+y)dx 一(2 一 xy)dy=0 的通解20 求二阶常系数线性微分方程 y“+y=2x+1 的通解，其中 为常数21 求解21 设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=0 22 求
5、方程 y“+ysinx=(x)ecosx 的通解；23 方程是否有以 2 为周期的解 ?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由24 设有方程 y+P(x)y=x2，其中 试求在(一，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在( 一，1)和(1 ，+)内都满足方程，且满足初值条件 y(0)=224 设25 用变限积分表示满足上述初值条件的特解 y(x)；26 讨论 是否存在，若存在，给出条件，若不存在，说明理由27 求 xy“一 ylny+ylnx=0 满足 y(1)=2 和 y(1)=e2 的特解28 求 y2yy“=1 的通解29 求(x+2)y“+xy 2=y的通解30 求微分方程 的通解考
6、研数学二（微分方程）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+r+1=0，特征根为 而是特征根，所以特解的形式为【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 将原方程变形为 这是一阶齐次微分方程，令 则 代入原方程得 分离变量得两端积分得 由 y(1)=0 可得C=0，进而导出 再将 代入得到 应选(B)【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 C 1y1+C2y2+(1 一 C
7、1 一 C2)y3=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)+y3， 其中y1 一 y3 和 y2 一 y3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y3 是原方程的一个特解，所以(D) 是原方程的通解【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 因原方程阶数为二，所以通解中应包含两个任意常数(可求出通解为 特解中不含有任意常数 满足原方程，故选项(A) ，(B) ，(D) 都不对，应选(C)【知识模块】 微分方程二、填空题6 【正确答案】 y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)+y1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由非齐次线性方程的两个解，可
8、构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关即可 y 1 一 y2 与 y2 一 y3 均是式对应的齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个解现证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k1 与 k2 使 k 1(y1 一 y2)+k2(y2 一 y3)=0 设 k10，又由题设知 y2 一 y30，于是式可改写为 矛盾若k1=0，由 y2 一 y30，故由式 推知 k2=0 矛盾这些矛盾证得 y1 一 y2 与 y2 一 y3线性无关 于是 Y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)为式的通解，其中 C1，C 2 为任意常数，从而知 y
9、=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)+y1 为式的通解【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 【试题解析】 由于方程结构已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 方法一 设所求的二阶齐次线性微分方程为 y“+p(x)y+q(x)y=0 分别将y1=ex，y 2=x2 代入，得 解得所求方程为 方法二 由于 y1=ex 与 y2=x2 线性无关，故该二阶齐次线性微分方程的通解为 y=C 1ex+C2x2， y=C 1e2+2C2x， y“=C1ex+2C2 由式，式，式消去 C1 与 C2 便得如上所填【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 (x+C)cosx，其中 C 为任意
10、常数【试题解析】 属于一阶非齐次线性方程，直接利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 y“一 4y=0 的特征根 =2，则其通解为 y=C1e-2x+C2e2x 设其特解y*=Axe2x 代入 y“一 4y=e2x，可解得 所以 y“一 4y=e2x 的通解为其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 y=e Csinx，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程分离变量，有 积分得 ln|lny|=ln|sinx|+lnC1 故通解为 lny=Csinx(C=C1)，即 y=
11、eCsinx，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程 方法一 原方程化为 由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 即 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数 方法二 原方程可写为 6xdx+ydx+xdy=0，有 d(3x2+xy)=0，积分得通解 3x2+xy=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 y=C 1e3x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程是二阶常系数齐次线性微分方程其特征方程为 r2 一5r+6=0，即(
12、r 一 3)(r 一 2)=0解出特征根 r1=3，r 2=2，即得上述通解【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得 (y 1+y2)+P(x)(y1+y2)=(+)Q(x) 又因 y1+y2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=1【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r27r=0，特征根为r1=7，r 2=0而 f(x)=x2 一 2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答【知识模块】 微分方程15 【正确答案】
13、y“+4y=0【试题解析】 由特解 y=cos2x+sin2x 知特征根为 r1,2=2i，特征方程是 r2+4=0，其对应方程即为 y“+4y=0【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 原方程的通解为 设 f(x)在0，+) 上的上界为 M，即 |f(x)|M，则当 x0 时，有 即 y(x)在0，+)上有界【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y(X-x)，令 X=0，得到 y 轴截距为 xy=yxy，即 xy=y(1 一 x) 此为一阶可分离变量的方程，于是两边积分有 lny=l
14、nCx-x，得到 又 y(1)=e-1，故 C=1，于是曲线方程为【试题解析】 本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 方法一 由通解公式得 当 x=1，y=1 时，得 C=1，所以特解为 方法二 对应的齐次方程 xy+y=0 的通解是 设其中 C 为 x 的函数，则 代入原方程，得 C=xex，C=xe x 一 ex+C1， 故原方程的通解为 当 x=1，y=1 时，得 C1=1，所以特解为【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 方程化为 设 x=X+h，y=Y+k ，代入方程，并令
15、解得 h=3，k= 一 1，此时原方程化为 令 则 Y=Xu， 代入上式，得 积分得 X2 一 2XYY2=C 将 X=3g 一 3，Y=y+1代入上式，得到所求通解为 x 2 一 2xyy2 一 8x+4y=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 对应的齐次方程为 y“+y=0，则特征方程为 r2+r=0，有特征根r=0 或 r=一 当 0 时，y“+2y=0 的通解为 Y=C1+C2 e-x 设原方程的特解形式为 y*=x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 故原方程的通解为其中 C1，C 2 为任意常数 当 =0 时，y“=2x+1，积分两次得方程
16、的通解为 其中 C1C2 为任意常数【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 方程化为 此为齐次方程，故令 则 x=uy， 代入上述方程得 整理得 上式积分得 ln|u+e u|=一 ln|y|+C1， (u+e u)y=C，将代入得 故原方程的通解为 ，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 因为 (x)=(x)，所以 又 (0)=0，于是而 所以，当 时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当时，方程有以 2 为周期的解【知识模块】 微分方程24 【
17、正确答案】 当 x1 时方程及其初值条件为 解得 由 y(0)=2 得 C=0，故 y=x2 一 2x+2 当 x1 时，方程为 解得 综上，得 又 y(x)在(一，+)内连续，有 f(1-)=f(1+)=f(1)，即 从而 所以 【试题解析】 本题虽是基础题，但其特色在于当 x 的取值范围不同时，系数 P(x)不同，这样所求解的方程就不一样。解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数【知识模块】 微分方程【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有： 【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 由 于是 【知识模块】
18、微分方程27 【正确答案】 设 y=p，则 y“=p，代入原方程中，xp 一 plnp+plnx=0，即 这是齐次方程，设 p=xu，则 代入上式，得 由原方程知 x0，y0，从而 u0，积分得 lnu 一 1=C1x，即 lnu=C1x+1， 回代 得 p=xeC1x+1 代入初值条件y(1)=e2，解得 C1=1，得到方程 积分得 y=(x 一 1)ex-1+C2 代入初值条件 y(1)=2，解得 C2=2，故所求特解为 y=(x 一 1)ex+1+2【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 设 y=p， 方程化为 积分得 积分得 上式中，当 时，取正号；当 时，取负号，C 1，C 2 为任意常数 积分得 上式中，当时，取正号；当 时，取负号，C 3，C 1 为任意常数【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 令 y=p，有 原式成为 两边同除以一 p2，化为 整理得 解得 当 C10 时，得当 C1=0 时，得当 C10 时，得其中 C2 为任意常数【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 此为齐次方程，只要作代换 解之即可方程变形为令 则方程化简可得 两边积分，得 所以有代回得 即得原方程通解为其中 C 为大于零的任意常数【知识模块】 微分方程
