1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在中，无穷大量是（A） （B） （C） （D）2 （A）0（B） （C） （D）不存在但也不是3 设 f()sincoscos2 ，g() ，则当 0 时 f()是 g()的（A）高阶无穷小（B）低价无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小4 设有定义在(，)上的函数：则其中在定义域上连续的函数是_（A）（B）（C）（D）二、填空题5 _6 _7 设 4，则 a_，b_8 函数 f() ，的连续区间是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 1
2、0 设 f() ()若 f()处处连续，求 a，b 的值； ( )若a，b 不是()中求出的值时 f()有何间断点，并指出它的类型11 求下列极限：12 求下列极限：13 求下列极限：14 求下列极限：15 求下列极限：16 求 17 设 f()在0，)连续，且满足 1，求 18 ()设 f()，g()连续，且 1，又 ()0，求证：无穷小 0()f(t)dt 0()g(t)dt (a)； ()求 ln(12sint)dt 0ln(12sint)dt 319 已知 2，求 a，b 之值20 确定常数 a，b，c 的值，使 421 求 n 其中 n22 证明 cosnd023 求 24 设 n
3、，求 n25 求数列极限 n，其中 nne 126 当 0 时下列无穷小是 的 n 阶无穷小，求阶数 n： () 1； ()(1tan 2)sin 1； () ； () 0sint.sin(1cost) 2dt27 设 0， 0 为任意正数，当 时将无穷小量： ，e - 按从低阶到高阶的顺序排列28 设 ，讨论 yfg()的连续性若有间断点并指出类型29 设 f()在0，1连续，且 f(0)f(1) ，证明：在0 ，1 上至少存在一点 ，使得 f()f( )30 设 f()在( ，)连续，存在极限 f() A 及 f()B证明： ()设 AB，则对 (A，B)， (，)，使得 f()； ()f
4、()在(， )有界考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为的，仅当 n3 并取“”号时，即故选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ， 0，故要分别考察左、右极限由于因此应选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法3 【正确答案】 C【试题解析】 由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选 C【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 B【试题
5、解析】 () 当 0 与 0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 0 处连续注意到若 f() ，其中 g()在(，0连续，h() 在0，) 连续因 f()g()( (，0) f()在 0 左连续若又有 g(0)h(0) f()h()(0，) f()在 0 右连续因此 f()在 0 连续B 项中的函数 g()满足：sinx 0 (cos 1) 0 ，又 sin，cos1 均连续 g()在 0 连续因此，B项中的 g()在( ，)连续应选 B【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 本题属“0 0”型未定式利用基本极限 1 及
6、重要极限1 即得 1 11【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 a ；b1【试题解析】 利用洛必达法则可得当 a0 时，又当 a0 时故且 b1 且b1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 (，1)(1，) 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 0 时， t(1) 10，则(1 ) 1t ln(1 t)ln(1) ln(1)，于是用等价无穷小因子替换得 1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法10 【正确答案】 () 首
7、先求出 f()注意到 故要分段求出 f()的表达式 当1 时，f() ； 当1 时，f() a 2 b 于是得 其次，由初等函数的连续性知 f()分别在( ，1)，(1，1)，(1，)上连续 最后，只需考察 f()在分界点 1 处的连续性这就要按定义考察连续性，分别计算：从而 f()在 1 连续 f(10)f(1 0)f(1) ab1 (ab1) ab1； f()在 1 连续 f(10)= f(10)=f(1) ab1(ab1) ab1 因此 f()在 1 均连续a 0，b1当且仅当 a0 ，b1 时 f()处处连续 ()当(a， b)(0，1)时，若 ab1(则 ab1)，则 1 是连续点，
8、只有 1 是间断点，且是第一类间断点；若 ab1(则 ab1) ，则 1 是连续点，只有间断点 1，且是第一类间断点；若 ab 1 且 ab1，则 1，1 均是第一类间断点【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 () 恒等变形：分子、分母同乘 ，然后再同除 2，得()恒等变形：分子、分母同除(0， )，得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 () 先恒等变形，并作等价无穷小因子替换：1cos(0 +)，()这是求 型极限，用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 () 属.0 型可先作恒等变形，然后用等价无穷小因子替换即得其中
9、 ()属.O型可化为 型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限【知识模块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 () 属 型先化成 型未定式，即 ，作等价无穷小因子替换与恒等变形再用洛必达法则即得()属型先作变量替换并转化成 型未定式，然后用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 () 属 00 型因此 e 01 () 属 1型故 e 2 ()属 0 型， 因此 e-1 ()属 0 型利用恒等变形及基本极限 1 可得 1.2 01【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 属 型先用等价无穷小关系 arctan4 4(0)化简分母后再用洛必达法
10、则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 先作恒等变形转化为求 型极限，然后用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 () 由()因 ln(12sin) 2sin2(0)，由题()因此，利用等价无穷小因子替换即得 1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 原式可改写成 2由于该式成立，所以必有 3 0，即 a9将 a9 代入原式，并有理化得由此得 b12故 a9， b12【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 由于当 0 时对 常数 a，b 都有 a2b 1e -20，又已知分式的极限不为零，所以当 0 时必有
11、分母 0 故必有 c0由于故必有 a4 综合得 a 4，b2，c0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 作恒等变形后再作放大与缩小：【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 先对积分 01 cosnd 建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 记 n ，注意 是 f()tan 在0 ， 1区间上的一个积分和由于 f()在0，1上连续，故可积于是因此，我们对 n 用适当放大缩小法，将求 n 转化为求积分和的极限因于是由夹逼定理得 nlncos1 【知识模块】 极限、连续与求极
12、限的方法24 【正确答案】 先对数化为和式的极限 lnn ln(n2i 2)4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则它是 f()ln(1) 在0 ，2 区间上的一个积分和(对 0，2区间作 2n 等分，每个小区间长 )，则2ln542arctan2 因此【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 先用等价无穷小因子替换：现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 () 1 42 22 2(0)，即当 0 时 1 是 的 2 阶无穷小，故 n2 ()(1 tan 2)sin1 ln(1tan 2)sin11 si
13、nln(1tan 2)sintan 2. 2 3 (0)， 即当 0 时(1tan 2)sin1 是 的 3 阶无穷小，故 n3 ()由 1是 的 4 阶无穷小，即当 0 时 是 的 4 阶无穷小，故 n4 ()即当 0 时 0sintsin(1cost) 2dt 是 的 6 阶无穷小，故 n6【知识模块】 极限、连续与求极限的方法27 【正确答案】 先考察再考察因此，当 时，按从低阶到高阶的顺序排列为 ， e 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法28 【正确答案】 先写出 fg()的表达式考察 g()的值域：当 1，2，5 时 fg()分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当2，5 时，
14、分别由左、右连续得连续当 1 时，从而 fg()在 1 不连续且是第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法29 【正确答案】 F() 在0 ，1 存在零点于是 F(0)，中或全为 0，或至少有两个值是异号的，于是由连续函数介值定理， 0，1 ，使得 F()0，即 f()f( )【知识模块】 极限、连续与求极限的方法30 【正确答案】 () 由 f()A 及极限的不等式性质可知， X1 使得 f(X1) 由 f()B 可知， X2X 1 使得 f(X2)因 f()在X 1，X 2连续，f(X1) f(X 2)，由连续函数介值定理知 (X1， X2) (，)，使得 f() ( )因 f()A， f()B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知， X1 使得当 (， X1)时 f()有界； X2( X1)使得当 (X2，)时 f()有界又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f()在X 1，X 2上有界因此f()在( )上有界【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
