1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 9 及答案与解析一、填空题1 =_.2 设 =_.3 设 K，L ， 为正的常数，则 K-x+(1-)L-x =_.4 设 f(x)= 在点 x=0 处连续，则常数 a=_5 1+x2-ex2 当 x0 时是 x 的_阶无穷小(填数字)6 已知 =9，则 a=_7 =_.8 若 =_.9 arctan(x-lnx.sinx)=_10 xsinx=_11 =_.12 设 ，则 a=_，b=_13 函数 f(x)= 的连续区间是_ 二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求下列极限：15 设 xn=ln(1+xn)，x 10，()求
2、xn；()求16 设 a0 为常数， xn= xn.17 设 (x-3sin3x+ax-2+b)=0，试确定常数 a，b 的值18 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：19 设 0x 01，x n+1=xn(2-xn)，求证：x n收敛并求 xn.20 证明：21 设 ，且 f(x)f(x)，g(x)g(x)(xa)()当 xa 时 f(x)与 g(x)可比较，不等价，求证：f(x)-g(x)f(x)-g(x)(xa)；()当 0x-a 时 f(x)与 f(x)均为正值，求证：(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)22 设 f(x)在(a，b)连续，x 1，x 2，x n(a，b)，
3、 1， 2， n 为任意 n 个正数，求证： (a，b) ，使得23 设 f(x)在a，b连续，且 a，b，总 a，b，使得f(y) f(x)试证： a，b，使得 f()=024 设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，求证： 0xf(t)dt=+25 设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，证明： 01f(x)dx=A.考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 9 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 3【试题解析】 原式= =3+0=3【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 12【试题解析】 由题设及现利用等价无穷小因子替换【知识模块】 极限、连续与求极限
4、的方法3 【正确答案】 K L1-【试题解析】 属 1型极限原式= ，而因此，原式=e lnK+lnL1-=KL1-【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 -2【试题解析】 f(x)在 x=0 连续 =f(0)由于因此 a=-2【知识模块】 极限、连续与求极限的方法5 【正确答案】 4【试题解析】 由于因此当 x0 时 1+x2-ex2 是 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 3【试题解析】 本题属“ 0”型未定式数列极限不能直接用洛必达法则如用，得先转化成连续变
5、量的极限，利用 求得，但比较麻烦事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即=(3.10)1=3【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 5【试题解析】 令 2x3=y，则 故=3+2=5【知识模块】 极限、连续与求极限的方法9 【正确答案】 【试题解析】 x-lnx.sinx= ，由于 x+时，.sinx0 ，x-lnx.sinx+ ，于是.【知识模块】 极限、连续与求极限的方法10 【正确答案】 1【试题解析】 本题属“0 0”型未定式利用基本极限 xx=1 及重要极限即得 =11=1.【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 0【试题解析】 当
6、x0 时， 1，于是有而 =0，故由夹逼定理可知 =0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 ；1【试题解析】 利用洛必达法则可得当 a=0 时又当 a0 时故【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 (-，1)(1，+)【试题解析】 初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待 注意到 x=0 为分界点因为又 f(0)=3，因此 =f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续 此外，由于函数 f(x)在点 x=1 处无定义，因此 x=1 为 f(x)
7、的间断点于是所给函数 f(x)的连续区间为(-，1)(1，+)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (1)属 型利用洛必达法则原式=(2)记 pn= (-npn)=-t，因此，原式=e -t(3)属-型先通分，有原式=(4)原式=(5)属 00 型故原式= 而故原式=e -1(6)属 0 型原式= ，而故原式=e0=1(7)原式 =(8)原式(9)属 型(12)被积函数中含有参数 x，把因子 e-x2 提到积分号外后，易见所求极限为 型未定式应当想到洛必达法则，【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 ()
8、注意：xln(1+x) (x0)，于是 xn+1-xn=ln(1+xn)-xn0 (n=1，2，3，) xn有下界 极限a=ln(1+a)又 a0 时 aIn(1+a)，故 a=0()原式【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 当 0a1 时 0x na n， an=0；当 a=1 时 xn= =0；当 a1 时 0 xn =0因此 xn=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 由题设知利用(*)，一方面有 另一方面，直接计算又有 这表明 3+a=0 a=-3 将 a=-3 代入(*)式，即得故b= 综合得 a=-3，b=【知识模块】 极限、连续与求极限的
9、方法18 【正确答案】 () 这是初等函数，它在定义域(x 21)上连续因此，x1 时均连续x=1 时， 故 x=1 是第一类间断点(跳跃的 )又 ，故 x=-1 也是第一类间断点(可去) x1 时，x1 与x1 分别与某初等函数相同，故连续x=1 时均是第一类间断点(跳跃间断点) 因左、右极限均 ，不相等()在区间(0，+)，-1，0)上函数)，分别与某初等函数相同，因而连续在 x=0 处 y 无定义，()f(x)= 是初等函数，在(0，2) 内 f(x)有定义处均连续仅在无定义处及 =0 处 f(x)不连续在 (0，2)内因此 f(x)的间断点是：*.为判断间断点类型，考察间断点处的极限：
10、是第二类间断点(无穷型的)又是第一类间断点(可去型的)()先求 fg(x)表达式 当x1，x1 时，fg(x) 分别与某初等函数相同，因而连续当 x=1 时，分别求左、右极限故 x=1 为第一类间断点 (跳跃间断点) 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 令 f(x)=x(2-x)，则 xn+1=f(xn)易知 f(x)=2(1-x)0，x(0，1)因0x 01 x1=x0(2-x0)=1-(x0-1)2(0，1)若 xn(0，1) xn+1=xn(2-xn)(0，1)又x1-x0=x0(1-x0)0 xn单调上升且有界 xn=a由递归方程得 a=a(2-a)显然 a 0
11、a=1因此 xn=1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 令取对数化乘积为和差【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 () 考察极限因此，f(x)-g(x)-f *(x)-g*(x)(xa)()再证【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 依题设 n 个函数值 f(x1)，f(x 2)，f(x n)中一定有最小和最大的，不妨设 minf(x 1)，f(x n)=f(x1)，maxf(x 1)，f(x 2)=f(x2)，则 f(x1)if(xi)f(xn)记 = if(xi)，若 =f(x1)，则 =x1(a，b)，f()=；若 =f(xn)
12、，则 =xn(a，b)，f()=若 f(x1)f(x n)，在 x1 与 xn 之间，即 (a，b)，f()=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 反证法若在a，b 上 f(x)处处不为零，则 f(x)在a，b上或恒正或恒负不失一般性，设 f(x)0，x a，b，则 x0a，b，f(x 0)= 由题设，对此 x0， a，b，使得 f(y)=f(y) f(x0)= f(x0)f(x 0)，与 f(x0)是最小值矛盾因此， a，b，使 f()=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 因 ，由极限的不等式性质可知， ，当xX 时 f(x) ，则 xX 时有 0xf(t)dt=0Xf(t)dt+Xxf(t)dt0Xf(t)dt+ (x-X)，因此0xf(t)dt=+【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 先作变量替换： 01f(nx)dx= 01f(nx)d(nx) 0nf(t)dt这是 型数列极限将它转化为 型函数极限，便可用洛必达法则求之，即 01f(nx)dx=0nf(t)dt= 0xf(t)dt【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
