1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 ( ， 0，0， )，AE T，BE 2 T，则 AB 为( )（A）O（B） E（C） E（D）E T2 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 AB 可逆，则 AB 可逆（D）若 AB 可逆，则 A，B 都可逆3 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A-1B -1 为对称矩阵（C） AB 为对称
2、矩阵（D）kA 为对称矩阵4 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）ABO 的充分必要条件是 AO 或 BO（B） ABO 的充分必要条件是 AO 且 BO（C） ABO 且 r(A)n，则 BO（D）若 ABO，则A0 或B05 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）AB（B） AB （C）若 A0 则B0（D）若A0 则B06 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，BAC，且 r(A)r，r(B)r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定7 设 A 为 mn 阶矩阵，B
3、 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)r，则( )（A）rm（B） rm（C） rm（D）rm8 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)1，则( )（A）r(A)1（B） r(A) 2（C） r(A) 3（D）r(A)49 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 ABO，则( )（A）r(B) n（B） r(B)n（C） A2B 2(A B)(AB)（D）A010 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题11 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*-1_(用 A*表示)12 设 (1 ， 1，2) T
4、，(2，1，1) T，A T，则 An_13 A ，且 n2，则 An2A n-1_14 设 A ，则(A3E) -1(A29E)_15 A2B 2(AB)(AB)的充分必要条件是_ 16 设 A 是三阶矩阵，且A4，则 _17 设 A 为三阶矩阵，且A4，则 _18 设 A 为四阶矩阵，A *8，则 3A *_19 设 A 为三阶矩阵，且A3，则(2A) *_20 设 A ，则 A-1_21 设 A ，则 A-1_22 设 A ，则(A *)-1_23 设 A ，则(A2E) -1_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设 求(1)2B； (2)ABBA25 设 A，B 为
5、 n 阶矩阵，且 A2A，B 2B，(AB) 2AB证明：AB O 26 AXA2X，其中 A ，求 X27 设 A ，且 AXAEA *X，求 X28 设四阶矩阵 B 满足 BA-12ABE，且 A ，求矩阵B29 设 A，B 满足 A*BA2BA8E，且 A ，求 B30 设 B ，求 B-131 设 A (ai0，i1，2 ，n)，求 A-132 设 n 阶矩阵 A 满足 A22A3EO求：(1)(A2E) -1；(2)(A4E) -133 设 A 为 n 阶矩阵，且 AkO，求(EA) -134 设 A，B 为 n 阶矩阵， (1)求 P.Q； (2)证明：当 P 可逆时， Q 也可逆
6、35 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2AE证明：A A *36 设 A 为 n 阶矩阵，且 A22A8EO证明： r(4EA)r(2EA) n考研数学二（矩阵）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 T ，得 AB(E T)(E2 T)E，选 C【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则A0，B0，又ABA B，所以AB0，于是 AB 可逆，选 B【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 由(AB) TA TB TAB，得 AB 为对称矩阵；由(A -1B -1)T(
7、A -1)T(B -1)TA -1B -1，得 A-1B -1 为对称矩阵；由(kA) TkA TkA ，得 kA为对称矩阵，选 A【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 取 A O，B O，显然 ABO ，故选项A、B 都不对，取 A ，B ，显然 AB O，但A0且B 0，故 D 不对；由 ABO 得 r(A)r(B)n，因为 r(A)n，所以 r(B)0，于是 BO，所以选 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P s， Q1，Q t 使得 BP sP1AQ1Qt，而 P1，P s，Q 1，Q t 都
8、是可逆矩阵，所以 r(A) r(B)，若A0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B 0，选 C【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1r(B)r(AC)r(A) r，所以选 C【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选 C【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*) 1，所以 r(A)413 ，选 C【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ABO，所以 r(A)r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以r(B)1，从而 r
9、(A)n ，于是 A0，选 D【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵， 故选 D【知识模块】 矩阵二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 由 A*AA -1 得 (A *)*A *.(A *)-1A n-1.(A A -1)-1A n-2A， 故(A *)*-1【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 T3，A 2 T.T3 T3A， 则 An3 n-1A【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 O【试题解析】 由 A22A 得 An2 n-1A，A n-12 n-2A， 所以 An2A n-1O 【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】
10、 (A3E) -1(A29E)(A 3E) -1(A3E)(A3E)A 3E 【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 ABBA【试题解析】 A 2B 2(AB)(AB)A 2BA ABB 2 的充分必要条件是ABBA【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 2【试题解析】 2A -12 3A -12【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 由 A*AA -14A -1 得【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 为四阶矩阵，且A *8，所以A *A 38，于是A2 又 AA*AE2E，所以 A*2A -1，故 3A *4A -16A -1(2)A -1(2) 4A -
11、116 8【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 576【试题解析】 因为(2A) *(2) 2A*4A *，所以(2A)*4A *4 3A 2649576【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 【试题解析】 A10，因为 A*AA -1，所以 A*10A -1，故(A *)-1【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 (1)2B(2) 3B8；【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由 A2A，B
12、2B 及(AB) 2ABA 2B 2AB BA 得ABBAO 或 ABBA ，AB BA 两边左乘 A 得 ABABA，再在ABBA 两边右乘 A 得 ABABA，则 ABBA ，于是 ABO【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 由 AXA2X 得(A2E)X A，其中 A2E 因为A2E10，所以 X(A 2E) -1A，【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 由 AXAEA *X 得 (A E)XA *AEA *AA *(E A)A *， 因为EA30，所以 EA 可逆，于是 XA *， 由A6 得 X6A -1，【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 A4，( A*)-1BA-12ABE B
13、A -12ABE ABA-12ABE B2BAE B(E 2A) -1【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 由 A*BA2BA8E 得 AA*BA2ABA8A ， 即2BA2ABA8A，整理得(AE)B4E，所以 B4(A E) -1【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 (1)由 A22A3EO 得 A(A2E)3E， A.(A2E) E，根据逆矩阵的定义，有(A2E) -1 A (2)由 A22A3EO 得(A4E)(A2E)5EO ，则(A 4E) -1 (A2E)【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 E kA k
14、(EA)(E AA 2A k-1)， 又 EkA kE 所以(EA) -1E AA 2A k-1【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 (1)(2)因为PAB，所以当 P 可逆时，A B0，而PQAB E ，即 PQE，于是 Q 可逆且 Q-1 P【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 因为 AA*AE，又已知 A2 AE，所以 AA*A 2，而 A可逆，故 AA *【知识模块】 矩阵36 【正确答案】 由 A22A8EO 得(4EA)(2EA)O ，根据矩阵秩的性质得r(4EA) r(2EA)n又 r(4EA) r(2EA)r(4EA) (2EA)r(6E) n，所以有 r(4EA)r(2EA)n【知识模块】 矩阵
