1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0 ，A *是 A 的伴随矩阵，则A *等于( )（A）a（B） （C） an-1（D）a n2 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（A）A+B = A+B（B） AB=BA（C） AB =BA（D）(A+B) 一 1=A 一 1+B-13 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E4 设 A 是 mn 矩阵，C
2、 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 ，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1 （D）r 与 r1 的关系依 C 而定5 设三阶矩阵 若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab且 a+2b=0（D）ab 或 a+2b06 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )（A）（B）（C）（D）7 已知矩阵 ，那么下列矩阵中(1) (2) (3) (4)与矩阵 A 相似的矩阵
3、个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）g8 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=O，则( )（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆9 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题10 设 则 A2=_11 已知 2CA 一 2AB=C 一 B，其中 ，则C3=_12 设 则其逆矩阵 A-1=_13 设 且 r(A)=2，则 k=_14 设 B 是 3 阶非
4、零矩阵，且 AB=O，则 a=_15 已知 n 阶矩阵 则 r(A2 一 A)=_.16 设 n 阶矩阵 A 满足 A2=A，E 为 n 阶单位阵，则 r(A)+r(AE)=_?17 已知 矩阵 X 满足 A*X=A 一 1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_18 已知 1=(1，0，0) T， 2=(1，2，一 1)T， 3=(一 1，1，0) T，且 A1=(2，1)T， A3=(一 1，1)T ，A) T=(3，一 4)T，则 A=_.19 设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=则(B 一 2E)T=_20 设 且 A，B，X 满足
5、(EBA) TBTX=E，则 X-1=_21 设矩阵 A 与 相似，则 r(A)+r(A 一 2E)=_22 设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A2 一 2A 一 8E=0，则 r(4EA)+r(2E+A)=_?23 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A 一 1BA=6A+BA，且 则B=_24 设 r(A)=2，则 a=_25 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 则 r(AB)=_?26 设 B 为 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 已知 求可逆矩阵 P，使 P-1AP=A27 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为
6、 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵28 计算并化简 PQ；29 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA 一 1b30 设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)231 设 求 An32 已知矩阵 A 的伴随矩阵 A*=diag(1，1，1，8)，且 ABA-1=BA-1+3E，求 B33 设方阵 A 满足 A2 一 A 一 2 层=0，证明 A 及 A+2E 都可逆，并求 A 一 1 及(A+2E)一 1考研数学二（矩阵）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
7、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对 AA*=AE 两边取行列式，得AA *=AE=A n由A=a0，可得A *= A n-1=an-1【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 因为AB=AB= B A= BA，所以 C 正确对于选项 A，取 B=一 A，则 A+B=0，而A+ B 不一定必为零，故 A 错误对于选项 B，由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确对于选项 D，因(A+B)(A-1+B-1)E，故 D 也不正确【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 ABC=E，可知 A(BC)=E 或 (AB)C=E，即 A 与 BC 以及 AB与
8、C 均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E，比较四个选项可知应选 D【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)所以应选 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 根据矩阵 A 与其伴随矩阵 A*秩的关系可知，r(A)=2，即 A 为降秩矩阵，从而 故有 a+2b=0 或 a=b但当 a=b时，r(A)=1故必有 ab 且 a+2b=0，所以应选 C【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 D【试题解析
9、】 由题设，有【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似(1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于(3)和(4)，由 可见(4)亦与 A 相似，而(3)与 A 不相似所以应选 C【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 已知(EA)(E+A+A 2)=EA3=E，(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E故EA，E+A 均可逆故应选 C【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 A
10、 的行列式A0，则 A 可逆，且的行列，即分块矩阵可逆，那么根据公式有所以应选B【知识模块】 矩阵二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 因为且矩阵的乘法满足结合律，A 3=(T)(T)(T)=(T)(T)T【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA 一 2AB=CB，得 2CAC=2AB 一 B，因此有 C(2AE)=(2AE)B【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 一 2【试题解析】 对 A 作初等变换，因此 r(A)=2 时，故 k=一 2【知识模块】 矩阵14 【正确答案】
11、 【试题解析】 因为 AB=O，则有 r(A)+r(B)3，又已知矩阵 BO，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式 A=O 而【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 1【试题解析】 根据 A2 一 A=A(AE)，已知矩阵 A 是可逆矩阵，因此 r(A2A)=r(AE)，而 r(AE)=1，所以 r(A2 一 A)=1【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 n【试题解析】 由已知 A2=A，则有 A(AE)=A2 一 A=AA=O，所以 r(A)+r(AE)n 又 r(AE)=r(E 一 A)，则 r(A)+r(A E)=r(A)+r(EA)r(A+E 一 A)=r(E)=n，因此 r(A
12、)+r(AE)=n 【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵 A，并把等式 AA*=AE 代入已知矩阵方程，得AX=E+2AX，移项可得(AE 一 2A)X=E，因此 X=(AE 一 2A)-1已知A=4，所以【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 利用分块矩阵，得 A1,2,3=A1，A 2，A 3= ，那么【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B 一 2E，于是有 AB 一 2A 一 3B+6E=6E，则有(A 一 3E)(B 一 2E)=6E从而【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题
13、解析】 由(E 一 B 一 1A)TBTX=E，得B(EB -1A)TX=E，即(BEBB 一 1A)TX=E，也就是(BA) TX=E，因此【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 3【试题解析】 矩阵 A 与 B 相似，则 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有 r(A)+r(A 一 2E)=r(B)+r(B 一 2E)=2+1=3【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 n【试题解析】 根据已知 A2 一 2A 一 8E=O，可得(4EA)(2E+A)=O ，根据矩阵秩的性质可知 r(4EA)+r(2E+A)n，同时 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA
14、)+(2E+A)=r(6E)=n，因此 r(4E 一 A)+r(2E+A)=n【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知，A 可逆，已知 A 一 1BA=6A+BA，在该等式的两端右乘A 一 1，则有 A 一 1B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有(EA)B=6A，即 B=6(EA)一 1A，且【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 0【试题解析】 对 A 作初等行变换，则有即当a=0 时， r(A)=2【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 2【试题解析】 因为 所以矩阵 B 可逆，因此 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 矩阵26 【正确答案】
15、一 3【试题解析】 因为矩阵 B 为 3 阶非零矩阵，并且满足 AB=O，因此可见线性方程Ax=0 有非零解，因此 解得 t=一 3【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 由得矩阵 A 的特征值 1=2=3， 3=0当 =3时，有(3EA)x=0，且得特征向量 1=(1，一 2，0) T， 2=(0，0，1) T当=0时，有(OEAx)=0，且 得特征向量 2=(一1，一 1，1) T那么，令【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A 一 1 有【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 由下三角
16、形行列式及分块矩阵行列式的运算，有因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故Q=A(b 一 TA 一 1)由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 b 一 TA-10，即 TA-1B【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)r()+r()2【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 首先观察【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 由题意可知 A 一 1 存在，A *=AA 一 1 两端取行列式可得A *= A 4A -1=A 3，因为 A*=diag(1，1，1，8)，所以A *=8，即A=2由 ABA-1=BA-1+3E 移项并提取公因式得，(AE)BA -1=3E，右乘 A 得(AE)B=3A，左乘 A-1 得(EA -1)B=3E且由已求结果A =2，知得因此【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 由 A2 一 A 一 2E=0，得 A(AE)=2E两端同时取行列式A(AE) =2，即AAE=2，故A0，所以 A 可逆而由 A2 一A 一 2E=0 可得 A+2E=A2，两端同时取行列式A+2E=A 2=A 20，所以A+2E 也可逆由 A(AE)=2E，得 又 A2 一 A 一 2E=0，通过添加项并整理可得(A+2E)(A 一 3E)=一 4E，则有 (A+2E) -1(A+2E)(A 一 3E)=一 4(A+2E)-1，因此【知识模块】 矩阵
