1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（A）rm（B） r=m（C） rm（D）rm2 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）r(A)=43 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（A）r(B)=n（B） r(B)n（C） A2-B2=(A+B)(A-B)（D）A=04 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩
2、阵为( )5 设 A=则 A，B 的关系为( )（A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1（D）B=AP 2P16 设 A=，则( )（A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C）（D）二、填空题7 设 A= ，则 A-1=_8 设 A= ，则 (A*)-1=_9 设 A= ，则(A-2E) -1=_10 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+A=3E，则(A-3E) -1=_11 设 A= =_12 设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T，其中 a0，又 A=E-T，B=E+ T，且B 为 A 的逆矩阵，则 a=_13 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A-1BA=6A
3、+BA，且 A= ，则B=_14 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_15 设 A= ， B 为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(A)=_16 P1= =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A-3E=O求：17 (A+2E)-1；18 (A+4E)-119 设 A 为 n 阶矩阵，且 Ak=O，求(E-A) -119 设 A，B 为 n 阶矩阵，P=20 求 P.Q；21 证明：当 P 可逆时，Q 也可逆22 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2=AE 证明：A=A *23 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2
4、-2A-8E=0证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n24 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一25 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATA=O，证明：A=O 考研数学二（矩阵）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=4-1=3，选(C)【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(
5、A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是A=0，选(D)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵，因为，选(D)【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 P 1=E12，P=E 23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 B= ，所以应选(D)【知识模块】 矩阵二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 设【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 【试题解析】 A=
6、10，因为 A*=AA -1，所以 A*=10A-1，故(A *)-1=【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【试题解析】 A-2E= 而(A-2E：E)则(A-2E) -1=【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 由 A2+A=3E，得 A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E)【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 令 A=(1， 2， 3)，因为A=2，所以 A*A=AE=2E，而A*A=(A*1，A *2，A *3)，所以 A*1=【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 -1【试题解析】 由 AB=(E-T) T-T-2aT=E 且 T0，得
7、 -1-2a=0，解得 a=-1【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 由 A-1BA=6A+BA，得 A-1B=6E+B，于是(A -1-E)B=6E，B=6(A -1-E)-1=6【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 2【试题解析】 因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 P 1=【知识模块】 矩阵三、解答题解答应
8、写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 由 A2+2A-3E=O 得 A(A+2E)=3E， A(A+2E)=E ，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) -1=【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 由 A2+2A-3E=O 得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则(A+4E) -1= (A-2E)【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 E k-Ak=(E-A)(E+A+A2+Ak-1)，又 Ek-Ak=E， 所以(E-A) -1=E+A+A2+Ak-1【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 PQ= =A B E【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 因为
9、P=AB，所以当 P 可逆时，A B0，而PQ= A BE，即 PQ=E，于是 Q 可逆且 Q-1=【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 因为 AA*=AE ，又已知 A2=A E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故 A=A*【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由 A2-2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得 r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E-A)+r(2E+A)=n【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(B-C)=O，故 r(A)+r(B-C)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(B-C)=0，B-C=O，于是 B=C，即 A的逆矩阵是唯一的【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=O，所以 r(A)=0，于是 A=O【知识模块】 矩阵
