1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 行列式 =( )（A）(adbc) 2。（B）一 (ad 一 bc)2。（C） a2d2 一 b2c2。（D）b 2c2 一 a2d2。2 设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1， 2， 3)为可逆矩阵，使得 P1 AP= ，则A(1+2+3)=( )（A） 1+2。（B） 2+23。（C） 2+3。（D） 1+22。3 设 A，B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵。若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )4 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T
2、 为 P 的转置矩阵，且 PTAP= ，若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)则 QTAQ 为( )5 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则 ( )（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价。（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价。（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价。6 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 为 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关。（B）若 1， 2， s
3、线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关。（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关。（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关。7 设 A=(1， 2， 3， 4)是四阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵。若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可以是 ( )（A） 1， 3。（B） 1， 2。（C） 1， 2， 3。（D） 2， 3， 4。8 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10。
4、（B） 20。（C） 1=0。（D） 2=0。9 设矩阵 ，则( )（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似。（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似。（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似。（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似。10 设 A= ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为( )二、填空题11 设矩阵 A= ， E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则B =_。12 设矩阵 等价，则 a=_。13 设方程 有无穷多个解，则 a=_。14 设矩阵 A= 的一个特征向量为 ，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 已知 A，B 为三
5、阶方阵，且满足 2A1 B=B 一 4E，其中 E 是三阶单位矩阵。15 证明：矩阵 A 一 2E 可逆；16 若 B= ，求矩阵 A。17 已知矩阵 。且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是三阶单位阵，求 X。17 设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(一 1，一 3，5，1) T， 3=(3，2，一 1，p+2)T， 4=(一 2，一 6，10，p) T。18 P 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用1， 2， 3， 4 线性表出；19 p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组。19 已知
6、非齐次线性方程组 有三个线性无关的解。20 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；21 求 a，b 的值及方程组的通解。22 设 。当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC 一 CA=B，并求所有矩阵 C。22 设矩阵 ，且方程组 Ax= 无解。23 求 a 的值；24 求方程组 ATAx=AT 的通解。24 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。25 求 A 的特征值与特征向量；26 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ，使得 QTAQ= 。27 设 A= ，正交矩阵 Q 使得 Q
7、TAQ 为对角矩阵，若 Q 的第一列为(1， 2，1) T，求 a，Q。27 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1b 2x2+b3x3)2，记28 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；29 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变化下的标准形为 2y12+y22。考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 方法一：由行列式的展开定理按第一列展开=一 ad(ad 一 bc)+bc(ad 一 bc)=一(ad一 bc)2。故选 B。方
8、法二：利用拉普拉斯展开式，即=一(ad 一 bc)2。2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 1+2+3=(1， 2， 3)(1，1， 1)T=P(1，1，1) T，所以A(1+2+3)=AP(1，1，1) T=PP1 AP(1，1，1) T=(1， 2， 3)=2+23。3 【正确答案】 B【试题解析】 分块矩阵 的行列式 =(一 1)22AB=23=6。即分块矩阵可逆。4 【正确答案】 A【试题解析】 Q=( 1+2， 2， 3)=(1， 2， 3) =(1， 2， 3)E21(1)，即Q=PE21(1)。Q TAQ=PE21(1)TAPE21(1)=E21T(1)PTAPE21(1)5
9、【正确答案】 B【试题解析】 方法一：把矩阵 A，C 按列分块：A=( 1， 2， n)，C=(1， 2， n)，由于 AB=C，则可知( 1， 2， n)=(1， 2， n)。 得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示。同时由于 B 可逆，则 A=CB1 。同理，矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。应该选 B。方法二：可逆矩阵可表示为若干个初等矩阵的乘积，于是 A 经过有限次初等列变换化为 C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系，故选 B。6 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：记 B=(1， 2，
10、s)，则(A 1，A 2，A s)=AB。 若向量组 1， 2， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s ，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故应选 A。 方法二：若 1， 2， s 线性相关，则存在不全为零的数是 k1，k 2，k s 使得 k 11+k22+kss=0。 用 A 左乘等式两边，得 k 1A1+k2A2+ksAs=0， (1) 于是存在不全为零的数k1，k 2，k s 使得(1)成立，所以 A1，A 2，A s 线性相关。7 【正确答案】 D【试题解析】 因为齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系只包含一个向量(1，0，1，0)T，所以矩阵 A 的秩 r
11、(A)=41=3，A 的伴随矩阵的秩 r(A*)是由 r(A)确定的，即r(A*)=1。r(A *)=1 n 一 r(A*)=41=3。从而方程组 A*x=0 的基础解系包含三个线性无关的解向量，因此，选项 A，B 是错误的。又因为 A*A=A E和A=0，因此矩阵 A 的列向量 1， 2， 3， 4 都是方程组 A*x=0 的解，由前面的分析可知 r(A)=3，故向量组 1， 2， 3， 4 的秩也是 3，则其中三个线性无关的向量即为 A*x=0 的一个基础解系。最后，因为(1，0，1，0) T 是 Ax=0 的解，因此 =(1， 2， 3， 4)= =0，即 1+3=0，则 1=一 3，因
12、此可知1， 2， 4(或者 2， 3， 4)线性无关，是 A*x=0 的一个基础解析，因此答案 D 是正确的。8 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+k2A(1+2)=0，则 k11+k211+k222=0，(k 1+k21)1+k222=0。由于 1， 2 线性无关，于是有 当 20 时，显然有k1=0，k 2=0，此时 1，A( 1+2)线性无关；反过来，若 1，A( 1+2)线性无关，则必然有 20(否则， 1 与 A(1+2)=11 线性相关)。故应选 B。9 【正确答案】 B【试题解析】 由E 一 A=0 可知，矩阵 A 的特征值为 1，2，2。又因为2EA= ，所以 3 一
13、r(2EA)=2，故矩阵 A 可相似对角化，且 A 。由E 一 B=0 可知，矩阵 B 的特征值为 1，2，2。又因为2EB= ，所以 3 一 r(2E 一 B)=1，故矩阵 B 不可相似对角化。矩阵C 本身就是对角矩阵，且其特征值为 1，2，2，所以 A 与 C 相似，B 与 C 不相似。10 【正确答案】 D【试题解析】 依次计算各选项中矩阵特征值，如对选项 D 中的矩阵记 D=，则E 一 D= =( 一 1)2 一 4，又E 一 A=( 一 1)2 一 4，所以 A 和 D 有相同的特征多项式，A 和 D 有相同的特征值 3 和一 1，正负惯性指数均为 1。故选项 D 正确。二、填空题1
14、1 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，有 B(AE)=2E，于是有BA E=4 ，而A E= =2，所以B =2。12 【正确答案】 2【试题解析】 记 ，对矩阵 B 作初等行变换可得 则 r(B)=2。由于矩阵 A 与 B 等价，所以r(A)=2，则A=(a 一 2)(a+1)2=0，故 a=2 或一 1。但当 a=一 1 时，r(A)=1 ，所以 a=2。13 【正确答案】 一 2【试题解析】 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形，有当 a=一 2 时，=r(A)=23，对应方程组有无穷多个解。14 【正确答案】 1【试题解析】 根据特征向量的定义可得 ，即 3+2a=1，可得a= 1。三
15、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 2A1 B=B 一 4E 知，AB 一 2B 一 4A=O。所以(A 一 2E)(B 一4E)=8E，即(A 一 2E) (B 一 4E)=E。故 A 一 2E 可逆，且(A 一 2E)1 = (B 一4E)。16 【正确答案】 由第一问可知 A=2E+8(B 一 4E)1 ，而(B 一 4E)1 =，故 A= 。17 【正确答案】 题设的关系式 AXA+BXB=AXB+BXA+E AXA+BXBAXBBXA=E AX(AB)+BX(BA)=E(AX 一 BX)(AB)=E，即(AB)X(AB)=E 。因为 AB= ，AB
16、=1，所以 AB 可逆，且(A 一 B)1 =，故 X=(AB)1 2= 。18 【正确答案】 作方程组 1x1+2x2+3x3+4x4=，并对增广矩阵作初等行变换，当 p2 时，r( 1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4，)=4， 1， 2， 3， 4 线性无关，且方程组( 1， 2， 3， 4)x= 有唯一解，其同解方程组为解得 x1=2，x 2= ，x 3=1，x 4= ，代入1x1+2x2+3x3+4x4= 中，即 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，且表出式为 =21+。19 【正确答案】 向量组 1， 2， 3， 4 线性相关 以 i，i=1 ，2，3，4 为列向量组
17、成的线性齐次方程组 1x1+2x2+3x3+4x4=(1， 2， 3， 4)x=0 有非零解。当p=2 时， (1， 2， 3， 4) ，故向量组1， 2， 3， 4 线性相关， 1， 2， 3(或 1， 3， 4)线性无关，是其极大线性无关组。【试题解析】 向量组 1， 2， 3， 4 线性无关 以 I，i=1，2，3，4 为列向量组成的线性齐次方程组 1x1+2x2+3x3+4x4=1， 2， 3， 4x=0 只有零解。向量 能否由向量组 1， 2， 3， 4 线性表出 以 i，i=1，2，3，4 为列向量组成的线性非齐次方程组 1x1+2x2+3x3+4x4= 是否有解。20 【正确答案
18、】 设 1， 2， 3 是方程组 Ax= 的三个线性无关的解，其中则有 A(1 一 2)=0，A( 1 一 3)=0。那么 1 一2， 1 一 3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解，且线性无关 (否则，易推出1， 2， 3 线性相关，矛盾)。所以 n 一 r(A)2，即 4 一 r(A)2 r(A)2。又矩阵A 中有一个 2 阶子式 =一 10，所以 r(A)2。因此，r(A)=2。【试题解析】 非齐次线性方程组有三个线性无关的解，可以得到齐次线性方程组有两个线性无关的解，由于基础解系中有 4 一 r(A)个向量，由此可以得到 r(A)2；接下来再证明 r(A)2 即可。21 【正确答案】
19、 因为 A=，又r(A)=2，则 对原方程组的增广矩阵 施行初等行变换， 故原方程组与下面的方程组同解 选 x3，x 4 为自由变量，则故所求通解为 x= ，k 1，k 2 为任意常数。【试题解析】 增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵，根据 r(A)=2 求出 a，b的值，再进一步将增广矩阵通过初等行变换化为行最简形，进而求出线性方程组的通解。22 【正确答案】 由 AC 一 CA=B 可知，如果 C 存在，则必须是二阶的方阵。设，即得到线性方程组 要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下所以，当 a=一 1，b=0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，
20、使得 AC 一 CA=B。此时，所以方程组的通解为 x=，也就是满足 AC 一 CA=B 的矩阵 C 为 C=，其中 C1，C 2 为任意常数。【试题解析】 设出矩阵 C，按照矩阵乘法的定义求出 AC 一 CA，再代入等式AC 一 CA=B，可以得到一个线性方程组。讨论这个线性方程组有解的条件，再求出其通解。23 【正确答案】 增广矩阵 已知方程组 Ax=无解，即要求系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，因此可得 a=0。24 【正确答案】 由第一问的结果，有【试题解析】 方程组 Ax= 无解，则 r(A) ，利用此求出 a 的值。对矩阵(ATA AT)进行初等行变换，从而得出其通解。25 【正确答案
21、】 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以 ，则由特征值和特征向量的定义知，=3 是矩阵 A 的特征值，=(1，1，1) T 是对应的特征向量，对应 =3 的全部特征向量为 k，其中 k 是不为零的常数。又由题设知A1=0，A 2=0，即 A1=0 1，A 2=0 2，而且 1， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1， 2 是其对应的特征向量，对应 =0 的全部特征向量为k11+k22，其中 k1，k 2 为不全为零的常数。【试题解析】 线性方程组 Ax=0 的解即为特征值 0 的特征向量，矩阵的各行元素之和为 3 等价于 A(1，1，1) T=(3，3，3) T=3(
22、1，1， 1)T，从而得到(1，1，1) T 是 A的特征向量，对应的特征值为 3。26 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，所以只需将1， 2 正交。取 1=1， 2=2 。再将， 1， 2 单位化，得令Q=(1， 2， 3)，则 Q1 =QT，由实对称矩阵必可相似对角化，得 QTAQ=。【试题解析】 将实对称矩阵 A 的特征向量正交化再单位化，以此作为列向量即可得到正交矩阵 Q。27 【正确答案】 根据题意，(1，2，1) T 是 A 的一个特征向量，于是解得 a=一 1， 1=2。由于 A 的特征多项式为E 一 A =( 一 2)(+4)( 一 5)，所以 A
23、 的特征值为 2，一 4，5。当 2=一 4时，求得(一 4EA)x=0 的基础解系为 2= 。当 3=5 时，求得(5EA)x=0 基础解系为 3= ；把 2， 3 单位化得 Q 即为所求矩阵。【试题解析】 因为 Q 是正交矩阵，因此 QT=Q1 ，所以 QTAQ= ，即 Q1 AQ=。A 的对角线上的元素是 A 的特征值，Q 的列向量都是 A 的特征向量。28 【正确答案】 f=(2a 12+b12)x12+(2a22+b22)x22+(2a32+b32)x32+(4a1a2+2b1b2)x1x2+(4a1a3+b1b3)x1x3+(4a2a3+2b2b3)x2x3。则 f 对应的矩阵为=2T+T。29 【正确答案】 设 A=2T+T，由于 ， 正交，所以 T=T=0，则 A=(2T+T)=2 2+T=2， 所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量；A=(2T+T)=2T+ 2=， 所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)=2， 所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。 故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。
