1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 4， 5经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 则 ( )（A） 1 不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3， 5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 5 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出2 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关3 设 A 为
2、n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)aX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解4 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )（A）k 11+k2(1+2)+（B） k11+k2(1-2)+（C） k11+k2(1 一 2)+（D）k 11+k2(1 一 2)+5 设 A
3、是 mn 矩阵，线性非齐次方程组为 AX=b 对应的线性齐次方程组为 AX=0 则 ( )（A）有无穷多解 仅有零解（B） 有无穷多解有无穷多解（C） 仅有零解有唯一解（D）有非零解 有无穷多解6 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n ，且 |A|0（B） AX=0 有唯一零解（C） A 的列向量组 1， 2， n 和 1， 2， ， n，b 是等价向量组（D）r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出7 设矩阵 Amn 的秩，r(A)=r(A|b)=m n，则下列说法错误的是 ( )（A）AX=0 必有无穷多解（B） AX=b 必无解（C
4、） AX=b 必有无穷多解（D）存在可逆阵 P，使 Ap=EmO8 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A TX=b 有唯一解（D）对任意的 b，AX=b 有无穷多解9 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(A)=m （B） r(A)=s （C） r(B)=s （D）r(B)=n10 设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 有解的充要条件是 ( )（A
5、）r(A)=r(A|b) ，r(B) 任意 （B） AX=b 有解，BY=0 有非零解（C） |A|0， b 可由 B 的列向量线性表出（D）|B|0， b 可由 A 的列向量线性表出二、填空题11 已知一 2 是 的特征值，其中 b0 是任意常数，则x=_12 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是_13 设 A 是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|=_14 设 A 是三阶矩阵，|A|=3，且满足|A 2+2A|=0，|2A 2+A|=0，则 A*的特征值是_15 设 A 是 n 阶实对称阵， 1， 2， n 是 A 的
6、n 个互不相同的特征值， 1 是 A的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A111T 的特征值是_16 设三阶矩阵 已知 A 和 线性相关，则a=_17 矩阵 的非零特征值是_18 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知 =1，k，1 T 是 A-1 的特征向量，其中 ，求 k 及 所对应的特征值20 设矩阵 有三个线性无关特征向量，=2 是 A 的二重特征值，试求可逆阵 P，使得 P-1AP=A，A 是对角阵21 已知 =1，1，一 1T 是矩阵 的一
7、个特征向量(1)确定参数a，b 及 对应的特征值 ；(2)A 是否相似于对角阵，说明理由22 设矩阵 且|A|=一 1，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于 0的特征向量为 =一 1，一 1，1 T，求 a，b，c 及 0 的值23 设 A 是三阶实对称阵， 1=一 1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1=0，1，1 T，求 A24 设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，证明：A+E 的行列式大于 125 设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式|A 一 3E|的值26 设矩阵 (1)已知 A 的一
8、个特征值为 3，试求 y；(2)求矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵27 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1， 2， 3，令 =1+2+3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)若 A3=A，求秩 r(AE)及行列式|A+2E|28 设 求实对称矩阵 B，使 A=B229 设三阶实对称阵 A 的特征值为 1，2，3，A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=一 1，一 1，1 T， 2=1，一 2，一 1T，求 A30 证明：AB，其中 并求可逆阵 P，使得 P-1AP=B31 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2=A，且 r
9、(A)=r(0rn)，证明： 其中Er 是 r 阶单位阵32 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA，证明：B 相似于对角阵33 设 =a1，a 2，a nT0，A= T，求可逆阵 P，使 P-1AP=A34 设 A=E+T，其中 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2) 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A35 设向量 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT 都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T，求： (1)A 2； (2)A 的特征值和特征向量； (
10、3)A 能否相似于对角阵，说明理由36 设 a0，a 1，,a n-1 是 n 个实数，方阵(1)若 是 A 的特征值，证明：=1， 2， n-1T 是 A 的对应于特征值 的特征向量； (2)若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n，求可逆阵 P，使 P-1AP=A考研数学二（线性代数）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1，
11、 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向量线性无关 AX=0 唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 方程 AX=0 和 ATAX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ，(C) 中没有非齐次特解， (D)中两个齐次解 1 与 1 一 2 是否线性无关未知，而(B)中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1 一 2 仍是基础解系，仍是特解【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 (C) ，(D) 中 均有可能无解有无穷多解，记为 k11+kn
12、-rn-r+，则有解 k11+k22+kn-rn-r，故(A)不正确，故选 (B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 r(A)=n，b 可由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(A|b)=n， AX=b 有唯一解(A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非允分条件(可能无解) ，(C) 是必要条件，但非充分条件(b 由 1， 2， n 表出，可能不唯一)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因 r(A)=r(A|b)=mnAX=b 必有解【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组
13、ATX=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(AT|b)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举例说明【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 r(A)=r(A|b)，r(B) 任意(BY=0 总有解，至少有零解
14、，其余均错)【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 一 4【试题解析】 由|EA|=|一 2EA|=0，可求得 x=一 4【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0(n 一 1 重根)，n(单根)【试题解析】 =0(n 一 1 重特征值)， =n(单根 )【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 6【试题解析】 由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知 A 有特征值=一 1，一 2，一3，A+4E 有 =3，2，1，故 |A+4E|=6【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 |A|A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故 A 有特征值 1=一
15、2因|A|=3= 123，故 3=3故 A*有特征值【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称阵， 1， 2， n 互不相同，对应的特征向量1， 2， n 相互正交，故 Bi=(A111T)i= 故 B 有特征值为 0， 2， 3， n【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 一 1【试题解析】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 =4【试题解析】 因得 =4或有 AX=4X，即 得 =4【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1kr【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由题设 A-
16、1=， 是 A-1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得=A，A -1 可逆，0， ，即 对应分量相等，得 得 2+2k=k(3+k)，k 2+k 一 2=0，得 k=1 或 k=-2当 k=1 时，=1， 1，1 T，=4 ， 当 k=-2 时，=1，一 2，1 T，=1，【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 A 有三个线性无关的特征向量， =2 是二重特征值，故特征矩阵2E-A 的秩应为1 解得 x=2，y=-2，故【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即解得 =一 1，a=-3，b=0(2)当 a=-3，b=0 时，由 知
17、 =一 1 是 A 的三重特征值，但当 =一 1 时，对应的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A*= 0，左乘 A，得 AA*=|A|=一 =0A即由，解得 0=1，代入 ，得 b=一 3，a=c由|A|=一 1，a=c ，有得 a=c=2，故得 a=2，b=-3 ，c=2 ， 0=1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关特征向量 2， 3，它们都与 1 正交，故可取 2=1，0，0 T， 3=0，1，一 1T，且取正交矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的特征值
18、10， 20， n0因而 A+E 的特征值分别为 1+11， 2+11， n+11，则|A+E|=( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 若 为 A 的特征值，则 一 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一3E 的特征值为一 1，1，3，2n 一 3，故|A 一 3E|=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n 一 3)!【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)|A 一 E|=( 一 1)(+1)2 一(2+y)+(2y 一 1)=0 y=2 (2)A为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化由(
19、1)得 A 的特征值 1=一 1， 2,3=1， 4=3，故 A2 的特征值 1,2,3=1， 4=9且A2 的属于特征值 1,2,3=1 的正交单位化的特征向量为A2 的属于特征值 4=9 的正交单位化的特征向量为令 P=p1，p 2，p 3，p 4=【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)设 k 1+k2A+k3A2=o， 由题设 Ai=ii(i=1，2，3)，于是 A=A1+A2+A3=11+22+33， A 2=121+222+323，代入 式整理得 (k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0 因为 1， 2， 3 是三个不同特
20、征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式 0，必有 k1=k2=k3=0，故 ，A ，A 2 线性无关(2)由 A3=A 有 A，A，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A=，A，A 2 令P=，A，A 2，则 P 可逆，且 从而有 r(AE)=r(BE)=r =2|A+2E|=|B+2E|= =6【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 |E 一 A|= =( 一 9)2=0,1=0， 2=3=9【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 =3 对应的特征向量应与 1， 2 正交，设 3=x1，x 2，x 3T，则应有 解得 3=1，0，1 T【知识模块】 线性代数30 【正确
21、答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B由于 1=1 时，( 1E-A)X=0，有特征向量1=1，0，0 T； 2=2 时，( 2E-A)X=0，有特征向量 2=0，1，0 T； n=n 时，( nE-A)X=0，有特征向量 n=0，0，1 T故有 A n=nn，A n-1=(n 一1)n-1， ，A 1=1，即 An， n-1， 1=nn，(n-1) n-1， 1=n， n-1， 1故得可逆阵 有 P-1AP=B【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 A 2=A，A 的特征值的取值为 1，0，由 AA2=A(E-A)=0 知 r
22、(A)+r(EA)n， r(A)+r(E 一 A)r(A+E 一 A)=r(E)=n，故 r(A)+r(EA)=n，r(A)=r，从而 r(E 一 A)=n 一 r 对 =1，(E-A)X=0，因 r(E 一 A)=n 一 r，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1， 2， r； 对 =0，(0E-A)X=0 ，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n-r个线性无关特征向量，设为 r+1， r+2， n 故存在可逆阵 P=1， 2， n，使得【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P-1AP=diag(1， 2， n)=A1，其中 i，i
23、=1，2， ，n 是 A 的特征值，且ij(ij) 又 AB=BA，故 P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP，即 A 1P-1BP=P-1BPA1设 P-1BP=(cij)nn，则比较对应元素 icij=jcij，即( i 一 j)cij=0， ij(ij)得 cij=0，于是【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= T= 若 T=0，则 =0，0，故 =0；若 T0，式两端左乘 T， TT=(T)T=(T) (2)再求 A 的对应于 的特征向量当 =0 时即解方程 a1x1+a2x2+anxn=0，得特
24、征向量为 (设 a10) 1=a2，一 a1，0，0 T， 2=a3， 0，一 a1，0 T， n-1=an，0，0，一 a1T由观察知 n=a1，a 2，a nT(3) 由 1， 2， n，得可逆阵 P【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 (1)设(E+ T)= 左乘 T， T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T，若 T0，则 =1+T=3；若 T=0，则由式，=1=1 时，(E-A)X=一 TX= b1，b 2，b nX=0即b 1，b 2，b nX=0，因 T=2，故0，0，设 b10，则 1=b2，一 b1，0，0 T， 2=b3，0，一 b1，0T， ， n-1=bn，0，
25、 0，一 b1T； =3 时， (3E-A)X=(BE- T)X=0， n=a1,a2，a nT(2) 取【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 (1)由 A=T 和 T=0，有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=0，即 A 是幂零阵 (A2=0) (2)利用(1)A 2=0 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A，得 A 2=A=2 因A2=0，所以 2=0，0 ，故 =0 即矩阵 A 的全部特征值为 0 (3)A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A=T0，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n 一 rn 个，故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 (1) 是 A 的特征值，则 应满足 |E 一 A|=0，即将第 2 列乘 ，第 3 列乘2，第 n 列乘 n-1 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得得证 =1， 2， n-1T 是 A 的对应于 的特征向量 (2)因 1， 2， n互异，故特征向量 1， 2， n 线性无关，取可逆阵 P=1， 2， n，得其中 i=1， i， i2， in-1T，i=1 ，n【知识模块】 线性代数
