1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 A-B 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆2 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )3 设向量组() ： 1， 2， ， s 的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s 的秩为r2，且向量组( )可由向量组( )线性表示，则( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B
2、）向量组 1-1， 2-2， s-1 的秩为 r1-r2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， n 的秩为 r14 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解（C）若 r(A)=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一解（D）若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解5 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是 ( )（A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值-1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的
3、基础解系含有一个线性无关的解向量6 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P1-1AP1，P 2-1BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P-1(A+B)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B7 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（A）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 Ax=0 与 BX=0 同解（D）r(A)=r(B)二、填空题8 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二
4、行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a=_9 设 A 为三阶矩阵，且A=4，则 =_10 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+A=3E，则(A-3E) -1=_11 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T，则2 由 1， 3， 4 表示的表达式为 _12 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵，且 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 证明：15 设 A，B 满
5、足 A*BA=2BA-8E，且 A= ，求 B16 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2-2A-8E=O 证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n17 n 维列向量组 1， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明：1， ， 1， 线性无关18 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关， 3=31+22，A=( 1， 2， 3)，求 Ax=0 的一个基础解系19 就 a，b 的不同取值，讨论方程组 解的情况20 设 A= ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化21 设 = ，A= T，求6E-A n21 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2-3A=O，设(1，1，-
6、1) T 为 A的非零特征值对应的特征向量22 求 A 的特征值；23 求矩阵 A24 设 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 24 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a-1)x12+(a-1)x2x2+2x3x2+2x1x2(a0)的秩为 225 求 a；26 用正交变换法化二次型为标准形27 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3考研数学二（线性代数）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，
7、则A0，B0，又AB= A B，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵，因为 所以，选(D)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s 与向量组 1， 2， s， 1， 2， s 等价，选(D)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则 r( )=m，于是 r(A)=r( )，即方程组 Ax=b 一定有解，选 (D)【知识模块】 线性代数部
8、分5 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=-1， 2=0， 3=1 得A =0 ，则 r(A)1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 Ax=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D) 是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数部分7 【正确答
9、案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)【知识模块】 线性代数部分二、填空题8 【正确答案】 1【试题解析】 由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0 得 a=1【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 12【试题解析】 由 A=AA -1=4A-1 得 =(2A -1)-1=【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 (A+4E)【试题解析】 由 A2+A=3E，得 A2+A-3E=0，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E) (A+4E)=E，则(A-3E) -1= (A+4E)【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 2=-1-22+34
10、【试题解析】 因为(1，1，2，-3) T 为 AX=0 的解， 所以 1+2+23-34=0，故 2=-1-22+34【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 (其中 k 为任意常数)【试题解析】 k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 ，又因为 r(A)=n-1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+3-6a=0， a=3【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
11、步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 由 A*BA=2BA-8E 得 AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A ，整理得(A+E)B=4E ，所以【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 由 A2-2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得 r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E-A)+r(2E+A)=n【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 令 k0+k11+kn-1n-1=0，由 1， n1 与非零向量 正交及(， k0
12、+k11+kn-1n-1)=0 得 k0(，)=0，因为 为非零向量，所以(，)= 20，于是 k0=0，故 k11+kn-1n-1=0，由 1， n-1 线性无关得k1=kn-1=0，于是 1， n-1， 线性无关【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 由，r(A)=2 可知 Ax=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 31+22-3=0，因此 = 为 Ax=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 x1=1- ，x 3=0；(2)当 a=0 时，因为 r(A)r( )，所以方程组无解；(3)当a=b0 时
13、， 方程组有无穷多个解，通解为 X= (k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 由E-A= =(-2)3=0 得 =2(三重)，因为 r(2E-A)=1，所以 =2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 A= T，由 E-A= 2(-2)=0 得 1=2=0， 3=2， 因为 6E-An 的特征值为 6，6，6-2 n，所以6E-A n=6 2(6-2n)【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 A 2-3A=O A3E-A=0 =0，3，因为 r(A)=1，所以1=3， 2=3=0【知
14、识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 设特征值 0 对应的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则 x1+x2-x3=0，则 0对应的特征向量为 2=(-1，1，0) T， 3=(1，0，1) T，令【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由因为A =-1，所以a=2，于是 a=2，b=-3，c=2，= =1【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 A= ，因为二次型的秩为 2，所以 r(A)=2，从而a=2【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 A= ，由E-A =0 得 1=2=2， 3=0当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 当 =0 时，由(0E-A)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 3= 因为 1， 2 两两正交，单位化得 ，则 f=XTAXYT(QTAQ)Y=2y12+2y2x2【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 则f(x1，x 2，x 3) 2y1x2-2y2x2+8y1x3+4y2x3=2(y1+2y3)2-2(y2-y3)2-6y32，f(x1，x 2，x 3)=XTAXZT(PTAP)Z=2z12-2z22-6z32【知识模块】 线性代数部分
