1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1=一 1，1，a，4 T， 2=一 2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（A）a5（B） a一 4（C） a一 3（D）a一 3 且 a一 42 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E 一 A=E 一 B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE 一 A 与 tE
2、 一 B 相似3 设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量4 已知三阶矩阵 A 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，12（C） 2，4，6（D）8，16，245 已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）
3、一重、二重、三重特征值都可能6 已知 1， 2 是方程(E 一 A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1 一 2（D） 1+27 设 则下列向量中是 A 的特征向量的是 ( )（A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，一 2，1 T（C） 3=2，1，2 T（D） 4=2，1，一 2T8 A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则 ( )（A）A，B 的特征矩阵相同（B） A，B 的特征方程相同（C） A，B 相似于同一个对角阵（D）存在 n 阶方阵 Q，使得 QTAQ=B9 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( )1
4、0 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( )二、填空题11 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是_12 设 A 是三阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E=0 ，则A+4E=_13 设 A 是三阶矩阵，A=3，且满足A 2+2A=0 ，2A 2+A=0，则 A*的特征值是_14 设 A 是 n 阶实对称阵， 1， 2， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 一 111T 的特征值是_15 设三阶矩阵 A= ，已知 A 和 线性相关，则a=_16 矩阵 A= 的非零特征值是_ 三、解答题解答应写出
5、文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A 一 3E的值18 设矩阵 (1)已知 A 的一个特征值为 3，试求 Y； (2)求矩阵P，使(AP) T(AP)为对角矩阵19 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1， 2， 3，令 =1+2+3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)若 A3=A，求秩 r(A 一 E)及行列式A+2E20 设 A= ，求实对称矩阵 B，使 A=B221 设三阶实对称阵 A 的特征值为 1，2，3，A 的属于特征值 1，2
6、的特征向量分别是 1=1，一 1，1 T， 2=1，一 2，一 1T，求 A22 证明：AB，其中 并求可逆阵 P，使得 P 一 1AP=B23 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2=A，且 r(A)=r(0rn)，证明： 其中 E是 r 阶单位阵24 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA，证明：B 相似于对角阵25 设 =a1，a 2，a nT0，A= T，求可逆阵 P，使 P 一 1AP=A26 设 A=E+T，其中 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2) 求可逆矩阵 P，使得
7、P 一 1AP=A27 设向量 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT 都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T，求： (1)A 2； (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角阵，说明理由28 设 a0，a 1，a n 一 1 是 n 个实数，方阵(1)若 是 A 的特征值，证明：=1， 2， n 一 1T 是 A 的对应于特征值 的特征向量； (2)若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n，求可逆阵 P，使 P 一 1AP=A29 设实对称矩阵 A= ，求可逆矩阵 P，使 P 一 1AP 为对角矩阵，并计算行列式A 一 E的值30 设 问 A
8、，B 是否相似，为什么?考研数学二（线性代数）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知 a5故应选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B，则 tE 一 B=tE 一PP 一 1AP=P 一 1(rE)PP 一 1AP=P 一 1(tE 一 A)P，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选(D)对于(A)：E 一 A=E 一 BA=B ；对于(B)：A 与 B 相似，则
9、 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A) 错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A*的特征向量这是由于 A=A *Aa=A*A *= 一 1I A但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n 一 1 时，A *=O，此时，任意 n维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，
10、则 为 A2 的特征向量这是由于 A 2=A(A)=A=2 但反之，若 为 A2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A1=1，A 2=一 2，其中 1， 20此时有 A2(1+2)=A21+A22=1+2，可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1+2 不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 A= ，因此 为 A 的特征向量可知(D) 是正确的故选 (D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 2A *的特征值是 ，其中A= 123， i 是 A 的特征值
11、，分别为 1，2，3，故 2A*的特征值为 4，6，12【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(OE 一 A)=1 (OE 一 A)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A= ，r(A)=1，=0 是三重特征值【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1 一 20，且仍有关系 A(1 一 2)=1 一 2=(1 一 2)，故 1 一 2 是 A 的特征向量 而(A) 1，(B) 2，(D) 1+2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量【知识模块】 线性代数7 【正确答案】
12、 B【试题解析】 因 A2= ，故 2 是 A 的对应于=一 2 的特征向量 其余的 1， 3， 4 均不与 A1，A 3，A 4 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 AB，存在可逆阵，使得 P 一 1AP=B， E 一 B=E 一 P 一1AP=P 一 1(E 一 A)P= P 一 1E 一 A P= E 一 A【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=2=1，有二个线性无关特征向量对(C)而言，因可有两个线性无关特征向量，故(C)可相似
13、于对角阵，而 r(E 一 A)=r(E 一 B)=r(E 一 D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 因(D) 是对称阵，必相似于对角阵，(C) 有三个不同的特征值，能相似于对角阵(A) ，(B)的特征值均为 =1(二重)，=2(单根)，当 =1 时，r(E 一 A)= =2，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵 而 =1 时， r(E 一 B)= =1，有两个线性无关特征向量，故 B能相似于对角阵，故选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 0(n 一 1 重根)，n(单根)【试题
14、解析】 因 故 =0(n 一 1 重特征值)，=n(单根)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 6【试题解析】 由A+E=A+2E =A+3E=0 ，知 A 有特征值 =一 1，一2，一 3，则 A+4E 有特征值 =3，2，1，故A+4E=6 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1=一 ， 2=一 6， 3=1【试题解析】 AA+2E=0，因A=3 ，则A+2E =0，故 A 有特征值 1=2 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称阵， 1， 2， n 互不相同，对应的特征向量1， 2， n 相互正交，故 B i=(A111T)
15、i= 故 B 有特征值为 0， 2， 3， n【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 1【试题解析】 A= ，得 =1，a= 一 1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2=4【试题解析】 因得 =4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 若 为 A 的特征值，则 一 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一3E 的特征值为一 1，1，3，2n 一 3，故A 一 3E=(一 1)13(2n一 3)=一(2n 3)!【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)A 一 E=( 一 1)(+1)2 一 (2+y)+(2y 一 1)=
16、0 y=2 (2)A 为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化 由(1)得 A 的特征值 1=一 1， 2,3=1， 4=3，故 A2 的特征值 1,2,3=1， 4=9且【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)设 k 1+k2A+k3A2=0， 由题设 Ai=ii(i=1，2，3)，于是A=A1+A2+A3=11+22+23， A 2=121+222+223，代入 式整理得 (k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0 因为 1， 2， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于
17、是有【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 E 一 A= =( 一 9)2=0 1=0， 2=3=9。 1=0(0EA)X=0 1=1，2，2 T； 2=3=9(9E A)X=0 2=2，一 2，1 T， 3=2，1，一 2T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 =3 对应的特征向量应与 1， 2 正交，设考 3=x1，x 2，x 3，则应有【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于 1=1 时，( 1E 一 A)X=0，有特征向量1=1，0，0 T； 2=2 时，( 2E 一 A)X=0
18、，有特征向量 2=0，1，0 T； n=n 时，( nE 一 A)X=0，有特征向量 n=0，0，1 T故有 A n=nn，A n一 1=(n 一 1)n 一 1，A 1=1，即有 P 一 1AP=B【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 2=A，A 的特征值的取值为 1，0，由 A 一 A2=A(E 一 A)=O 知 r(A)+r(EA)n， r(A)+r(EA)r(A+E 一 A)=r(E)=n，故 r(A)+r(E 一 A)=n，r(A)=r，从而 r(E 一 A)=n 一 r对 =1，(E A)X=0，因 r(E 一 A)=nr，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1， 2， s
19、；对 =0，(0E 一 A)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n 一 r 个线性无关特征向量，设为 r+1， r+2， n故存在可逆阵 P=1， 2， n，使得 P 一 1AP=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P 一1AP=diag(1， 2， s)=A1，其中 i，i=1，2，n 是 A 的特征值，且ij(ij) 又 AB=BA，故 P 一 1APP=P 一 1BPP 一 1AP，即 设 P 一 1BP=(cij)nn，则【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值 利用特征值的定义 设 A 的
20、任一特征值为，对应于 的特征向量为 ，则 A= T= 若 T=0，则 =0，0，故=0； 若 T0，式两端左乘 T，则 TT=(T)T=(T)因 T0，故=T= 。(2)再求 A 的对应于 的特征向量当 =0 时即解方程 a1x1+a2x2+anxn=0，得特征向量为 (设 a10) 1=a2，一 a1，0，0 T， 2=a3， 0，一 a1，0 T， n 一 1=an，0，0，一 a1T由观察知n=1， 2， nT(3)由 1， 2， s，得可逆阵 P【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)设 (E+ T)= 左乘 T， T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T，若 T0，则 =
21、1+T=3；若 T=0，则由 式，=1=1 时，(E 一 A)X=一 TX=一 b1，b 2，b nX=0即b 1，b 2，b nX=0，因T=2，故 0，0，设 b10，则 1=b2，一 b1，0，0 T， 2=b3，0，一b1，0 T， ， n 一 1=bn，0，0，一 b1T； =3 时， (3E 一 A)X=(2E 一 )X=0， n=a1，a 2，a n (2)取【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)由 A=T 和 T=0，有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=0， 即 A 是幂零阵 (A2=O) (2)利用(1)A 2=O 的结果设 A 的任一特征
22、值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A，得 A 2=A=2 因 A2=O，所以 2=0，0 ，故 =0 即矩阵 A 的全部特征值为 0 (3)A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A=TO，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?) 从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n 一 rn 个，故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1) 是 A 的特征值，则 应满足 E 一 A=0，即将第 2 列乘 ，第 3 列乘，第 n 列乘 n 一 1 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得得证 =1， 2， n 一 1T 是 A 的对应于 的
23、特征向量 (2)因 1， 2， n互异，故特征向量 1， 2， n 线性无关，取可逆阵 P=1， 2， n，得其中 i=1， 2， ， n 一 1T，i=1，n【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式E 一 A = =( 一 a一 1)2(a+2)=0，得 1=2=a+1， 3=a 一 2 当 1=2=a+1 时，对应两个线性无关特征向量 1=1，1，0 T， 2=1，0，1 T； 当 3=a 一 2 时，对应的特征向量 3=一1，1，1 T【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于故 A 和 B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角阵，故 AB 【知识模块】 线性代数
