[考研类试卷]考研数学二(线性代数)模拟试卷30及答案与解析.doc

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1、考研数学二(线性代数)模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 已知 1=一 1,1,a,4 T, 2=一 2,1,5,a T, 3=a,2,10,1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量,则 a 的取值为 ( )(A)a5(B) a一 4(C) a一 3(D)a一 3 且 a一 42 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 与 B 相似,E 为 n 阶单位矩阵,则 ( )(A)E 一 A=E 一 B(B) A 与 B 有相同的特征值和特征向量(C) A 与 B 都相似于一个对角矩阵(D)对任意常数 t,tE 一 A 与 tE

2、 一 B 相似3 设 A 为 n 阶矩阵,下列命题正确的是 ( )(A)若 为 AT 的特征向量,那么 为 A 的特征向量(B)若 为 A*的特征向量,那么 为 A 的特征向量(C)若 为 A2 的特征向量,那么 为 A 的特征向量(D)若 为 2A 的特征向量,那么 为 A 的特征向量4 已知三阶矩阵 A 有特征值 1=1, 2=2, 3=3,则 2A*的特征值是 ( )(A)1,2,3(B) 4,6,12(C) 2,4,6(D)8,16,245 已知 A 是三阶矩阵,r(A)=1,则 =0 ( )(A)必是 A 的二重特征值(B)至少是 A 的二重特征值(C)至多是 A 的二重特征值(D)

3、一重、二重、三重特征值都可能6 已知 1, 2 是方程(E 一 A)X=0 的两个不同的解向量,则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )(A) 1(B) 2(C) 1 一 2(D) 1+27 设 则下列向量中是 A 的特征向量的是 ( )(A) 1=1,2,1 T(B) 2=1,一 2,1 T(C) 3=2,1,2 T(D) 4=2,1,一 2T8 A,B 是 n 阶矩阵,且 AB,则 ( )(A)A,B 的特征矩阵相同(B) A,B 的特征方程相同(C) A,B 相似于同一个对角阵(D)存在 n 阶方阵 Q,使得 QTAQ=B9 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( )1

4、0 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( )二、填空题11 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1,则 A 的 n 个特征值是_12 设 A 是三阶矩阵,已知A+E=0,A+2E=0,A+3E=0 ,则A+4E=_13 设 A 是三阶矩阵,A=3,且满足A 2+2A=0 ,2A 2+A=0,则 A*的特征值是_14 设 A 是 n 阶实对称阵, 1, 2, n 是 A 的 n 个互不相同的特征值, 1 是 A的对应于 1 的一个单位特征向量,则矩阵 B=A 一 111T 的特征值是_15 设三阶矩阵 A= ,已知 A 和 线性相关,则a=_16 矩阵 A= 的非零特征值是_ 三、解答题解答应写出

5、文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 A 是 n 阶方阵,2,4,2n 是 A 的 n 个特征值,E 是 n 阶单位阵计算行列式A 一 3E的值18 设矩阵 (1)已知 A 的一个特征值为 3,试求 Y; (2)求矩阵P,使(AP) T(AP)为对角矩阵19 设 A 为 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是 A 的三个不同特征值,对应的特征向量为1, 2, 3,令 =1+2+3 (1)证明:,A,A 2 线性无关; (2)若 A3=A,求秩 r(A 一 E)及行列式A+2E20 设 A= ,求实对称矩阵 B,使 A=B221 设三阶实对称阵 A 的特征值为 1,2,3,A 的属于特征值 1,2

6、的特征向量分别是 1=1,一 1,1 T, 2=1,一 2,一 1T,求 A22 证明:AB,其中 并求可逆阵 P,使得 P 一 1AP=B23 设 A 是 n 阶矩阵,满足 A2=A,且 r(A)=r(0rn),证明: 其中 E是 r 阶单位阵24 设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 有 n 个互不相同的特征值,且 AB=BA,证明:B 相似于对角阵25 设 =a1,a 2,a nT0,A= T,求可逆阵 P,使 P 一 1AP=A26 设 A=E+T,其中 =a1,a 2,a nT0,=b 1,b 2,b nT0,且 T=2 (1)求 A 的特征值和特征向量; (2) 求可逆矩阵 P,使得

7、P 一 1AP=A27 设向量 =a1,a 2,a nT,=b 1,b 2,b nT 都是非零向量,且满足条件T=0,记 n 阶矩阵 A=T,求: (1)A 2; (2)A 的特征值和特征向量; (3)A 能否相似于对角阵,说明理由28 设 a0,a 1,a n 一 1 是 n 个实数,方阵(1)若 是 A 的特征值,证明:=1, 2, n 一 1T 是 A 的对应于特征值 的特征向量; (2)若 A 有 n 个互异的特征值 1, 2, n,求可逆阵 P,使 P 一 1AP=A29 设实对称矩阵 A= ,求可逆矩阵 P,使 P 一 1AP 为对角矩阵,并计算行列式A 一 E的值30 设 问 A

8、,B 是否相似,为什么?考研数学二(线性代数)模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 1, 2, 3 是三个不同特征值的特征向量,必线性无关,由知 a5故应选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似,存在可逆矩阵 P,使得 P 一 1AP=B,则 tE 一 B=tE 一PP 一 1AP=P 一 1(rE)PP 一 1AP=P 一 1(tE 一 A)P,即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似,选(D)对于(A):E 一 A=E 一 BA=B ;对于(B):A 与 B 相似,则

9、 A 与 B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同;对于(C):A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 AT 与 A 的特征值相同,但特征向量不一定相同,故(A) 错误 假设 为 A 的特征向量, 为其特征值,当 0 时 也为 A*的特征向量这是由于 A=A *Aa=A*A *= 一 1I A但反之, 为 A*的特征向量,那么 不一定为 A 的特征向量例如:当 r(A)n 一 1 时,A *=O,此时,任意 n维非零列向量都是 A*的特征向量,故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 假设 为 A 的特征向量, 为其特征值,

10、则 为 A2 的特征向量这是由于 A 2=A(A)=A=2 但反之,若 为 A2 的特征向量, 不一定为 A 的特征向量例如:假设 A1=1,A 2=一 2,其中 1, 20此时有 A2(1+2)=A21+A22=1+2,可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1, 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量,它们的和 1+2 不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A的特征向量,则存在实数 使得 2A=,此时有 A= ,因此 为 A 的特征向量可知(D) 是正确的故选 (D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 2A *的特征值是 ,其中A= 123, i 是 A 的特征值

11、,分别为 1,2,3,故 2A*的特征值为 4,6,12【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵,r(A)=1,r(OE 一 A)=1 (OE 一 A)X=0 有两个线性无关特征向量,故 =0 至少是二重特征值,也可能是三重,例如:A= ,r(A)=1,=0 是三重特征值【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因 12,故 1 一 20,且仍有关系 A(1 一 2)=1 一 2=(1 一 2),故 1 一 2 是 A 的特征向量 而(A) 1,(B) 2,(D) 1+2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量【知识模块】 线性代数7 【正确答案】

12、 B【试题解析】 因 A2= ,故 2 是 A 的对应于=一 2 的特征向量 其余的 1, 3, 4 均不与 A1,A 3,A 4 对应成比例,故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 AB,存在可逆阵,使得 P 一 1AP=B, E 一 B=E 一 P 一1AP=P 一 1(E 一 A)P= P 一 1E 一 A P= E 一 A【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵,特征值均为 1,1,2,能相似于对角阵的矩阵,要求对应二重特征值 1=2=1,有二个线性无关特征向量对(C)而言,因可有两个线性无关特征向量,故(C)可相似

13、于对角阵,而 r(E 一 A)=r(E 一 B)=r(E 一 D)=2,都只有一个线性无关特征向量,故均不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 因(D) 是对称阵,必相似于对角阵,(C) 有三个不同的特征值,能相似于对角阵(A) ,(B)的特征值均为 =1(二重),=2(单根),当 =1 时,r(E 一 A)= =2,只对应一个线性无关的特征向量,故 A 不能相似于对角阵 而 =1 时, r(E 一 B)= =1,有两个线性无关特征向量,故 B能相似于对角阵,故选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 0(n 一 1 重根),n(单根)【试题

14、解析】 因 故 =0(n 一 1 重特征值),=n(单根)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 6【试题解析】 由A+E=A+2E =A+3E=0 ,知 A 有特征值 =一 1,一2,一 3,则 A+4E 有特征值 =3,2,1,故A+4E=6 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1=一 , 2=一 6, 3=1【试题解析】 AA+2E=0,因A=3 ,则A+2E =0,故 A 有特征值 1=2 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0, 2, 3, n【试题解析】 因 A 是实对称阵, 1, 2, n 互不相同,对应的特征向量1, 2, n 相互正交,故 B i=(A111T)

15、i= 故 B 有特征值为 0, 2, 3, n【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 1【试题解析】 A= ,得 =1,a= 一 1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2=4【试题解析】 因得 =4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 若 为 A 的特征值,则 一 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一3E 的特征值为一 1,1,3,2n 一 3,故A 一 3E=(一 1)13(2n一 3)=一(2n 3)!【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)A 一 E=( 一 1)(+1)2 一 (2+y)+(2y 一 1)=

16、0 y=2 (2)A 为对称矩阵,要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵,即将实对称矩阵 A2 对角化 由(1)得 A 的特征值 1=一 1, 2,3=1, 4=3,故 A2 的特征值 1,2,3=1, 4=9且【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)设 k 1+k2A+k3A2=0, 由题设 Ai=ii(i=1,2,3),于是A=A1+A2+A3=11+22+23, A 2=121+222+223,代入 式整理得 (k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0 因为 1, 2, 3 是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于

17、是有【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 E 一 A= =( 一 9)2=0 1=0, 2=3=9。 1=0(0EA)X=0 1=1,2,2 T; 2=3=9(9E A)X=0 2=2,一 2,1 T, 3=2,1,一 2T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 =3 对应的特征向量应与 1, 2 正交,设考 3=x1,x 2,x 3,则应有【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 A 知,A 的全部特征值是 1,2,n,互不相同,故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于 1=1 时,( 1E 一 A)X=0,有特征向量1=1,0,0 T; 2=2 时,( 2E 一 A)X=0

18、,有特征向量 2=0,1,0 T; n=n 时,( nE 一 A)X=0,有特征向量 n=0,0,1 T故有 A n=nn,A n一 1=(n 一 1)n 一 1,A 1=1,即有 P 一 1AP=B【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 2=A,A 的特征值的取值为 1,0,由 A 一 A2=A(E 一 A)=O 知 r(A)+r(EA)n, r(A)+r(EA)r(A+E 一 A)=r(E)=n,故 r(A)+r(E 一 A)=n,r(A)=r,从而 r(E 一 A)=n 一 r对 =1,(E A)X=0,因 r(E 一 A)=nr,故有 r 个线性无关特征向量,设为 1, 2, s

19、;对 =0,(0E 一 A)X=0,即 AX=0,因 r(A)=r,有 n 一 r 个线性无关特征向量,设为 r+1, r+2, n故存在可逆阵 P=1, 2, n,使得 P 一 1AP=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值,故存在可逆阵 P,使得 P 一1AP=diag(1, 2, s)=A1,其中 i,i=1,2,n 是 A 的特征值,且ij(ij) 又 AB=BA,故 P 一 1APP=P 一 1BPP 一 1AP,即 设 P 一 1BP=(cij)nn,则【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值 利用特征值的定义 设 A 的

20、任一特征值为,对应于 的特征向量为 ,则 A= T= 若 T=0,则 =0,0,故=0; 若 T0,式两端左乘 T,则 TT=(T)T=(T)因 T0,故=T= 。(2)再求 A 的对应于 的特征向量当 =0 时即解方程 a1x1+a2x2+anxn=0,得特征向量为 (设 a10) 1=a2,一 a1,0,0 T, 2=a3, 0,一 a1,0 T, n 一 1=an,0,0,一 a1T由观察知n=1, 2, nT(3)由 1, 2, s,得可逆阵 P【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)设 (E+ T)= 左乘 T, T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T,若 T0,则 =

21、1+T=3;若 T=0,则由 式,=1=1 时,(E 一 A)X=一 TX=一 b1,b 2,b nX=0即b 1,b 2,b nX=0,因T=2,故 0,0,设 b10,则 1=b2,一 b1,0,0 T, 2=b3,0,一b1,0 T, , n 一 1=bn,0,0,一 b1T; =3 时, (3E 一 A)X=(2E 一 )X=0, n=a1,a 2,a n (2)取【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)由 A=T 和 T=0,有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=0, 即 A 是幂零阵 (A2=O) (2)利用(1)A 2=O 的结果设 A 的任一特征

22、值为 ,对应于 的特征向量为 ,则 A= 两边左乘 A,得 A 2=A=2 因 A2=O,所以 2=0,0 ,故 =0 即矩阵 A 的全部特征值为 0 (3)A 不能相似于对角阵,因 0,0,故 A=TO,r(A)=r0(其实 r(A)=1,为什么?) 从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n 一 rn 个,故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1) 是 A 的特征值,则 应满足 E 一 A=0,即将第 2 列乘 ,第 3 列乘,第 n 列乘 n 一 1 加到第 1 列,再按第 1 列展开,得得证 =1, 2, n 一 1T 是 A 的对应于 的

23、特征向量 (2)因 1, 2, n互异,故特征向量 1, 2, n 线性无关,取可逆阵 P=1, 2, n,得其中 i=1, 2, , n 一 1T,i=1,n【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式E 一 A = =( 一 a一 1)2(a+2)=0,得 1=2=a+1, 3=a 一 2 当 1=2=a+1 时,对应两个线性无关特征向量 1=1,1,0 T, 2=1,0,1 T; 当 3=a 一 2 时,对应的特征向量 3=一1,1,1 T【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 A,B 均是实对称阵,均可相似于对角阵,由于故 A 和 B 有相同的特征方程,相同的特征值,它们均相似于同一个对角阵,故 AB 【知识模块】 线性代数

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