1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（A）0（B） a2（C） a2（D）na 22 行列式A非零的充分条件是( )（A）A 中所有元素非零（B） A 中至少有 n 个元素非零（C） A 的任意两行元素之间不成比例（D）以A为系数行列式的线性方程组有唯一解3 假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量线性无关（C）任意 r 个行向量都构成极大线性无
2、关向量组（D）任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示4 设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（A）AB（B） AB （C）若 A0，则一定有B0（D）若A0，则一定有B05 设向量组() ： 1， 2， ， r 可由向量组()： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）若 1， 2， r 线性无关，则 rs（B）若 1， 2， r 线性相关，则 rs（C）若 1， 2， s 线性无关，则 rs（D）若 1， 2， s 线性相关，则 rs6 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 ABE ，则( )（A）B
3、 的行向量组线性无关（B） B 的列向量组线性无关（C） A-1B（D）ABAB7 非齐次线性方程组 AXb 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则 ( )（A）rm 时，方程组 AXb 有解（B） rn 时，方程组 AXb 有唯一解（C） mn 时，方程组 AXb 有唯一解（D）rn 时，方程组 AXb 有无穷多解8 设 A 为 mn 矩阵且 r(A)n(nm)，则下列结论中正确的是( )（A）若 ABAC，则 AC（B）若 BA CA，则 B C（C） A 的任意 n 个行向量线性无关（D）A 的任意 n 个行向量线性相关二、填空题9 设 n 阶矩阵 A ，则A_
4、10 _11 设 A，B 均为 n 阶方阵A2，B3，则A -1B*A *B-1_12 设三阶方阵 AA 1，A 2，A 3，其中 Ai(i1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A2，则行列式A 12A 2，2A 23A 3，3A 32A 1_13 设 A 是三阶方阵，且AEA2E 2A3E0，则2A *3E_14 设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B-1A_15 设 A 为 43 矩阵，且 r(A)2，而 B ，则 r(AB)_16 向量组 10 ，4，2 k， 22，3k，1， 31k，2，3线性相关，则实数 k_17 设三阶
5、矩阵 A ，三维列向量 (a，1，1) T已知 A 与 线性相关，则 a_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A ，求：(1)2A 11A 12A 13； (2)A114A 21A 312A 4119 设 A 为三阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，A13，求4A (3A *)-120 A 是三阶矩阵，三维列向量组 1， 2， 3 线性无关，满足A1 2 3，A 2 1 3，A 3 1 2，求A21 其中 A可逆，求 B-122 设 A，B 为三阶矩阵，满足 ABEA 2B，E 为三阶单位矩阵，又知 A求矩阵 B23 已知 ，APPB，求 A 与 A524 设矩阵 满足
6、 A-1(EBB TA-1)-1C-1E，求 C25 解方程26 设向量组() ： 1， 2， 3；()： 1， 2， 4 的秩分别为()2，秩()3证明向量组 1， 2， 3 4 的秩等于 327 已知线性方程组 问 k1 和 k2 各取何值时，方程组无解?有唯一解 ?有无穷多组解 ?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解28 设向量组 试问：当a，b，c 满足什么条件时 (1) 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一； (2) 不能由1， 2， 3 线性表出； (3) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一，并求出一般表达式29 设线性方程组(1)求线性方程组() 的通解； (2)
7、m，n 取何值时，方程组()与()有公共非零解； (3)m，n取何值时，方程组() 与( ) 同解考研数学二（线性代数）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设第一列元素及余子式都是 a，则 Da 11A11a 21A21a 2n,A2n,1a 2a 2a 20，应选 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A0 的充要条件是 r(A)n ，r(A)n 的充要条件是 AXb 有唯一解，应选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相
8、等，所以由 r(A)r 得 A 一定有 r 个行向量线性无关，应选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若A 0，即 r(A)n，则r(B)n，即B0，应选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 因为() 可由() ，所以()的秩( )的秩， 所以若 a1，a 2，a r线性无关，即() 的秩r，则 r()的秩s，应选 A【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 ABE 得 r(AB)n，从而 r(A)n，r(B)n，又 r(A)n，r(B)n ，所以 r(A)n，r(B)n，故 B 的列向量组线性无关
9、，应选 B【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 t(A)r(A)，当 rm 时，r(A)r(A)m；又 r(A)m，所以 r(A)r(A)m，故 AXb 有解，应选 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由 BACA 得(BC)AO，则 r(A)r(BC)n，由 r(A)n 得 r(BC)0，故 BC，应选 B【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 (n1)(1) n-1【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0【试题解析】 (a)A 12bA 13aM 12bM 13 abcabc0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试
10、题解析】 A *AA -12A -1，B *BB -13B -1，则 A -1B*A *B-13A -1B-12A -1B-1(5) NA -1.B -1 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 12【试题解析】 由(A 12A 2，2A 23A 3，3A 32A 1) (A 1，A 2，A 3)得A 12A 2，2A 23A 3，3A 32A 1 A 1，A 2，A 3.12【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 126【试题解析】 由AEA2E2A 3E0 得 E A0，2E A0， EA0， 矩阵 A 的特征值为11， 22， 3 ， A3，A *的特征值为2A*3E 的特征值为 3
11、，6，7，故2A *3E126【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 由 B AE 3(3)E13 得 B -1AE 13-1E3-1(3)A-1A E13E3( )【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 因为B 120，所以 B 可逆， 于是 r(AB)r(A)2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 6【试题解析】 由 0 得 k6【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 与 线性相关，所以 A 与 成比例， 令 Ak，即， 从而 ，解得 a1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答
12、案】 2A 11A 12A 132A 11A 12A 130A 14 0；【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 A*AA -1 A-1 得 4A (3A *)-14AA3A27A9【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 B( 1， 2， 3)，由 A1 2 3，A 2 1 3，A 3 1 2得 AB ，两边取行列式得 A.BB . 2B， 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 B 可逆，故A2【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由初等变换的性质得 BAP 1P2，则 B-1P 2-1P1-1A-1P 2P1A-1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 ABEA 2B
13、得 (AE)BA 2E， A E ，因为AE 0，所以 AE 可逆， 从而 BAE 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 APPB 得 APBP -1，【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A-1(EBB TA-1)-1C-1E 得 C(EBB TA-1)AE，即 C(ABB T)E，解得 C(ABB T)-1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 X(X 1，X 2)，【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由向量组()的秩为 3 得 1， 2， 4 线性无关，从而 1， 2 线性无关， 由向量组() 的秩为 2 得 1， 2， 3 线性相关， 从而 3 可由 1，
14、2 线性表示，令 3k 11k 22 ( 1， 2， 3 4)( 1， 2，k 11k 22 4) ( 1， 2， 4)由 10 得矩阵 可逆， 故r(1， 2， 3 4)r( 1， 2， 4)3【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)当 k12 时，方程组有唯一解； (2)当 k12 时，情形一：k21 时，方程组无解； 情形二：k 21 时，方程组有无数个解，原方程组通解为 X(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (a4) (1)当 a4 时， 可由 1， 2， 3唯一线性表示 当 a 4 时，(2)当 c3b1 0 时， 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示方法不唯一，则 ( )1 k2(2b1) 3(其中 k 为任意常数) (3)当 c3b10 时， 不可由1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 当 m2 或 n3 时，两个方程组有公共的非零解 (3)当 m2，n3 时，两个方程组同解【知识模块】 线性代数
