1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3 是 AX0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )（A） 1， 2， 3 的一个等价向量组（B） 1， 2， 3 的一个等秩向量组（C） 1， 1 2， 1 2 3（D） 1 2， 2 3， 3 12 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一部分向
2、量线性无关3 设矩阵 Amn，r(A)mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )（A）A 通过初等行变换必可化为E m，O的形式（B） A 的任意 m 阶子式不等于零（C） A 的任意 m 个列向量必线性无关（D）非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多解4 设 A ，若齐次方程组 AX0 的任一非零解均可用 线性表示，则 a ( )（A）3（B） 5（C） 3 或5（D）5 或35 设 都是线性方程组 AX0 的解向量，只要系数矩阵 A为( )（A）（B）（C）（D）6 设 A ，则( )不是 A 的特征向量（A）(1，1，1) T（B） (1，2，0) T（C） (0，1，1
3、) T（D）(2 ，4，1) T7 下列矩阵中，不能相似对角化的是( )（A）（B）（C）（D）8 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） A 与 B 有相同的秩（C） A 与 B 有相同的特征向量（D）A 与 B 有相同的行列式9 设 ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似二、填空题10 设向量组 线性无关，则 a，b，c 必满足关系式_11 若线性方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足条件_12 若矩阵 A ，B 是三阶非零矩阵，满足 ABO ，则t
4、_13 设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式2A 48，则 _14 矩阵 的非零特征值是 a3_15 已知 A 有三个线性无关的特征向量，则 a_16 若 与 相似，则 _，y_17 已知矩阵 A 只有两个线性无关的特征向量，则 A 的三个特征值是_，a _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设四元齐次线性方程组()为 且已知另一个四元齐次线性方程组() 的一个基础解系为 1(2 ，1，a 2，1)T， 2(1，2，4，a8) T (1)求方程组()的一个基础解系； (2)当 a 为何值时，方程组() 与方程组 ()有非零公共解 ?19 已知 0 是 A 的特征值，
5、求 a 和 A 的其他特征值及线性无关的特征向量20 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，2，3，若 A 与 B 相似，求B *E 21 已知二次型 f2 123 223 322a 23(a0)，通过正交变换化成标准形fy 12 2y225y 32求参数 a 及所用的正交变换矩阵22 设 a 是整数，若矩阵 A 的伴随矩阵 A*的特征值是4，14，14求正交矩阵 Q，使 QTQ 为对角矩阵23 n 阶矩阵 A 满足 A22A3EO，证明 A 能相似对用化24 设 A ，已知 A 有三个线性无关的特征向量且 2 为矩阵 A的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵25 已知 (1
6、)t 取何值时， A 为正定矩阵? 为什么? (2)t 取何值时，A 与 B 等价?为什么? (3)t 取何值时，A 与 C 相似?为什么? (4)t 取何值时，A 与 D 合同?为什么?26 考虑二次型 f 124 224 322 122 134 23，问 取何值时，f 为正定二次型?27 设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A22AO已知 r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，矩阵 AkE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵28 求二次型 f(1， 2， 3)( 1 2)2( 2 3)2( 3 1)2 的秩，正负惯性指数p，q考研数学二（线性代数）模拟试卷
7、41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 选项 B 显然不对，因为与 1， 2， 3 等秩的向量组不一定是方程组的解； 因为 1(1 2) (1 2 3)0，所以 1， 1 2， 1 2 3 线性相关，不选 C； 由( 1 2)( 2 3)( 3 1)0，所以 1 2， 2 3， 3 1 线性相关，不选 D， 故应选 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，则 1， 2， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若 1， 2， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示，
8、则 1， 2， s 线性无关，应选 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 显然 r( )r(A)m， 因为 为 m(n1)矩阵，所以 r( )m， 于是 r( )r(A)m n，故 AXb 一定有无数个解，应选 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX0 的任一非零解都可由 线性表示，所以 AX0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，从而 r(A)2得a52 或 a50，解得 a3 或5，应选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2 线性无关，所以 AX0 的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而 r(A)1，
9、 再由题意得 0，显然选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由 得 不是A 的特征向量，应选 A【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 的特征值为 7，0，0，因为 r(0EA) r(A) 2，所以0 对应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选 C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAPB，从而 r(A)r(B)，应选 B【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A，B 都是实对称矩阵，且特征值相同，所以 A、B 既相似又合同，应选 A【知识
10、模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 abc0【试题解析】 由 2abc0 得 a，b，c 满足的关系式为 abc0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 a 4a 1 a2a 3【试题解析】 则方程组有解应满足的条件为 a4a 1a 2a 30【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 由 ABO 得 r 因为 r(B)1，所以 r(A)2， 又因为矩阵 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)2得 t1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 A6，由2A8A48 得A 6，解得1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 4【试题解析】
11、由XEA 2(4)0 得 A 的特征值为 1 20， 34，非零特征值为 4【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 10【试题解析】 由EA (1)( 2) 20 得 11， 2 32， 因为 A 可对角化，所以 r(2EA)1， 由 2EA 得 a10【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 17；12【试题解析】 设 由 A 与 B 相似得 tr(A)tr(B)，即225，解得 17； 由AB得374 31y2，解得 y12【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2；5【试题解析】 EA (2) 30， 特征值为1 2 32， 因为 1 2 32 只有两个线性无关的特征向量， 所以r(
12、2EA)1， 由 2EA 得 a5【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 (1)A 方程组()的基础解系为 1 (2)()的通解为代日()得因为两个方程组有公共的非零解，所以 l1，l 2 不全为零， 从而 0，解得 a1 或 a0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 0 为 A 的特征值，所以A 0，解得a1 由EA (2) 20 得10， 2 32 10 代入(EA)X 0， 由 0EA 得 10 对应的线性无关的特征向量为 12 3代入(2E A)X 0， 由 2EA得 2 32 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代
13、数20 【正确答案】 因为 AB所以 B 的特征值为 11， 22， 33， B *的特征值为 B*E 的特征值为 7，4，3，故B *E84【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 ， 则 fX TAX A 的特征值为11， 22， 35， 由 A2(9a 2)10 得 a2，A 11 代入(EA)X0， 由 E A 得 11 对应的线性无关的特征向量为 1 22 代入(EA)X0， 由 2EA 得 22 对应的线性无关的特征向量为 2 35 代入(EA)X0， 由 5EA 得 35对应的线性无关的特征向量为 则XTAX y122y 225y 32【知识模块】 线性代数22 【正确答案】
14、 A4(14)( 14)28 2，由A *A 2 得A 28或A28 若6a 4028，则 a ，不合题意，舍去； 若6a 4028 ，则 a2，从而A 的特征值为 2 17 代入(E A)X 0 由7EA 得 17 对应的线性无关的特征向量为 1 ； 2 32 代入(EA)X0， 由 2EA 得 2 对应的线性无关的特征向量为所求的正交矩阵为 且 QTAQ【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 A22A3E0 得(EA)(3E A)0，则 r(EA) r(3EA)n； 由 r(E A)r(3EA)r(4E) n 得 r(EA) r(3EA)n (1)当 r(EA) n时，A3E 为对角
15、阵； (2)当 r(3EA)n 时，为对角矩阵； (3)r(E A)n，r(3EA)n，则 EA0，3EA0， A 的特征值11， 23 1 1 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(EA)nr(EA)； 23 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(3EA) 因为nr(EA) nr(3EA)n，所以 A 可相似对角化【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 1 22 及 1 2 3tr(A)10 得 36 因为矩阵阵 A有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA) 1， 由 2EA 得 a2，b2 1 22 代入(XEA)X0， 由 得 1 22 对应的线性无关的特征向量为 36 代入(E
16、A)X 0， 由 6EA得 36 对应的线性无 关的特征向量为 则 P 可逆，且 P1 AP【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由 得 t0，当 t0 时，因为 A 的顺序主子式都大于零，所以 A 为正定矩阵 (2)由 得 r(B)2， 因为 A 与 B 等价，所以 r(A)r(B) 23，故 t0 (3)C 的特征值为11， 23， 35， 由 EA (1)(3)(t)0 得 A 的特征值为 1 1， 23， 3t，故 t5 (4)由ED0 得 120， 21 0， 31 0， 矩阵 A的特征值为 11， 23， 3t， 因为 A 与 D 合同，所以特征值中正、负个数一致，故 t0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 因为 A 正定，所以 解得21【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)令 AXX， 由 A22AO 的( 22)X0，注意到 X0，则 220， 解得 0 或 2 由 r(A)2 得 10， 2 32 (2)AkE 的特征值为 k，k2，k2，当 k2 时，AkE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 f( 1， 2， 3)2 122 222 322 122 132 23， 二次型的矩阵为 A EEA (3)20 得 10， 2 33 ， 则二次型的秩为 2，正惯性指数为 2，负惯性指数为0【知识模块】 线性代数
