1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，12（C） 2，4，6（D）8，16，242 已知 1， 2 是方程(Eg)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1 一 2（D） 1+23 设 则下列向量中是 A 的特征向量的是 ( )（A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，一 2，1 T（C） 3=2，1，2 T（D） 4=2，
2、1，一 2T4 A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则 ( )（A）A，B 的特征矩阵相同（B） A，B 的特征方程相同（C） A，B 相似于同一个对角矩阵（D）存在 n 阶方阵 Q，使得 QTAQ=B5 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA ； A2 B2； A TB T； A -1B-1 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于 ( ) 7 已知 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于 ( )（A）A+B（B） A-1+B-
3、1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -18 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆且 A-1=B（B）若 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A-B 必不可逆（D）若 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆9 设 A，B 是 n 阶矩阵，AB=O，BO，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） |B|0（C） |B*|=0（D）|A *|=010 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆；若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则
4、 A+B 可逆；A-E 恒可逆正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）411 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）如果|A|0，则|B|0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 则|B|0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B二、填空题12 已知 3 维向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组 1-2， 2 一 k3， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k_13 已知 r(1， 2， s)=r，则 r(1， 1+2， 1+2+ s)=_14 其中 ai0，b i0，i=1，2，n，则 r(A)=_15
5、设 A 是 5 阶方阵，且 A2=O，则 r(A*)=_16 已知一 2 是 的特征值，其中 b 是不等于 0 的任意常数，则 x=_17 设 A 是 3 阶矩阵，|A|=3，且满足|A 2+2A|=0，|2A 2+A|=0，则 A*的特征值是_18 设 3 阶矩阵 3 维列向量 已知 A 和 线性相关，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 B=2AE，证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A19 设20 证明当 n3 时，有 An=An-2+A2 一 E；21 求 A10022 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有|A *|=|(一 A)*|(n2)22 A
6、 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为|A| 中元素 aij 的代数余子式，试证明：23 aij=Aij ATA=E 且|A|=1；24 aij=一 Aij ATA=E 且|A|=一 125 证明：方阵 A 与所有同阶对角矩阵可交换的充分必要条件是 A 为对角矩阵26 证明：r(A+B)r(A)+r(B)27 设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：AB 和 BA 的主对角元素的和相等(方阵主对角元素的和称为方阵的迹，记成 tr(A)，即28 已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 试求其伴随矩阵 A*的逆矩阵29 已知 X=AX+B，其中 求矩阵 X30 已知对于 n 阶方阵 A，存在正整数 k，使
7、得 Ak=O试证明矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位矩阵)31 已知 求 An(n2)32 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0，A=E+ T，试计算：(1)|A| ；(2)A n；(3)A -132 已知 问 取何值时，33 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式唯一；34 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一；35 不能由 1， 2， 3 线性表出考研数学二（线性代数）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 2A*的特征值是
8、 其中|A|=123， i(i=1，2，3)是 A 的特征值，分别为 1，2，3，故 2A*的特征值为4，6，12【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1 一 20，且仍有关系 A(1 一 2)=1 一 1=(1 一 2)，故 1 一 2 是 A 的特征向量 而(A) 1，(B) 2，(D) 1+2 均有可能是零向量而不能成为 A 的特征向量【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因 故 2 是 A的对应于 =一 2 的特征向量 其余的 1， 3， 4 均不与 A1，A 3，A 4 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数4 【
9、正确答案】 B【试题解析】 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1AP=B， |E 一 B|=|E一 P-1AP|=|P-1(E-A)P|=|P-1|E 一 A|P|=|E 一 A|【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B故 P -1A2P=B2，P TAT(PT)-1=BT，P -1A-1P=B-1， 所以 A2B 2，A TB T，A -1B -1又由于A 可逆，可知 A-1(AB)A=BA，所以 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 A2 有一特征值
10、则 有一特征值【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 方法一验算 (A -1+B-1)A(A+B)-1B=(E+B-1A)(A+B)-1B； =B -1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E， 故 (A -1+B-1)-1=A(A+B)-1B 方法二直接计算 (A-1+B-1)-1=B-1(BA-1+E)-1=B-1(B+A)A-1-1 =A(A+B)-1B【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 因 A，B 不可逆，则|A|=0，|B|=0，故|AB|=|A|B|=0，AB 不可逆(A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 则 AB=E，但A，B 均无逆可言；(B
11、)中，取 B=-A，则 A+B=AA=O 不可逆；(C) 中，取均不可逆，但 A-B=E 是可逆矩阵【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 AB=O ，不一定有 BA=O，故(A) 中 (A+B)2=A2B2，不成立；BO，|B| 可以为零，也可以不为零，|B *|也可以为零，可以不为零，故(13) ，(C) 不成立；BO， AB=O，AX=0 有非零解，故|A|=0，从而|A *|=|A|n-1=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，|AE|B|0，故|B|0，因此 B可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时， |A
12、B|=|A|B|0，故|B|0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故|AB|=|A|B|0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的最后，由 AB=A+B 可知 (AE)BA=O，也即(AE)B 一(AE)=E，进一步有(AE)(B 一 E)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的综上，四个命题都是正确的，故选(D)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是矩阵同型且秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B-1B=E，可见(B) 中命题成立 的充要条件也是 r(A)=n，此
13、时也有 r(B)=n，故|B|0 ，可见(C) 中命题也是成立的矩阵 A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当 |A|0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即|B|0，不一定有|B|0故选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 1【试题解析】 由 又因 1， 2， 3 线性无关，故 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1 线性无关的充要条件是 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 r【试题解析】 因向量组 1， 2， s 和向量组 1， 1+2， 1+2+ s 是等价向
14、量组，等价向量组等秩，故 r(1， 1+2， 1+2+ s)=r【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1【试题解析】 因 又 AO，r(A)1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0【试题解析】 因 A 2=AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2， 从而 A *=O，r(A *)=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 一 4【试题解析】 由| 一 A|=|一 2E 一 A|=0，可求得 x=一 4【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2=-6， 3=1【试题解析】 |A|A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故 A 有特征值 1=一 2 又得
15、 因|A|=3= 123，故 3=3 故 A*有特征值 2=一 6， 3=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 一 1【试题解析】 得 =1，a=一 1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 B=2AE，B 2=(2AE)(2AE)=4A2 一 4A+E， 4A 24A+E=E 4A24A=O A2=A【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 用归纳法 因 验证得当 n=3时，A 3=A+A2 一 E，上式成立 假设当 n=k 一 1(n3) 时成立，即 Ak-1=Ak-3+A2-E成立，则 A k=AAk-1=A
16、(Ak-3+A2 一 E)=Ak-2+A3 一 A =Ak-2+(A+A2 一 E)一 A=Ak-2+A2一 E， 即 n=k 时成立故 An=An-2+A2 一 E 对任意 n(n3)成立【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由上述递推关系可得 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A=(aij)nn，|A|的元素 aij 的代数余子式为 Aij，则| A|的元素一aij 的代数余子式为 Bij=(一 1)n-1Aij， 于是(一 A)*=(一 1)n-1(Aij)nn=(一 1)n-1A*，所以 |(一 A)*|=|(一 1)n-1A*|=(一 1)n-1n|A*|=|A*|【
17、知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=AA*=|A|E由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以 而 tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|0在 AAT=|A|E 两边取行列式，得|A| n-2=1，|A|=1 反之，若ATA=E 且|A|=1，则 A*A=|A|E=E 且 A 可逆，于是 ATA=A*A，A T=A*，即 aij=Aij【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 当 aij=一 Aij 时，有 AT=一 A*，则 ATA=一 A*A=一|A|E由于 A为 n 阶非零实
18、矩阵，即 aij 不全为 0，所以 在ATA=一|A|E 两边取行列式得|A|=一 1 反之，若 ATA=E 且|A|=一 1，由于A*A=|A|E=一 E，于是 ATA=一 A*A进一步，由于 A 可逆，得 AT=一 A*，即 aij=一 Aij【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 充分性 A 是对角矩阵，则显然 A 可与任何对角矩阵可交换 必要性 设 与任何对角矩阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角 矩阵 可交换，即 故biaij=biaij，b ibj，则 aij=0，ij，i=1，2，n，j=1，2，n，故是对角矩阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 A=1， 2， n
19、，B= 1， 2， n，则 A+B=1+1， 2+2， n+n， 由于 A+B 的列向量组 1+1， 2+2， n+n都是由向量组 1， 2， n， 1， 2， n 线性表出的，故 r(1+1， 2+2， n+n)r(1， 2， n， 1， 2， n) 又由于 r(1， 2， n， 1， 2， n)r(1， 2， n)+r(1， 2， n)， 故 r(A+B)=r(1+1， 2+2， n+n) r(1， 2， n， 1， 2， n) r(1， 2， n)+r(1， 2， n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 且记AB=C=(cij)nn，BA=D=(d ij)
20、nn，则 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 E=E 一 Ak=Ek 一 Ak=(E-A)(E+A+Ak-1)，所以 E-A 可逆，且 (E一 A)-1=E+A+Ak-1【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 对 A 分块为则 B=3E+J，于是 B n=(3E+J)n=3nE+Cn13n-1J+Cn23n-2J2+Jn， 其中 又C2=6C，C n=6n-1C，所以 【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 (1) (2) 当k2 时， ( T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T=O， 故 An=E+nT (3)A2=(E+T)(E+T)=E+2T+TT=E+2T=2E+2T-E=2A-E 2A A2=E，A(2E一 A)=E， A -1=2E-A=E 一 T【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 0 且一 3 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表出法唯一；【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 =0 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式不唯一；【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 =一 3 时， 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数
