1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 为( )（A）24（B） -24（C） 48（D）-482 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定3 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m-1， 1 线性相关（
2、B） 1， 2， m-1， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1+2 线性相关（D） 1， 2， m， 1+2 线性无关4 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A *是正定矩阵二、填空题6 A= ，且 n2，则 An-2An-1=_7 设 A= ，则 A-1=_8 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_9 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方
3、程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1+2=， 2+3= ，则方程组 AX=b 的通解为_ 10 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，1，则 4A*+3E=_11 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_12 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-2x2)2+4x2x3 的矩阵为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=O13 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A-3E=O求：14 (A+2E)-1；15 (A+4E)-116 设 1， m，
4、为 m+1 维向量，= 1+ m(m1)证明：若 1， m 线性无关，则 -1，- m 线性无关17 设向量组 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t18 求方程组 的通解19 Ann=(1， 2， n)，B nn=(1+2， 2+3， n+1)，当 r(A)=n 时，方程组BX=0 是否有非零解?20 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1+X2 不是A 的特征向量20 设 A，B 为 n 阶矩阵21 是否有 ABBA；22 若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA22 23 证明 A 可对角化；24 求 Am25 用配方法化二次型 f(x
5、1，x 2，x 3)=x12+x2x3 为标准二次型26 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3 为正定二次型，求 t 的范围26 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax2x2+x3x2-4x1x2-8x1x3-4x2x3 经过正交变换化为标准形5y12+by2x2-4y3x2， 求：27 常数 a，b ；28 正交变换的矩阵 Q考研数学二（线性代数）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选(D)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 C【试题解析
6、】 因为 r1=r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 (C)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m-1 线 性表示，所以 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m-1， 1 线性表 示，所以 1， 2， m-1， 1， 2 不一定线性相关；(C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m 线性表示，所以 1 +2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是
7、1， 2， m， 1+2 线性无关，选(D)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A=TO，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A2X= T TX=O=2X 得 =0， 因为 r(OE-A)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 D【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数
8、，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件【知识模块】 线性代数部分二、填空题6 【正确答案】 O【试题解析】 由 A2=2A 得 An=2n-1A，A n-1=2n-2A，所以 An-2An-1=0【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 2【试题解析】 因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 X=k (k 为任意常数)【试题解析】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 =3-1=(2+3)-(1+2)= =12(
9、2+3)= ，于是方程组的通解为 X=k(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 10【试题解析】 A= ，A *的特征值为 ，4A *+3E 的特征值为5，1，2，于是4A *+3E=10【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A2=3A，令 AX=X，因为 A2X=2X，所以有( 2=3)X=0，而X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1+2+3=Tr(A)=(，)，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22-4x1x2+4x2x3
10、，所以 A=【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由 A2=A，B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=O 或AB=-BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA，再在 AB=-BA 两边右乘 A 得ABA=-BA，则 AB=BA，于是 AB=O【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 由 A2+2A-3E=O 得 A(A+2E)=3E， (A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) -1=【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 由 A2+2A-3E
11、=O 得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则(A+4E) -1= (A-2E)【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 令 k1(-1)+k m(-m)=0，即 k1(2+3+ m)+km(1+2+ m-1)=0 或(k 2+k3+km)1+(k1+k3+km)2+(k1+k2+km-1)m=0，因为 1， m 线性无关，所以 因为=(-1)m-1(m-1)0，所以 k1=k2=0，故 -1，- m 线性无关【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 3=0，而 1， 2， 3= =(t+1)(t+5)，所以 t=-1 或者
12、 t=-5，因为任意两个向量线性无关，所以 t=-5【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 原方程组的同解方程组为 ，或者 故原方程组的通解为 (其中x3，x 4，x 5 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 BX=0 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0 (x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn-1+xn)n=0，因为 1， 2， n 线性无关，当 n 为奇数时，B 0，方程组 BX=0 只有零解；当 n 为偶数时，B=0 ，方程组 BX=0 有非零解【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特
13、征向量，则有A(X1+X2)=(X1+X2)， 因为 AX1=1X1，AX 2=1X2，所以( 1-)X1+(2-)X2=0， 而X1，X 2 线性无关，于是 1=2= 矛盾，故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 一般情况下，AB 与 BA 不等价，如因为 r(AB)r(BA)，所以 AB 与 BA 不等价【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 因为A=n!0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有 p-1ABP=BA，故 ABBA 【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 由E-A=(-
14、1) 2(+2)=0 得 1=2=1， 3=-2当 =1 时，由(E-A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 当 =-2 时，由(-2E-A)X=0 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 3= ，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX YT(pTAP)Y=y12+y22-y32【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型为正定二次型，所以有 解得【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 令 ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，矩阵A 的特征值为 1=5， 2=b， 3=-4，特征值为 1=2=5， 3=-4【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 将 1=2=5 代入(E-A)X=0 ，即(5E-A)X=0，由 5E-A=得 1=2=5 对应的线性无关的特征向量为 1= ， 2= 将3=-4 代入(E-A)X=0，即(4E+A)X=0 ，由 4E+A= 得 3=-4 对应的线性无关的特征向量为 3=【知识模块】 线性代数部分
