1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（A）无法确定方程组是否有解。（B）方程组有无穷多解。（C）方程组有唯一解。（D）方程组无解。2 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 则线性方程组( )（A）Ax= 必有无穷多解。（B） Ax= 必有唯一解。（C） 仅有零解。（D） 必有非零解。3 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是( )（A）A 的列向量线性无关。（B） A 的列
2、向量线性相关。（C） A 的行向量线性无关。（D）A 的行向量线性相关。4 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（A）当 nm 时，仅有零解。（B）当 nm 时，必有非零解。（C）当 mn 时，仅有零解。（D）当 mn 时，必有非零解。5 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解。（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解。（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则
3、Ax=0 有非零解。6 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为r，则( )（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解。（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。（D）rn 时，方程组有无穷多个解。7 已知 1,2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，那么中，仍是线性方程组 Ax=b 特解的共有( )（A）4 个。（B） 3 个。（C） 2 个。（D）1 个。8 设 1,2,3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中可以作为导出组 Ax=0 的解向量有( )个。（A）4。（B） 3。（C）
4、 2。（D）1。9 已知 1,2,3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量中，是对应齐次线性方程组 Ax=0解向量的共有( )（A）4。（B） 3。（C） 2。（D）1。10 设 方程组 Ax=0 有非零解。 是一个三维非零列向量，若 Ax=0的任一解向量都可由 线性表出，则 a=( )（A）1。（B）一 2。（C） 1 或一 2。（D）一 1。二、填空题11 方程组 有非零解，则 k=_。12 已知线性方程组 无解，则 a=_。13 已知方程组 总有解，则 应满足的条件是_。14 已知方程组 有无穷多解，则 a=_。15 齐次方程组 有非零解，则 =_。16 已知齐次线性方
5、程组 有非零解，则 a=_。17 ,方程 Ax= 无解，则 a=_。18 设 A 是一个五阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0的两个线性无关的解，则 r(A*)=_。19 设 1=(6，一 1，1) T 与 2=(一 7，4，2) T 是线性方程组 的两个解，则此方程组的通解是_。20 设 A*是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知方程组 有解，证明：方程组无解。22 设 (I)求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量2， 3；() 对(I)中任意向量 2 和 3，证明 1， 2， 3
6、 线性无关。22 设 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。23 求 ，a；24 求方程组 Ax=b 的通解。25 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。26 已知齐次线性方程组 其中 。试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时：(I)方程组仅有零解；()方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。27 设线性方程组 已知(1，一 1，1，一 1)T 是该方程组的一个解，求方程组所有的解。27 已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 1=(0，1，一 1)T， 2=(a，2，1) T， 3=(b，1，0) T 是齐次线性方程组 Bx=0
7、 的三个解向量，且Ax=3 有解。求28 a，b 的值；29 求 Bx=0 的通解。考研数学二（线性方程组）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B。【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 齐次线性方程必有解(零解)，则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B 。又齐次线性方程组 有
8、n+1 个变量，而由题设条件知，。所以该方程组必有非零解，故选 D。【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 Ax=0 仅有零解r(A)=nA 的列向量线性无关。故选 A。【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确。【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r(A)=n 或r(A)n，以此均不能推得 r(A)=r(A；b
9、) ，所以选项 A、B 均不正确。而由 Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A；b)n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A，r(A)=r=m。由于 r(A；b)m=r，且 r(A；b)minm，n+1=minr ，n+1=r，因此必有 r(A；b)=r，从而 r(A)=r(A；b) ，此时方程组有解，所以应选 A。由 B、C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等。【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 A1=b，A 2=b，那么 可知 均是 A
10、x=b 的解。而可知 不是 Ax=b 的解。故应选 C。【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 A1=A2=A3=b，可知 A(1 一 2)=A1A2=bb=0，A( 122+3)=A1 一 2A2+A3=b 一 2b+b=0A(1+32 一 43)=A1+3A24A3=b+3b 一 4b=0。这四个向量都是 Ax=0 的解，故选 A。【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 A【试题解析】 由 Ai=b(i=1，2，3) 有 A(1 一 2)=A1A2=b 一 b=0，A( 1+2 一23)=A1+A2 一 2A3=b+b 一 2b=0，A(1 一 32+23)=A1
11、 一3A2+2A3=b 一 3b+2b=0，即 1 一 2， 1+223， (2 一 1)， 132+23 均是齐次方程组 Ax=0 的解。所以应选 A。【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Ax=0 的任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，因此 r(A)=2。由方程组 Ax=0 有非零解可得，A=(a 一 1)2(a+2)=0，即 a=1 或一 2。当 a=1 时，r(A)=1，舍去；当a=一 2 时，r(A)=2 0 所以选 B。【知识模块】 线性方程组二、填空题11 【正确答案】 一 1【试题解析】
12、 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即 因此得 k=一 1。【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 一 1【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以 a=一 1。【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 【试题解析】 对于任意的 b1，b 2，b 3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A的秩为 3，即【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 3【试题解析】 凡元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A)，而有无穷多解的充分必要条件县 r(A)=r(A)n对增广
13、矩阵作初等行变换，有由于 r(A)=2，所以 62a=0，即 a=3。【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 一 3 或一 1【试题解析】 系数矩阵的行列式 所以当=一 3 或一 1 时，方程组有非零解。【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 2【试题解析】 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于末知量的个数。由于 因此有 r(A)3a=2 。【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 1 或 3【试题解析】 已知方程组无解，所以 r(A)r(A， )。又因为 r(A，)=3，所以r(A)2，故有A=0a=1 或 3。【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 0【试题
14、解析】 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 nr(A)2，即 r(A)3.又因为 A 是五阶矩阵，所以A的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 Aii 恒为零，即 A*=O，所以 r(A*)=O。【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (6，一 1，1) T+k(13，一 5，一 1)T，k 为任意常数【试题解析】 一方面因为 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r(A)=r(A)3。另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式所以一定有 r(A)2，因此必有 r(A)=r(A)=
15、2。由 nr(A)=32=1可知，导出组 Ax=0 的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知 1 一2=(6，一 1，1) T 一(一 7， 4，2) T=(13，一 5，一 1)T 是导出组 Ax=0 的非零解，即基础解系，则方程组的通解为 X=(6，一 1，1) T+k(13，一 5，一 1)T，k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 k 1(1，2，一 1)T+k2(1，0，1) T，k 1，k 2 是任意常数【试题解析】 A=0，且 r(A)=2，所以 r(A*)=1，则由 nr(A*)=2 可知，A *x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k
16、11+k22。又因为A*A=AE=O，所以矩阵 A 的列向量是 A*x=0 的解，故通解是 k1(1，2，一 1)T+k2(1，0，1) T。【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 用 A1，A 1 和 A2，A 2 分别表示方程组(1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，则 A1=A2T。已知方程组(1)有解，故 r(A1)=r(A1)。又由于(b 1，b 2，b m，1)不能由(a 11，a 21，a m1，0) ，(a 12，a 22，a m2，0) ，(a 1n，a 2n，a mn， 0)线性表示，所以【知识模块】 线性方程组22 【正确
17、答案】 (I)对增广矩阵(A ； 1)作初等行变换，则得 Ax=0 的基础解系(1，一1，2) T 和 Ax=1 的特解(0，0，1) T.故 2=(0，0，1) T+k(1，一 1，2) T，其中 k 为任意常数。所以1， 2， 3 线性无关。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r(A)=r(A)n。于是 解得 =1 或 =一 1。当 =1 时，r(A)=1，r(A)=2，此时线性方程组无解。当 =一 1 时，若 a=一 2，则 r(A)=r(A)=2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故 =一 1，a=一 2。【知
18、识模块】 线性方程组24 【正确答案】 当 =一 1，a=一 2 时， 所以方程组 Ax=b的通解为【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0 时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0) T， n-1=(一1，0，0，1) T，于是方程组的通解为 x=k11+kn-1n-1，其中 k1，k n-1 为任意常数。当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有当时，r(A)=n 一 1n，方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为 =(1
19、，2，n) T，于是方程组的通解为x=k，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 方程组的系数矩阵的行列式(I)当 b0 且时，r(A)=0，方程组仅有零解。()当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2+anxn=0。由 可知，a i(i=1，2，n) 不全为零。不妨设a10，得原方程组的一个基础解系为 1=(一 a2，a 1，1，0，0) T， 2=(一a3，0，a 1，0) T， n-1=(一 an，0，0，a 1)T。当 时，有 b0，原方程组的系数矩阵可化为由此得原方程组的同解方程组为 x3=x1，x 3=x1，x n=x1。原方程组的一个基
20、础解系为=(1， 1， ，1) T。【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 将(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组可得 =。对增广矩阵作初等行变换，可得【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 由 BO，且 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知，向量组 1， 2， 3 必线性相关，于是 解得 a=3b。由Ax=3 有解可知，线性方程组 Ax=3 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得 所以b=5，a=3b=15。【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 因为 BO，所以 r(B)1，则 3 一 r(B)2.又因为 1， 2 是 Bx=0 的两个线性无关的解，故 3 一 r(B)=2，所以 1， 2 是 Bx=0 的一个基础解系，于是Bx=0 的通解为 x=k11+k22，其中 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组
