1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 =r(A)，则线性方程组( )（A）Ax= 必有无穷多解。（B） Ax= 必有唯一解。（C） =0 仅有零解。（D） =0 必有非零解。2 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解。（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解。（D）若 A
2、x=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解。3 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 一 2， 1 一22+3， (1 一 3)， 1+3243，可以作为导出组 Ax=0 的解向量有( )个。（A）4。（B） 3。（C） 2。（D）1。4 已知 1=(1， 1，一 1)T， 2=(1，2，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是 ( )（A）(1 ，一 1，3) T。（B） (2，1，一 3)T。（C） (2，2，一 5)T。（D）(2 ，一 2，6) T。5 设 1， 2， 3， 4 是四维非零列向量组， A=(1
3、， 2， 3， 4)，A *为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T，则 A*x=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3。（B） 1+2， 2+3， 1+3。（C） 2， 3， 4。（D） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1。6 设 A 是 mn 矩阵，A T 是 A 的转置，若 1， 2， t 为方程组 ATx=0 的基础解系，则 r(A)=( )（A）t。（B） nt。（C） mt。（D）nm。7 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数
4、，则方程组 Ax=b 的通解是( )（A）k 11+k2(1+2)+ 。（B） k11+k2(1 一 2)+ 。（C） k11+k2(1+2)+ 。（D）k 11+k2(1 一 2)+ 。8 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n1 x=0，现有四个命题：() 的解必是() 的解； ()的解必是( )的解； ()的解不是()的解； () 的解不是() 的解。 以上命题中正确的是( ) （A） 。（B） 。（C） 。（D） 。二、填空题9 方程组 有非零解，则 k=_。10 已知方程组 有无穷多解，则 a=_。11 ，方程 Ax= 无解，则 a=_。12 设 A
5、= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。13 设(1 ，1，1) T，(2，2，3) T 均为线性方程组 的解向量，则该线性方程组的通解为_。14 已知齐次线性方程组有通解 k1(2，一1，0，1) T+k2(3，2，1，0) T，则方程组的通解是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A= ， 1= 。15 求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量 2， 3；16 对( )中任意向量 2 和 3，证明 1， 2， 3 线性无关。17 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。17 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中
6、18 当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；19 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。20 设 ，当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C。21 设 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1，k s 为实数，满足k1+k2+ks=1。证明 x=k11+k22+kss 也是方程组的解。22 已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵B= (k 为常数)，且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解。23 设方程组 与方程(2)x 1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解
7、。23 设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 1=(2，一 1，a+2，1) T， 2=(一 1，2，4，a+8) T。24 求方程组(1)的一个基础解系；25 当 a 为何值时，方程组(1) 与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。考研数学二（线性方程组）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 齐次线性方程必有解(零解)，则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B 。又齐次线性方程组 =0 有 n+1
8、个变量，而由题设条件知， =r(A)nn+1。所以该方程组必有非零解，故选 D。【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r(A)=n 或 r(A)n，以此均不能推得 r(A)=r(A b)，所以选项 A、B 均不正确。而由 Ax=b 有无穷多个解可知，r(A)=r(A b)n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 A1=A2=A3=b，可知 A(1 一 2)=A1A2=bb=0，A( 1一 22+3)=A12A
9、2+A3=b 一 2b+b=0，A (1 一 3)= (A1 一 A3)= (b 一b)=0，A( 1+3243)=A1+3A24A3=b+3b 一 4b=0。这四个向量都是 Ax=0 的解，故选 A。【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 B【试题解析】 如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项A、D 均不是 Ax=0 的解。由于 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1， 2 线性表示，也即方程组 x11+x22= 必有解，而可见第二个方程组无解，即(2，2，一 5)T 不能由 1， 2 线性表示。所以应选 B。【知
10、识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【试题解析】 方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A 的秩r(A)=4 一 1=3，则其伴随矩阵 A*的秩 r(A*)=1，于是方程组 A*x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A*(1， 2， 3， 4)： A*A=A E=0 ，所以向量1， 2， 3， 4 都是方程组 A*x=0 的解。将(1 ，0，2，0) T 代入方程组 Ax=0 可得1+23=0，这说明 1 可由向量组 2， 3， 4 线性表出，而向量组 1， 2， 3， 4的秩等于 3，所以向量组 2， 3， 4 必线性无关。所以选 C。 事实上，由1+23
11、=0 可知向量组 1， 2， 3 线性相关，选项 A 不正确；显然，选项 B 中的向量都能被 1， 2， 3 线性表出，说明向量组 1+2， 2+3， 1+3 线性相关，选项B 不正确；而选项 D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D 也不正确。【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 r(A T)+t 等于 AT 的列数，即 r(AT)+t=m，所以 r(AT)=m 一 t=r(A)。【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A、C 选项，因为 (b 一 b)=0，所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。对
12、于选项 D，虽然 1 一 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B。事实上，对于选项 B，由于 1， 1 一 2 与 1， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故 1， 1 一 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 (A1+A2)= (b+b)=b，可知 是齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B 选项正确。【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 A【试题解析】 若 An=0，则 An1 =A(An)=A0=0，即若 是(1)的解，则 必是(2)的解，可见命题 正确。 如果 An1 =0，而
13、An0，那么对于向量组，A，A 2，A n，一方面有： 若 k+k1A+k2A2+k nAn=0，用 An 左乘上式的两边得 kAn=0。由 An0 可知必有 k=0。类似地可得 k1=k2=kn=0。因此，A ，A 2，A n 线性无关。 但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 An1 =0 时，必有 A2=0，即(2) 的解必是(1)的解。因此命题正确。 所以应选 A。【知识模块】 线性方程组二、填空题9 【正确答案】 一 1【试题解析】 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即 =12(k+1)=0，因此得 k=一 1
14、。【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 3【试题解析】 n 元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A)= ，而有无穷多解的充分必要条件是 r(A)= n，对增广矩阵作初等行变换，有由于 r(A)=2，所以 62a=0，即 a=3。【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 1 或 3【试题解析】 已知方程组无解，所以 r(A)r(A， )。又因为 r(A，)=3，所以r(A)2，故有A=0 a=1 或 3。【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 k 1(1，2，一 1)T+k2(1，0，1) T，k 1，k 2 是任意常数【试题解析】 A=0，且 r(A)=2，所以 r(
15、A*)=1，则由 nr(A*)=2 可知，A *x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k11+k22。又因为A*A=AE=0 ，所以矩阵 A 的列向量是 A*x=0 的解，故通解是 k1(1，2，一 1)T+k2(1，0，1) T。【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 k(1，1，2) T+(1，1，1) T，kR【试题解析】 该线性方程组的系数矩阵为 A= 。已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵 A 不满秩，也即 r(A)3，又因为 A 的一个二阶子式=一 20，所以 r(A)2。故 r(A)=2。因此导出组 Ax=0 的基础解系中含有1 个解向量，由线性方程组解
16、的性质可知(2，2，3) T 一(1，1，1) T=(1，1，2) T 是Ax=0 的解，即 Ax=0 的基础解系。故原方程组的通解为 k(1，1，2) T+(1，1，1)T，kR。【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 k(13，一 3，1，5) T，k 为任意常数【试题解析】 方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1) 的通解 代入(2)的第三个方程，得(2k 1+3k2)一 2(一 k1+2k2)+0k2+k1=0，即 5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为 5k2(2，一 1，0，1) T+k
17、2(3，2，1，0) T=k2(13，一3，1，5) T，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 对增广矩阵(A 1)作初等行变换，则得 Ax=0 的基础解系(1，一 1，2) T 和 Ax=1 的特解(0，0，1) T。故 2=(0，0，1) T+k(1，一 1，2) T，其中 k 为任意常数。A 2= 作初等行变换，有得 A2x=0 的基础解系(一1，1，0) T，(0，0，1) T 和 A2x=1 的特解( ，0， 0)T。故 3=( ，0，0) T+t1(一1，1，0) T+t2(0，0，
18、1) T，其中 t1，t 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 因为 1， 2， 3=0，所以 1， 2， 3 线性无关。【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0 时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0) T， n1 =(一1，0，0，1) T，于是方程组的通解为 x=k11+kn1 n1 ，其中 k1，k n1为任意常数。当 a0 时，对矩阵曰作初等行变换，有当 a=时，r(A)=n 一 1n，方程组也有非零
19、解，其同解方程组为由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为x=k，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式A =D n=(n+1)an。当 a0 时，D n0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为=Dn1 =nan1 ，所以由克拉默法则得 x1= 。【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 当 a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n 一 1，所以方程组有无穷多解，其通解为x=(0，1，0) T+k(1，0 ，0) T，其中 k 为任意常数。【知
20、识模块】 线性方程组20 【正确答案】 令 C= ，则由 ACCA=B 得该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当 a=一 1，b=0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为 x= ，即 C=(其中 c1，c 2 为任意常数)。【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 由于 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有Ai=b(i=1，s)。 因为 k1+k2+ks=1，所以 Ax=A(k 11+k22+kss) =k1A1+k2A2+ksAs =b(k1+ks)=b，
21、由此可见 x 也是方程组的解。【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 由 AB=O 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B)3。若k9，则 r(B)=2，于是 r(A)l，显然 r(A)1，故 r(A)=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3 一 r(A)=2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为： x=k1(1，2，3) T+k2(3，6，k) T，k 1，k 2 为任意常数。若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2。 若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解为：x=k1(1，2，3) T，k 1 为任意
22、常数。 若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，不妨设 a0，则其通解为 x=k1( ，1，0) T+k2( ，0，1)T， k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 把方程组(1)与(2) 联立，得方程组 则方程组(3)的解就是方程组 (1)与(2)的公共解。对方程组(3) 的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组(3)有解，所以(a 一 1)(a2)=0。当 a=1 时， ，此时方程组(3)的通解为 k(一1，0，1) T(k 为任意常数)，此即为方程组(1)与(2) 的公共解。当 a=2 时，此时方程组(3)有唯一解(0，1，一
23、 1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则 nr(A)=42=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取 x3，x 4 为自由变量，得 1=(5，一 3，1，0) T， 2=(一3，2，0，1) T 是方程组(1)的基础解系。【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k11+k22=l11+l22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为 0 的常数。由 k11+k22l11 一 l22=0，得齐次方程组 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有当 a一 1 时，方程组(3)的系数矩阵变为 。可知方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是 =0，不合题意。当 a=一 1 时，方程组(3) 系数矩阵变为，解得 k1=l1+4l2，k 2=l1+7l2。于是 =(l1+4l2)1+(l1+7l2)2=l11+l22。所以当 a=一 1 时，方程组(1) 与(2)有非零公共解，且公共解是 l1(2，一 1，1，1) T+l2(一 1，2，4，7) T，l 1，l 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组
