1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是( )（A）A 的列向量线性无关。（B） A 的列向量线性相关。（C） A 的行向量线性无关。（D）A 的行向量线性相关。2 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为r，则( )（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解。（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。（D）rn 时，方程组有无穷多个解。3 已知 1， 2，
2、 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一2， 1+223， (2 一 1)， 132+23 中，是对应齐次线性方程组 Ax=0 解向量的共有( )（A）4。（B） 3。（C） 2。（D）1。4 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 ，则自由变量可取为x 4，x 5； x3，x 5； x 1，x 5； x 2，x 3。那么正确的共有( )（A）1 个。（B） 2 个。（C） 3 个。（D）4 个。5 设 1， 2， 3， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是( )（A） 1 一 2， 2+3， 3 一 4， 4+1。（B
3、） 1+2， 2+3+4， 1 一 2+3。（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1。（D） 1+2， 2 一 3， 3+4， 4+1。6 已知四阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为四维列向量，其中1， 2 线性无关，若 1+22 一 3=， 1+2+3+4=，2 1+32+3+24=，k 1，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( )7 1， 2 是 n 元齐次方程组 Ax=0 的两个不同的解，若 r(A)=n 一 1，则 Ax=0 的通解为( )（A）k 1。（B） k2。（C） k(1+2)。（D）k( 1 一 2)。8 设有齐次线性方程组 Ax=
4、0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(B)；若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。二、填空题9 已知线性方程组 无解，则 a=_。10 齐次方程组 有非零解，则 =_。11 设 A 是一个五阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 *， 2 是齐次线性方程组 Ax=0的两个线性无关的解，则 r(A*)=_。12 设
5、A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。13 设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为 _。14 已知方程组(1) 与方程(2)x 1+5x3=0，则(1)与(2)的公共解是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 。已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。15 求 ，a；16 求方程组 Ax=b 的通解。17 已知齐次线性方程组 其中 0。试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时：(I)方程组仅有零解；()方程组有非零解，在有非零解时，求此方程
6、组的一个基础解系。17 设 。18 计算行列式A；19 当实数 a 为何值时，方程组 Ax=b 有无穷多解，并求其通解。20 设线性方程组为 问 k1 与 k2 各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多解 ?有无穷多解时，求其通解。21 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t21， 其中 t1，t 2 为实常数。试问 t1，t 2 满足什么条件时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。22 设矩阵 A=(a1，a 2，a 3， a4)，其中 a2，a 3，a 4 线性无关，a 1=2a2 一
7、 a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程组 Ax=b 的通解。22 设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1=(1，1，1，0，2)T， 2=(1，1，0，1，1) T， 3=(1，0，1，1，2) T。线性方程组(2)Bx=0 的一个基础解系为 1=(1，1，一 1，一 1，1) T， 2=(1，一 1，1，一 1，2) T， 3=(1，一 1，一1，1，1) T。求23 线性方程组(3) 的通解；24 矩阵 C=(AT，B T)的秩。25 已知齐次线性方程组同解，求 a，b，c 的值。考研数学二（线性方程组）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
8、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 Ax=0 仅有零解 的列向量线性无关。故选 A。【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A，r(A)=r=m。由于 r(A b)m=r，且 r(A b)minm，n+1=minr ，n+1=r，因此必有 r(A b)=r，从而 r(A)=r(A b)，此时方程组有解，所以应选 A。由 B、C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等。【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 由 Ai=b(i=1，2，3) 有 A(1 一 2)=A1A2=bb=0，A( 1+223)=A1+A22A3=b+b 一 2b
9、=0，=0，A( 132+23)=A1 一3A2+2A3=b 一 3b+2b=0，即 1 一 2， 1+223， (2 一 1)， 1 一 32+23均是齐次方程组 Ax=0 的解。所以应选 A。【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 r(A)=3，则 n 一 r(A)=53=2，故应当有两个自由变量。由于去掉 x4，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 ，因为其秩与r(A)不相等，故 x4，x 5 不是自由变量。同理， x3，x 5 不能是自由变量。而 x1，x 5与 x2，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 都不为 0。所以应选 B。【知识模块】 线性方程
10、组5 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件知 Ax=0 的基础解系由四个线性无关的解向量所构成。选项 B 中仅三个解向量，个数不合要求，故排除 B 项。选项 A 和 C 中，都有四个解向量，但因为( 1 一 2)+(2+3)一( 3 一 4)一( 4+1)=0，( 1+2)一( 2+3)+(3+4)一( 4+1)=0，说明选项 A、C 中的解向量组均线性相关，因而排除 A 项和C 项。用排除法可知选 D。或者直接地，由( 1+2， 2 一 3， 3+4， 4+1)=(1， 2， 3， 4) 。因为 =20，知 1+2， 2 一3， 3+4， 4+1 线性无关，又因 1+2， 2 一 3，
11、3+4， 4+1 均是 Ax=0 的解，且解向量个数为 4，所以选 D。【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 由 1+22 一 3= 知 即1=(1，2，一 1，0) T 是 Ax= 的解。同理 2=(1，1，1，1) T， 3=(2，3，1，2) T 均是 Ax= 的解，则 1=1 一 2=(0，1，一 2，一 1)T， 2=3 一 2=(1，2，0，1) T，是导出组 Ax=0 的解，并且它们线性无关。于是 Ax=0 至少有两个线性无关的解向量，则 nr(A)2，即 r(A)2，又因为 1， 2 线性无关，故 r(A)=r(1， 2， 3， 4)2。所以必有 r(A)=
12、2，从而 nr(A)=2，因此 1， 2 就是 Ax=0 的基础解系。所以应选 B。【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 r(A)=n 一 1，所以 Ax=0 的基础解系只含有一个解向量，1 2 为 Ax=0 的非零解，所以 Ax=0 的通解为 k(1 一 2)。【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 B【试题解析】 由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以， 显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。下面证明， 正确；对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx
13、=0 含于 Ax=0 之中。从而Ax=0 的有效方程的个数(即 r(A)必不少于 Bx=0 的有效方程的个数 (即 r(B)，故r(A)r(B)。对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其基础解系包含的解向量的个数相同，即 nr(A)=nr(B)，从而 r(A)=r(B)。【知识模块】 线性方程组二、填空题9 【正确答案】 一 1【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以 a=一 1。【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 一 3 或一 1【试题解析】 系数矩阵的行列式A= =一(+3)(+1)
14、，所以当=一 3 或一 1 时，方程组有非零解。【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 0【试题解析】 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 n 一 r(A)2，即 r(A)3。又因为 A 是五阶矩阵，所以A的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 Aij 恒为零，即 A*=0，所以 r(A*)=0。【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T，k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=0，且 r(A*)=1。再由A*A=AE=0 可知
15、，A 的列向量为 A*x=0 的解，因此 A*x=0 的通解是k1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T。【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 1+k1(2 一 1)+k2(3 一 1)，k 1， k2 为任意常数【试题解析】 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解；则 2一 1， 3 一 1 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无关。又 nr(A)=2，故 2 一1， 3 一 1 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1+k1(2 一 1)+k2(3 一 1)，k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 k(一 5
16、，3，1) T，k 为任意常数【试题解析】 将方程组(1)和方程(2) 联立，得到方程组(3) (3)的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得由于 A 的秩为 2，所以自由变量有一个，令自由变量 x3=1，代入可得 x2=3，x 1=一 5，所以(3)的基础解系为=(一 5，3， 1)T。因此(1)和(2)的公共解为 k(一 5，3，1) T，k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r(A)= n。于是A= =(+1)( 一 1)2=0。
17、解得 =1 或 =一 1。当 =1 时，r(A)=1， =2，此时线性方程组无解。当 =一 1 时，若 a=一 2，则 r(A)= =2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故 =一 1，a=一 2。【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 当 =一 1，a=一 2 时， 所以方程组Ax=b 的通解为 +k(1，0，1) T，其中 k 是任意常数。【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 方程组的系数矩阵的行列式(I)当 b0 且 b+0 时，r(A)=0 ，方程组仅有零解。()当 b=0 时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+anxn=0。由 0 可知，a i(i=1，2， ，n)不全
18、为零。不妨设a10，得原方程组的一个基础解系为 1=(一 a2，a 1，1，0，0) T， 2=(一a3，0，a 1，0) T， n1 =(一 an，0，0，a 1)T。当 b= 时，有b0，原方程组的系数矩阵可化为(将第一行的一 1 倍加到其余各行，再从第二行到第 n 行同乘以 倍) (将第 i 行的一 ai(i=2，3，n)倍加到第一行，再将第一行移到最后一行)由此得原方程组的同解方程组为x2=x1， x3=x1，x n=x1。原方程组的一个基础解系为 =(1，1，1) T。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 A= =1a4。【知识模块】 线性方程组19 【
19、正确答案】 对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得要使原线性方程组有无穷多解，则有 1 一 a4=0 且一 a 一 a2=0，即 a=一 1。当 a=一 1 时，可知导出组的基础解系为(1，1， 1，1) T，非齐次方程的特解为(0，一 1，0，0) T，故其通解为(0，一1，0，0) T+k(1，1，1，1) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 B=(A， b)=。当 r(A)=r(B)=时，方程组有唯一解；当 k1=2 时，B，则当 k21 时，r(A)=3r(B)=4，方程组无解； 当 k2=1时，r(A)=r(B)=34，方程组有无穷多解，且综上，
20、当 k12 时，方程组有唯一解；当 k1=2 且 k21 时，方程组无解；当 k1=2 且k2=1 时，方程组有无穷多解，且通解为式(*) 。【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 因为 i(i=1，2，s)是 1， 2， ， s 的线性组合，且1， 2， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知i(i=1， 2， ，s)均为 Ax=0 的解。从 1， 2， s 是 Ax=0 的基础解系知 s=n一 r(A)。以下分析 1， 2， s 线性无关的条件：设 k11+k22+kss=0，即(t1k1+t2ks)1+(t2k1+t1k2)2+(t2k2+t1k3)3+(t2ks1
21、 +t1ks)s=0，由于 1， 2， s 线性无关，所以 又因系数矩阵的行列式 =t1s+(一 1)s1 t2s，当 t1s+(一 1)s1 t2s0 时，方程组(*)只有零解 k1=k2=ks=0。因此当 s 为偶数且 t1t2，或当 s 为奇数且 t1一 t2时， 1， 2， s 线性无关，即为 Ax=O 的一个基础解系。【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 已知 a2， a3，a 4 线性无关，则 r(A)3。又由 a1，a 2，a 3 线性相关可知 a1，a 2，a 3，a 4 线性相关，故 r(A)3。综上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。又
22、因为 a1=2a2 一 a3 a12a2+a3=0 (a1，a 2，a 3，a 4) =0，所以 x=(1，一 2，1，0) T 是方程组 Ax=0 的基础解系。又由 b=a1+a2+a3+a4 可知 x=(1，1，1，1) T 是方程组 Ax=b 的一个特解。于是原方程组的通解为 x=c(1，1，1，1) T+c(1，一 2，1，0) T，cR。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 线性方程组(1)Ax=0 的通解为 x=k11+k22+k33；线性方程组(2)Bx=0 的通解为 x=l11+l22+l33；线性方程组(3) 的解是方程组(1)和(2)的公共解，
23、故考虑线性方程组(4)k 11+k22+k33=l11+l22+l33，将其系数矩阵作初等行变换，即 则方程组(4)的一个基础解系是(一 2，0，2，一 1，0，1) T。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础解系=一 21+22=一 1+3=(0，一 2，0，2，0) T。所以方程组(3)的通解为 x=k(0，一1，0，1，0) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 线性方程组(3) 与线性方程组 xT(AT，B T)=0 等价，而方程组(3)的基础解系只含一个向量，故矩阵 C=(AT，B T)的秩 r(C)=51=4。【知识模块】 线性方程组25 【正确答
24、案】 因为方程组(2)中“ 方程个数未知数个数” ，所以方程组(2) 必有非零解。于是方程组(1)必有非零解，则(1) 的系数行列式为 0，即 =2 一a=0，所以 a=2。对方程组(1) 的系数矩阵作初等行变换，有则方程组(1)的通解是 k(一 1，一 1，1) T。因为(一 1，一 1，1) T 是方程组(2)的解，所以 故 b=1，c=2或 b=0，c=1。当 b=1，c=2 时，方程组(2)为 其通解是 k(一 1，一 1，1) T，所以方程组 (1)与(2)同解。当 b=0，c=1 时，方程组(2)为由于方程组(2)的系数矩阵的秩为 1，而方程组(1)的系数矩阵的秩为2，故方程组(1)与(2) 不同解，则 b=0，c=1 应舍去。综上，当 a=2，b=1，c=2 时，方程组(1)与(2)同解。【知识模块】 线性方程组
