1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设非齐次线性方程组 Ax= 的通解为 x=k1(1，0， 0，1) T+k2(2，1，0，1)T+(1，0，1，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数，A=( 1,2,3,4)，则( )（A） 必可由 1， 2 线性表示（B） 必可由 1， 2， 4 线性表示（C） 必可由 3， 4 线性表示（D） 必可由 4， 1 线性表示二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设齐次线性方程组 其中 a0，b0，n2 试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在
2、有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解3 已知齐次线性方程组 其中 试讨论a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系4 已知向量组 试问当 a，b，c 满足什么条件时，(1) 可由 1,2,3 线性表示，且表示式唯一；(2) 不能由 1,2,3 线性表示；(3) 可由 1,2,3 线性表示，但表示式不唯一，并写出一般表达式5 设向量组(I) 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3)T T， 3=(1，一 1，a+2) T 和向量组()1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+b) T， 3
3、=(2，1，a+4) T 试问：当 a 为何值时，向量组(I)与( )等价?当 a 为何值时，向量组(I) 与()不等价?6 设向量组 试问(1)a 为何值时，向量组线性无关?(2)a 为何值时，向量组线性相关，此时求齐次线性方程组x11+x22+x33+x44=0 的通解6 设 4 元齐次方程组(I)为 且已知另一 4 元齐次线性方程组()的一个基础解系为 1=(2，一 1，a+2 ，1) T，a 2=(一 1， 2，4，a+8) T7 求方程组(I)的一个基础解系；8 当 a 为何值时，方程组(I) 与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解9 已知齐次线性方程组(I) 又已
4、知齐次线性方程组()的基础解系为1=(2，一 1，a，1) T， 2=(一 1，0，4，a+6) T，试问当 a 为何值时，方程组(I)和()有非零公共解? 并求出全部非零公共解10 已知齐次线性方程组 问 a，b为何值时，方程组(I)与( )有非零公共解?并求出全部非零公共解11 设线性方程组 与方程x1+2x2+x3=a1 ()有公共解，求 a 的值及所有公共解11 已知下列非齐次线性方程组(I)，( )：12 求解线性方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；13 当方程组() 中的参数 m，n，t 为何值时，方程组(I)与()同解14 已知齐次线性方程组 同解，求a，b，c 的值15
5、 已知齐次线性方程组(I)为 又已知线性方程组( )的通解为 x=k1(s，2，3，16) T+k2(2，1，2，t) T，其中 k1，k 2 是任意常数若方程组(I)与()同解，试求 m，n，s，t 的值16 设 1,2,3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系证明 1+2， 2+3， 3+1也是该方程组的一个基础解系17 已知 1,2,3,4 是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t4， 4=4+t1，讨论实数 t 满足18 设 1,2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t2
6、1，其中 t1，t 2 为实常数试问 t1，t 2 满足什么关系时， 12 s 也为 Ax=0 的一个基础解系19 设向量组 1,2 t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 2，+ 2，+ i 线性无关20 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=021 已知线性方程组 的一个基础解系为(b 11,b12,，b 1,2n)T， (b21，b 22， ，b 2,2n)T， ，(b
7、n1,bn2，b n,2n)T试写出线性方程组的通解，并说明理由21 设矩阵 A=(1,2,3)，其中 1,2,3 是 4 维列向量，已知非齐次线性方程组 Ax=b的通解为 x=k(1，一 2，3) T+(1，2，一 1)T，k 为任意常数22 试求 1,2,3 的一个极大线性无关组，并把向量 b 用此极大线性无关组线性表示；23 令矩阵 B=(1， 2， 3，b+ 3)，证明方程组 Bx=1 一 2 有无穷多组解，并求其通解24 已知 n 维向量组 1,2 n 中，前 n 一 1 个线性相关，后 n 一 1 个线性无关，若令 =1,2 n，A=( 1,2 n)试证方程组 Ax= 必有无穷多组
8、解，且其任意解( 1,2 n)T 中必有 an=125 已知 4 阶方阵 A=(1,2,3,4)，其中 1,2,3,4 均为 4 维列向量，且 2,3,4 线性无关， 1=22 一 3如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解26 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，C 不全为零，矩阵(k 为常数)，且 AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解27 设 A=(1,2,3,4)，其中 A*为 A 的伴随矩阵， 1,2,3,4 为 4 维列向量，且1,2,3 线性无关， 4=1+2，则方程组 A*x=027 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解28 证明方程
9、组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；29 求 a，b 的值及方程组的通解30 设 A=T，B= T其中 T 是 的转置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+30 设矩阵 已知线性方程组 Ax= 有解但不唯一，试求31 a 值；32 正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵32 设33 计算行列式A；34 当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多组解，并求其通解35 设 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有的矩阵 C35 设 E 为 3 阶单位矩阵36 求线性方程组 Ax=0 的一个基础解系；37 求满足 AB=E 的所有矩阵 B考研数学二（线性方程组）模拟试卷
10、 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组通解的结构和常数项向量与系数矩阵的列向量的关系 由题意知 1=(1，0，0，1) T， 2=(2，1，0，1) T 为齐次线性方程组Ax=0 的解，即 A1=0，A 2=0，可得 1+4=0，2 1+2+4=0，则 2=一4， 2=4，又 =(1，0，1，2) T 为 Ax= 的解，即有 =1+3+24=3+4故知 可由 3， 4 线性表示，故应选 C【知识模块】 线性方程组二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 方程组的系数行列式
11、(1)当 ab 且 a(1 一 n)b 时，方程组仅有零解(2)当 a=b 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有原方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，其基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0)T， ， n-1=(一 1，0，0， ，1) T，故方程组的全部解为 x=k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1 为任意常数(3)当 a=(1 一 n)b 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 原方程组的同解方程组为故方程组的全部解为 x=k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数【试题解析】 本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法及
12、用矩阵的初等行变换求解方程组的方法设该方程组的系数矩阵为 A，当 r(A)=n 时，Ax=0仅有零解；当 r(A)n 时， Ax=0 有无穷多解本题讨论 a，b 为何值时，r(A)=n或 r(A)n当 r(A)n 时，通常用初等行变换求解【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 该方程组的系数行列式为(1)当 b0 且 时，r(A)=n，方程组仅有零解(2)当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2+anxn=0由可知，a 1，a 2， ，a n 不全为零不妨设 a10，得原方程组的一个基础解系为有 b0，原方程组的系数矩阵可化为 由此得原方程组的同解方程组为 x1=x1，x
13、2=x1，x 3=x1， ，x n=x1，故原方程组的一个基础解系为 =(1，1，1，1) T【试题解析】 本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法，行列式的计算及基础解系的概念与求法要求考生掌握对于 Ax=0，当A 0 时，方程组有唯一零解；当A=0 时，方程组有非零解，在A =0 的条件下再求出方程组的一个基础解系【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 可否由 1,2,3 线性表示，即非齐次线性方程组 x11+x22+x33=是否有解由于方程组系数行列式 所以，(1)当 a4 时，即A0，方程组有唯一解， 可由 1,2,3 线性表示，且表示式唯一 (2)当 a=一 4 时，对方程
14、组的增广矩阵施以初等行变换显然，当 3bc1 时，则 r(A)r(A，)，方程组无解， 不能由 1,2,3 线性表示(3) 当 a=一 4，3bc=1 时，r(A)=r(A，)=23，方程组有无穷多解， 可由 1,2,3 线性表示，表示式不唯一，解方程组得因此有 =k1 一(2k+b+1) 2+(2b+1)3， k 为任意常数【试题解析】 本题考查一个向量能否由一组向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组是否有解的问题【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 对( 1,2,3 1， 2， 3)作初等行变换，得(1)当 a一 1 时，r( 1,2,3)=3，线性方程组 x11+x22+x33=i(
15、i=1，2，3)均有唯一解，所以 1， 2， 3 可由向量组(I)线性表示由于行列式 故对任意 a，方程组 x11+x22+x33=j(j=1，2，3)都有唯一解，即向量组 1,2,3 能由向量组() 线性表示因此，当 a-1 时，向量组(I)与()等价 (2)当 a=一 1 时，有 由于秩 r(1,2,3)r(1,2,3， 1)，所以线性方程组 x11+x22+x33=1 无解，故 1 不能由 1,2,3 线性表示因此，向量组(I)与( )不等价【试题解析】 本题考查两向量组是否等价与其对应的两组线性方程是否有解的关系若向量组(I)与( )等价，即向量组 (I)与()可以互相线性表示也就是两
16、组线性方程组都有解，若向量组(I)与()不等价，则在两组线性方程组中至少有一个方程无解【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 依题意有 x11+x22+x33+x44=0对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换，得 显然，当 a=0 时，r(A)=14，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0，此时，方程组的通解为 其中 k1，k 2，k 3 为任意常数当 a0 时，由显然，当 a一 10 时，r(A)=4 ，故方程组仅有零解，从而 1,2,3,4 线性无关当 a=一 10 时，r(A)=34，此时方程有非零解，从而 1,2,3,4 线性相关此时通解为【试题解析】 本题考查
17、向量组线性相关性的定义，并注意到向量组 1,2,3,4 线性无关，其对应的齐次线性方程组 x11+x22+x33+x44=0 仅有零解；若向量组1,2,3,4 线性相关，其对应的齐次线性方程组 x11+x22+x33+x44=0 有非零解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有得方程组(I)的同解方程组 由此可得方程组(I)的一个基础解系为 1=(1，0，2，3) T， 2=(0，1，3，5) T【试题解析】 本题考查两个齐次线性方程组是否有非零公共解的求解问题所涉及的知识点是齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构；齐次线性方
18、程组有非零解 r(A)n【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 由题设条件，方程组()的全部解为其中，k 1，k 2 为任意常数将上式代入方程组(I)，得要使方程组(I)与()有非零公共解，只需关于 k1，k 2 的方程组有非零解，因为所以当 a一 1 时，方程组(I)和()无非零公共解。当 a=一 1 时，方程组(*)有非零解，且 k1，k 2 为不全为零的任意常数，此时可得方程组(I)与 ()的全部非零公共解为 其中，k 1，k 2 为不全为零的任意常数【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 依题意，齐次线性方程组()的通解为 x=k11+k22=(2k1 一 k2，一k1，ak 1+
19、4k2，k 1+(a+6)k2)T，k 1，k 2 为任意常数，将其代入方程组(I)中，得方程组(I)、()有公共的非零解的充分必要条件是方程组(*)有非零解于是有当 a=1 时，k 2=0，当 k10，则 x=k11 一定是方程组(I)、 ()的非零解，即 x=k1(2，一 1，1，1) T，其中 k1 为不为零的任意常数当 a=一 9 时，方程组(*)的系数矩阵的秩为 1，方程组(*)有非零解 ，这时方程组(I)，( )有公共解【试题解析】 本题考查两个齐次线性方程组求非零公共解的问题【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 先求方程组(I)的通解，对其系数矩阵施以初等行变换，得由 r(
20、A)=24，可知方程组(I)有非零解，基础解系为 通解为将通解代入方程组()中，得 对此方程组的系数矩阵施以初等行变换当 a=0，且 b2a 一 1=0，即 a=0，b=1 时，方程组()有非零解，此时方程组(I) 和方程组()有非零公共解方程组()的解为，代入方程组(I)的通解中，得方程组(I) 、( )所有非零公共解为【试题解析】 本题考查两个含参数的齐次线性方程组求解非零公共解问题【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 将方程组(I)与( )联立得则方程组()的解便是方程组(I)与( )的公共解对方程组 ()的增广矩阵 施行初等行变换：由于方程组()有解，故其系数矩阵的秩等于增广矩阵
21、 的秩于是得(a 一 1)(a-2)=0，即 a=1 或 a=2当 a=1 时，由此得方程组()亦即方程组(I) 与 () 的公共解为 其中 k为任意常数当 a=2 时， 由此知方程组()亦即方程组(I)与( )的公共解为 x=(0，1，一 1)T【试题解析】 本题考查含参数的方程组求公共解的方法有两个解法：一是根据两个方程组有公共解的条件知，把这两个方程组联列后的方程组也应有解，且其解即为所求的公共解；二是把一个方程组的解代入到另一个方程组，确立它们的公共解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 设方程组(I)的系数矩阵为 A1，增广矩阵为 B1，对 B1 作初等
22、行变换，得 由于 r(A1)=r(B1)=34，所以方程组(I)有无穷多组解，且通解为【试题解析】 本题考查两个非齐次线性方程组同解具有的性质，非齐次线性方程组通解的求法所涉及的知识点是(1)非齐次线性方程组通解的结构(2)两个非齐次线性方程组同解 (I)的解是()的解，( )的也解是(I) 的解【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 将(I)的通解代入( )的第一个方程，得 (一 2+k)+m(一 4+k)一( 一5+2k)一 k=一 5，比较上式两端关于 k 的同次幂的系数，解得 m=2再将(I)的通解代入( )的第二个方程，得 n(一 4+k)一(一 5+2k)一 2k=一 11，比
23、较上式两端关于 k的同次幂的系数，解得 n=4再将(I) 的通解代入() 的第三个方程，得(一 5+2k)一2k=一 t+1解得 t=6因此，当 m=2，n=4 ，t=6 时，方程组(I)的全部解都是方程组()的解。这时，方程组 () 化为 设方程组()的系数矩阵为 A2，增广矩阵为 B2，对 B2 作初等行变换，得解得方程组()的通解为 可见，当 m=2，n=4，t=6 时，方程组(I)与方程组()的解完全相同，即方程组(I) 与方程组()同解【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 方程组()的未知量个数大于方程的个数，故方程组()有无穷多个解因为方程组(I)与( )同解，所以方程组(I
24、)的系数矩阵的秩小于 3对方程组(I)的系数矩阵施以初等行变换， 从而 a=2此时，方程组(I)的系数矩阵可化为 故(一 1，一 1，1) T 是方程组(I)的一个基础解系将 x1=一 1，x 2=一 1， x3=1 代入方程组()，可得 b=1，c=2 或 b=0，c=1当b=1，c=2 时，对方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有 故方程组(I)与( )同解当 b=0，c=1 时，方程组()的系数矩阵可化故方程组(I)与( )的解不相同综上所述，当 a=2，b=1，c=2时，方程组(I)与()同解【试题解析】 本题考查两个齐次线性方程组同解具有的性质，齐次线性方程组基础解系的概念及其求法所
25、涉及的知识点是(1)齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构(2)两个齐次线性方程组同解 (I)的解是()的解，()的解也是(I)的解【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 设 1=(s，2，3，16) T， 2=(2，1 ，2，t) T，依题意可知 1， 2 为方程组() 的基础解系把 1， 2 分别代入方程组(I)中，得以下证明当 m=3，n=2 ，s=3 ，t=10 时方程组(I)和()同解此时方程组() 的基础解系为 1=(3，2，3，16) T， 2=(2，1，2，10) T先求方程组(I)的基础解系 1， 2，为此对方程组(I) 的系数矩阵施以初等行变换，得同解方程组为其中 k
26、1，k 2 为任意常数于是方程组(I)的基础解系为 1=(0，1，0，2) T， 2=(1，0，1，4) T，要证方程组 (I)与()同解，只需证明(1， 2)与( 1， 2)等价即可，为此显然，r( 1， 2)=r(1， 2)=r(1， 2， 1， 2)=2，所以当 m=3，n=2，s=3，t=10 时方程组(I) 与()同解【试题解析】 本题是两个齐次线性方程组的同解问题，由于一个方程组已知，一个未知，故考虑用代入法，先把方程组()两个解向量代入方程组(I)中，得到参数m，n，s ，t 的取值注：要证明两个方程组同解，应先把方程组(I)的基础解系1， 2 求出来，再证其与方程组()的基础解
27、系等价即可【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 由于 1,2,3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系故1+2， 2+3， 3+1 都是方程组 Ax=0 的解设 k1，k 2，k 3 使 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0，即 (k 1+k2)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0由于 1,2,3 线性无关，所以其系数行列式 故方程组有唯一解 k1=k2=k3=0，从而1+2， 2+3， 3+1 线性无关由题设知 Ax=0 的基础解系含有 3 个解向量，故1+2， 2+3， 3+1 也是该方程组的一个基础解系【试题解析】 本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和向
28、量组线性相关性的证明方法【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 设 k1，k 2，k 3，k 4 使 k1(1+t2)+k2(2+t3)+k3(3+t4)+k4(4+t1)=0，即 (k1+tk4)1+(tk1+k2)2+(tk2+k3)3+(tk3+k4)4=0，由于 1,2,3,4 线性无关，得此方程组只有零解时， 1， 2， 3， 4 才是 Ax=0 的基础解系当 t1时， 1， 2， 3， 4 是 Ax=0 的基础解系【试题解析】 本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念、解的性质和向量组线性相关性的证明方法注意到 1， 2， 3， 4 是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是 1，
29、 2， 3， 4 线性无关【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 由于 i(i=1，2，s)为 1,2 s 的线性组合，所以i(i=1， 2， ，s)均为 Ax=0 的解设 k11+k22+kss=0，即(t 1k1+t2ks)1+(t1k1+t1k2)2+(t2ks-1+t1ks)s=0，由于 1,2 s 线性无关，因此有 其系数行列式当 t1s+(一 1)s+1t2s0，即当 s 为偶数，t 1t2，s 为奇数，t 1一 t2 时，方程组(*)只有零解 k1=k2=ks=0，从而 1， 2 s 线性无关，此时 12 s 也为Ax=0 的一个基础解系【试题解析】 本题考查齐次线性方程组的
30、基础解系的概念和向量组线性相关性的概念和判定【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 设有一组数 k，k 1，k 2，k t 使得即 再由于 1,2 t 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，所以该向量组1,2 t 线性无关，从而有 k1=k2=kt=0；再由(2)可知 k=0因此，向量组，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【试题解析】 本题考查向量组线性相关的概念和如何利用线性方程组证明向量组的线性相关性【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 必要性：设三直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则线性方程组充分性：由 a+b+c=0，则B=0，故秩 r(B)3由于故秩 r(A)=2于是，秩
31、r(A)=秩 r(B)=2因此方程组(1)的唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点【试题解析】 本题考查点是解析几何与线性代数相应内容的关系问题，即平面上三条不同直线交于一点与对应的线性方程组系数矩阵的秩的关系【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 设方程组(I)与( )的系数矩阵分别为 A 和 B，则由(I)的基础解系可知 ABT=O，于是 BAT=(ABT)T=O，所以 A 的 n 个行向量的转置也是方程组()的 n 个解向量 由于(b 11,b12，b 1,2n)T，(b n1，b n2，b n,2n)T， ，(b n1,bn2，b b,2n)T 为方程组(I) 的基础解系
32、，所以该向量组线性无关，故r(B)=n，从而方程组 ()的基础解系解向量的个数为 2nn=n 又由于方程组(I)的未知数的个数为 2n，基础解系解向量的个数为 n，所以方程组(I)的系数矩阵的秩r(A)=n，于是 A 的 n 个行向量的转置是线性无关的，从而构成方程组() 的一个基础解系，于是方程组() 的通解为 y=k1(a11，a 12， ，a 1,2n)T+k2(a21，a 22，a 2,2n)T+kn(an1，a n2，a n,2n)T，其中 k1，k 2，k n 为任意常数【试题解析】 本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构以及方程组系数矩阵的秩与基础解系中解向量个数的关系
33、【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 (1)由题设条件可知 =(1，一 2， 3)T 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系，所以 r(A)=31=2；=(1，2，一 1)T 为非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解于是有由(1)可得 1=2233，即 1 可用 2,3 线性表示，则 2,3 线性无关，否则 r(1,2,3)=1 与 r(A)=2 矛盾，所以 1,2,3 的一个极大线性无关组可取为 2,3.由(2)可得 b= 1+22 一 3=42一 43【试题解析】 本题是抽象型非齐次线性方程组的典型情形只要从题设条件求得对应齐次线性方程组 Ax=0 的一
34、个基础解系与非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解即可其中一个关键问题仍是确定系数矩阵 A 的秩，由此可知基础解系中包含线性无关解向量个数【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 (2)因故r(1,2,3，b+ 3)=r(1,2,3，b+ 3， 1 一 2)=24，即非齐次方程组 Bx=1 一 2 有无穷多组解因 故 *=(1，一 1，0，0) T 为Bx=12 的一个特解又由于 r(2， 3)=2，所以 Bx=0 与 的通解为x=k1(1，一 2，3，0) T+k2(0，4，一 3，一 1)T，其中 k1，k 2 为任意常数故 Bx=1一 2 的通解为 x=k1(1，一 2，3，0) T+
35、k2(0，4，一 3，一 1)T+(1，一 1，0，0) T，其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 由题设 =1,2 n，可得 则向量=(1，1，1) T 是方程组 Ax= 的解，由此知方程组 Ax= 有解，故 r(A)=r(A， )由题设知 1,2 n-1 线性相关，推得 1,2 n 线性相关，而又由题设知 1,2 n 线性无关，所以向量组 1,2 n 的秩为 n 一 1，从而 r(A)=n 一1综上可知，r(A)=r(A，)=n 一 1n故方程组 Ax= 有无穷多组解，并且其对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由 n 一(n 一 1)=1 个非零解组
36、成又由1,2 n-1线性相关可知，存在不全为零的数 1,2 n，使 11+22+ n-1n-1=0由此推得 所以非零向量( 1， 2， n-1，0) T 是 Ax=0 的解，因而是 Ax=0 的一个基础解系，故 Ax= 的通解x=k(1， 2， n-1，0) T+(1，1，1，1) T，其中 k 为任意常数，且显见 an=1【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组通解的结构和向量组线性相关性的有关理论是一道抽象方程组求解的证明题【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由 2,3,4 线性无关和 1=22 一 3 知矩阵 A 的秩为 3，因此 Ax=0的基础解系中只有一个解向量由 1 一 22
37、+3+04=0 得 即齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系为 再由知 为非齐次线性方程组 Ax= 的一个特解，于是 Ax= 的通解为【试题解析】 本题考查抽象非齐次线性方程组的求解问题所涉及的知识点是(1)向量组线性相关性的判定向量组 1,2 m 线性相关 向量组中至少有一个向量能用其余的 m1 个向量线性表示；若 1,2 r 线性相关，则1， ， r， r+1， m 仍线性相关(2)向量组极大无关组和秩概念r(A)=A 的列秩=A 的行秩(3) 未知数的个数(n)一系数矩阵的秩 r(A)=基础解系解向量的个数(4)非齐次线性方程组通解的结构若 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=r，则
38、Ax=b 通解 x=k11+k22+kn-rn-r+ *【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 由于 AB=O，故 r(A)+r(B)3，又由 a，b，c 不全为零，可知 r(A)1当 k9 时，r(B)=2 ，于是 r(A)=1；当 k=9 时，r(B)=1 ，于是 r(A)=1 或 r(A)=2对于 k9，由 AB=O 可得 由于 1=(1，2，3)T， 2=(3，6， k)T 线性无关，故 1， 2 为 Ax=0 的一个基础解系，于是 Ax=0 的通解为 x=x11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数对于 k=9，分别就 r(A)=2 和 r(A)=1 进行讨论如果 r(A)=2
39、，则 Ax=0 的基础解系由一个向量构成又因为 所以Ax=0 的通解为 x=c1(1，2，3) T，其中 c1 为任意常数如果 r(A)=1，则 Ax=0 的基础解系由两个向量构成又因为 A 的第一行为(a，b，c)且 a，b，c 不全为零，所以 Ax=0 等价于 ax1+bx2+cx3=0，不妨设 a0， 1=(一 b，a，0) T， 2=(一 c，0，a) T是 Ax=0 的两个线性无关的解，故 Ax=0 的通解为 x=c44+c55，其中 c4，c 5 为任意常数【试题解析】 本题考查抽象齐次线性方程组的求解问题主要是将矩阵方程转化成线性方程组 并注意运用 AB=O，则 r(A)+r(B
40、)n未知数的个数(n)一系数矩阵的秩 r(A)=基础解系解向量的个数齐次线性方程组通解的结构，若 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=r，则通解 x=k11+k22kn-rn-r【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 x=k 11+k22+k33其中 k1，k 2， k3 为任意常数【试题解析】 本题考查抽象矩阵求秩及抽象方程组求解由题设可知 r(A)=r(1,2,3,4)=3，且 1,2,3 为极大线性无关组，由于 r(A)=3，所以 r(A*)=1，知A*x=0 的基础解系中含有 3 个线性无关的解向量又 A*A=A E=O，即 A 的列向量 1,2,3,4 均为 A*x=0 的
41、解，且 1,2,3 为其基础解系，所以 A*x=0 的通解为x=k11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 设 1， 2， 3 是该方程组的 3 个线性无关的解，则1 2， 1 3，是对应齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，因而 4 一 r(A)2，即 r(A)2又 A 有一个二阶子式 ，于是 r(A)2，因此 r(A)=2【试题解析】 本题考查含参数非齐次线性方程组的求解问题要求考生掌握向量组线性相关性的定义和证明；齐次线性方程组基础解系的概念；未知数的个数(n)一系数矩阵的秩 r(A)=基础解系
42、解向量的个数【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 对增广矩阵 B 施行初等行变换，有因 r(A)=2，故 42a=0，4a+b-5=0，解得 a=2，b=一 3此时， 由此可得方程组的通解为其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 由题设得 又 A2=TT=(T)T=2A，A 4=8A，代入原方程，得 16Ax=8Ax+16x+，即 8(A 一2E)x= 令 x=(x1，x 2，x 3)T，代入上式，得到非齐次线性方程组 解得方程组的通解为 其中 k 为任意常数【试题解析】 本题主要考查矩阵运算及线性方程组的求解问题先计算矩阵A，B，再计算 A2，B 2，
43、B 4，然后把所给的方程组化简，最后代入数字求解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 对线性方程组 Ax= 的增广矩阵作行的初等行变换，有因为方程组 Ax= 有解但不唯一，所以 r(A)=r(A，)3，故 a=一 2【试题解析】 本题主要考查线性方程组有解的判别条件，以及利用正交矩阵将 A化为对角矩阵的方法【知识模块】 线性方程组32 【正确答案】 由(1)，有 由EA =( 一 3)(+3)=0，故A 的特征值为 1=3， 2=一 3， 3=0对应的特征向量依次是 1=(1，0，一 1)T， 2=(1，一 2，1) T， 3=(1，1，1) T将 1,2,3 单
44、位化，得【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组33 【正确答案】 将A按第 1 列展开，得【试题解析】 本题主要考查非齐次线性方程组有解的判定及通解的结构是一道综合性试题【知识模块】 线性方程组34 【正确答案】 若方程组 Ax= 有无穷多组解，则A =0由(1)可得 a=1 或 a=一 1当 a=1 时， 于是 r(A)r(A，)，故方程组 Ax= 无解当 a=一 1 时，于是 r(A)=r(A，)=3 4，故方程组 Ax= 有无穷多组解，其通解为【知识模块】 线性方程组35 【正确答案】 设 则 ACCA=B 成立的充分必要条件为对方程组的增广矩阵施以初等行变换得 当 a一 1
45、或 b0 时，方程组(*)无解当 a=一 1 或 b=0 时，方程组(*) 有解，通解为综上，当且仅当 a=一 1 或 b=0 时，存在满足条件的矩阵 C，且【试题解析】 本题考查解矩阵方程要求考生会将矩阵方程转化为非齐次线性方程组求解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组36 【正确答案】 对方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 施以初等行变换，得显然，A 的秩 r(A)=34，所以方程组有无穷多组解，且等价于下面的方程组： 于是，方程组 Ax=0的通解为 其中 c 为任意常数故方程组 Ax=0 的基础解系为【试题解析】 本题是一道综合性试题，主要考查齐次线性方程组基础解系的概念，方程组解的求法以及矩阵方程的解法求解本题要求考生掌握齐次线性方程组系数矩阵的秩；齐次线性方程组基础解系 1， 2， n-r；非齐次线性方程组通解的结构：x=k 11+k22+kn-rn-r+ *，其中 *为对应非齐次线性方程组的一个特解【知识模块】 线性方程组37 【正确答案】 设 B=(1， 2， 3)，其中 1， 2， 3 为 4 维列向量，E=(e1，e 2，e 3)，其中 e1，e 2，e 3 为 3 维单位列向量，于是由 AB=E，知A1=e1，A 2=e2，A 3=e3，所以【知识模块】 线性方程组
