1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 Q 方阵 P330，而 PQO，则 【 】（A）t6 时，必有秩(P)1（B） t6 时，必有秩(P)2（C） t6时，必有秩 (P)1（D）t6 时，必有秩(P)22 设非齐次线性方程组 Ab 有两个不同解， 1 和 2 其导出组的一个基础解系为1， 2，c 1，c 2 为任意常数，则方程组 Ab 的通解为 【 】（A）c 11c 2(1 2) (1 2)（B） c11c 2(1 2) (1 2)（C） c11c 2(1 2) (1 2)（D）c 11c 2(1 2) (1
2、 2)3 设 1(1 ， 0，2) T 及 2(0，1，1) T 都是线性方程组 A0 的解，则其系数矩阵 A 【 】（A）（B）（C）（D）4 设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 A0 仅有零解的充要条件是 A 的 【 】（A）列向量组线性无关（B）列向量组线性相关（C）行向量组线性无关（D）行向量组线性相关5 设齐次线性方程组 的系数矩阵为 A且存在 3 阶方阵BO使 ABO，则 【 】（A）2 且B0（B） 2 且B0 （C） 1 且B0（D）1 且B06 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)mnb 为任一 m 维列向量，则 【 】（A）线性方程组 Ab 必无解（B）线性方程组 Ab
3、必有唯一解（C）线性方程组 Ab 必有无穷多解（D）A 的任意 m 个列向量都线性无关7 设矩阵 Amn 的秩为 r，对于非齐次线性方程组 AXb， 【 】（A）当 rm 时，Ab 必有解（B）当 rn 时，Ab 必有唯一解（C）当 mn 时，A b 必有唯一解（D）当 rn 时，Ab 必有无穷多解8 设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 3 个解向量，且秩(A)3， 1(1 ， 2，3，4) T， 2 3(0 ，1，2，3) T， c 表示任意常数，则线性方程绢Ab 的通解 【 】（A）（B）（C）（D）9 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性
4、方程组()：A 0 和()：ATA0，必有 【 】（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解10 设有齐次线性方程组 A0 和 B0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 【 】若 A0 的解均是 B0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(b)，则 A0 的解均是 B0 的解；若 A0 与 B0 同解，则秩 (A)秩(B)；若秩(A)秩(B) ，则 A0 与 B0 同解以上命题中正确的是（A）（B） （C）
5、（D）11 设 A 是 n 阶矩阵，a 是 n 维列向量，且秩 秩(A)则线性方程组 【 】（A）A 必有无穷多解（B） A 必有唯一解（C） 0 仅有零解（D） 0 必有非零解12 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ab的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 A0 的基础解系 【 】（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量二、填空题13 设 其中 a1，a 2，a 3，a 4，a 5是两两不同的一组常数，则线性方程组 ATXB 的解是 _14 若方程组 有解，则常数 a1，a 2，a
6、3，a 4 应满足的条件是_15 若 3 阶非零方阵 B 的每一列都是方程组 的解，则_，B_ 16 设 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为零，且秩(A)n1，则齐次线性方程组AX0 的通解为_17 已知线性方程组 无解，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设向量 1(1 ，0，2， 3)， 2(1，1，3，5)， 3(1，1，a2，1)，4 (1，2，4 ，a 8)， (1，1，b3，5)问：a ，b 为何值时， 不能用1， 2， 3， 4 线性表示； a，b 为何值时， 能用 1， 2， 3， 4 线性表示，并写出该表达式19 问 a、b 为何值时，线性方程组
7、无解、有唯一解、有无穷多解? 并求有无穷多解时的通解20 为何值时，线性方程组 有解? 并求其全部解21 设 4 元线性方程组()为 ，又已知某齐次线性方程组()的通解为 k1(0，1，1，0) k 2(1，2，2，1) (1)求线性方程组( )的基础解系； (2)问线性方程组()和()是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由22 已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11，b 12，b 1，2n )T，(b 21，b 22，b 2，2n )T，(b n1，b n2，b n，2n )T 试写出线性方程组 的通解，并说明理由23 设 1， 2， ， s 为线性方程组
8、 A0 的一个基础解系，1t 11t 22， 2t 12t 23， st 1st 21，其中 t1，t 2 为实常数试问t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， s 也为 A0 的一个基础解系24 设有 3 维列向量问 取何值时 (1) 可由 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一? (2) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一? (3) 不能由 1， 2， 3 线性表示?25 已知线性方程组 (1)a、b 为何值时，方程组有解? (2)当方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系 (3)当方程组有解时，求出方程组的全部解26 k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多
9、组解?在有解情况下，求出其全部解27 设有线性方程组 (1)证明：当 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等时，此方程组无解； (2)设 a1a 3k，a 2a 4 k(k0)时，方程组有解1( 1，1，1) T， 2(1 ，1，1) T，写出此方程组的通解28 设矩阵 A、B 的行数都是 m证明：矩阵方程 AXB 有解的充分必要条件是r(A)r(A B)29 设矩阵 X( ij)33 为未知矩阵，问a、b、c 各取何值时，矩阵方程 AB 有解?并在有解时，求出其全部解30 已知齐次线性方程组 其中ai0，试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)
10、方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系31 设 A 为 n 阶方阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明：32 设 1(1 ， 2，0) T， 2(1，a 2，3a) T， 3(1，b2，a26)T， (1，3，3) T，试讨论当 a，b 为何值时， () 不能由 1， 2， 3 线性表示；() 可由 1， 2， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； () 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求表示式33 已知(1 ，1，1，1) T 是线性方程组的一个解，试求 (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足 2 3的全部
11、分34 已知齐次线性方程组同解，求 a，b，c 的值考研数学二（线性方程组）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 B【知识模块】 线性方
12、程组11 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组二、填空题13 【正确答案】 (1，0，0，0，0) T【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 a 1a 2 a3a 40【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 1，0【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 k ，其中 k 作为任意常数【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 1【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 当 a 1，b0 时， 不能用 1， 2， 3， 4 线性表示； 当a 1 时，有唯一的线性表示： 当1，b0 时，
13、有 (2c 1c 2)1(1c 12c 2)2c 13c 24(c1，c 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 当 a1时有唯一解；当 a1 且 b1 时，无解；当 a1 且b1 时，通解为 1 1c 1c 2， 212c 12c 2， 3c 1， 4c 2 (c1，c 2 为任意常数) 或【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 当 1时无解；当 1 时，通解为11c， 212c， 3c(c 为任意常数)【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 (1)由系数矩阵的初等行变换：令31， 40，得 1(0，0，1，0) T；令 30， 41，得 2(1，1，0，1) T
14、，则 1， 2 就是()的一个基础解系 (2)若 是( )和( )的公共解，则存在常数1， 2， 3， 4，使 由此得1， 2， 3， 4 满足齐次线性方程组 解此齐次线性方程组，得其参数形式的通解为 1C ， 2C， 3C， 4C，其中 C：为任意常数故()和()有非零公共解，全部非零公共解为 C(0，0，1，0)T C(1，1，0，1) TC( 1，1，1，1) T，其中 C 为任意非零常数【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 记方程组()、() 的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的 n 个向量就是的 n 个行向量的转置向量因此，由()的基础解系可知 AB T
15、O 转置即得 BAT0 因此可知 AT 的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为 n(B 的行向量组线性无关)，故 ()的解空间的维数为 2nr(B) 2nn n，所以() 的任何 n 个线性无关的解就是()的一个基础解系已知() 的基础解系含 n 个向量，即 2nr(A)n，故 r(A)n，于是可知 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此() 的通解为 yc 1(a11，a 12，a 1，2n )T c2(a21，a 22，a 2，2n )Tc n(an1，a n2，a n，2n )T 其中 c1，c 2
16、，c n 为任意常数【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 由 A0 的解的线性组合都是解知， 1， 2， s 都是 A0的解向量由于已知 A0 的基础解系含 s 个向量，所以，只要 1， 2， s 线性无关，就可作为基础解系，否则不能作为基础解系由于 1， 2， s 由线性无关向量组 1， 2， s 线性表示的系数矩阵为 s 阶方阵故 1， 2， ， s 线性无关 P t1s( 1) 1+st2s，即当 t1，t 2 满足 t1s(1) 1+st2s0(s为偶数时，t1t2；s 为奇数时， t1t 2)时， 1， 2， s 也是 A0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组24 【正确答
17、案】 (1)0 且 3；(2) 1；(3)3【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 (1)a1，b3；(2) 1(1，2，1，0，0)T， 2(1，2，0，1，0) T， 3(5，6，0，0，1) T；(3)(2，3，0，0，0)T c1(1，2，1，0，0) Tc 2(1，2，0，1，0) Tc 3(5，6，0，0，1) T，其中c1，c 2，c 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 (1)当 k1且 k4时，有唯一解：(2)当 k1 时，方程组无解； (3)当 k4 时，有无穷多解，通解为 (0，4，0) Tc( 3，1，1) T【知识模块】 线性方程组27 【正确
18、答案】 (1)此时，增广矩阵的行列式是一个 4 阶范德蒙行列式，不等于零，故 r( )4，而 r( )3故方程组无解；(2)r(A)r( )23，方程组有无穷多解导出组 A0 的基础解系含 3r(A)321 个解向量可取其基础解系为1 2( 2，0，2) T故此方程组的通解为 1c( 1 2)(1，1，1)T c(2，0，2) T【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 设 B、X 按列分块分别为 Bb 1 b2 bp，X 1 1 p，则AXB 即A 1 A2 Apb 1 b2 bp，故 AXB 有解 线性方程组Aj(j1，2，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得 ANB有解 r
19、(A)rA bj(j1，2，p) A 的列向量组的极大无关组也是矩阵A b(j1，2，p) 的列向量组的极大无关组 r(A)rA b 1 b2 bpr(A B)【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A) a1，b2，c1，于是由上题知 AB 有解a1，b 2，C 1此时，对矩阵 D 作初等行变换：于是若将矩阵 B 按列分块为 Bb 1 b2 b3，则得方程组 Ab 1 的通解为： 1(1l ，l，l) T；方程组Ab 2 的通解为： 2(2m，2m，m) T；方程组 Ab 3 的通解为：3(1n， 1n，n) T，所以，矩阵方程 AB 的通解为 1 2
20、3，其中 l，m，n 为任意常数【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 方程组的系数行列式Ab n-1(b ai)，故当A0，即b0且 b ai0时，方程组只有零解当 b0 或 b ai0 时，方程组有非零解当 b0 时，设 a10，由系统矩阵 A 的初等行变换：得方程组的基础解系可取为：当 b ai 0 时，有 b ai0，由系数矩阵的初等行变换：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为： 2 1， 3 1， n 1(1 任意) ，令自由未知量 11， 则方程组的基础解系可取为 (1，1，1) T【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 当秩(A)n 时，A *A n-10，故秩(A *
21、)n当秩(A)n1 时，A0 且 A 中至少有某个元素的代数余子式不等于零， A*O，秩(A *)1，再由 A*A AEO 知，A 的列向量均为方程组 A*0 的解向量，n秩(A *)秩(A) n 1， 秩(A *)1，综合前已证过的秩(A *)1，得秩(A *)1若秩(A)n2，则 A 的每个元素的代数余子式都为零， A*O， 秩(A *)0【知识模块】 线性方程组32 【正确答案】 设有一组数 1， 2， 3，使得 11 22 33 (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当 a0，b为任意常数时，有 可知 r(A)r( )，故方程组(*)无解，不能由 1， 2， 3 线性表
22、示 (2)当 a0，且 ab时，r(A)r( )3，方程组(*)有唯一解： ， 30故此时 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示为： (3)当 ab0 时，对 施行初等行变换：可知 r(A)r( )2，故方程组(*)有无穷多解，通解为， 3c ，其中 c 为任意常数故此时 可由 1， 2， 3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为 2c 3【知识模块】 线性方程组33 【正确答案】 将解向量 (1，1，1，1) T 代入方程组，得 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：(1)当 时，有 因 r(A)r( )34，故方程组有无穷多解，全部解为 (0， ，0) Tk(2，1，1，2) T，其中 k 为任
23、意常数 当 时，有 因 r(A)r( )24，故方程组有无穷多解，全部解为 ( ，1，0，0) Tk 1(1，3，1，0)T k2(1， 2，0，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数 (2)当 A 时，由于 1 2，即 k，解得 k ，故此时，方程组的解为 (2，1，1) T(1，0，0，1) T 当 时，由于2 3，即 13k 12k 2 k1，解得 k2 2k 1，故此时全部解为( ，1，0，0) Tk 1(1，3，1，0) T( 2k 1)(1，2，0，2)T (1，0， 0，1) Tk 1(3，1，1，4) T【知识模块】 线性方程组34 【正确答案】 方程组(ii)的未知量个数大
24、于方程的个数，故方程组(ii)有无穷多个解因为方程组(i) 与(ii) 同解，所以方程组(i)的系数矩阵的秩小于 3由此得a2 此时，方程组 (i)的系数矩阵可通过初等行变换化为由此得(1，1，1) T 是方程组(i)的一个基础解系 将 1 1， 2 1， 31 代入方程组(ii)可得 b1，c2 或b0，c1 当 b1，c2 时，对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换，有比较(1)式与(2)式右边的矩阵可知，此时方程组(i)与(ii)同解 当 b0，c1 时，方程组(ii)的系数矩阵可通过初等行变换化为比较(1)与(3)右边的矩阵可知，此时方程组(i)与(ii)的解不相同 综上所述，当 a2，b1，c2 时，方程组(i)与(ii)同解【知识模块】 线性方程组
