1、考研数学二（行列式）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 四阶行列式 的值等于( )（A）a 1a2a3a4 一 b1b2b3b4。（B） a1a2a3a4+b1b2b3b4。（C） (a1a2 一 b1b2)(a3a4 一 b3b4)。（D）(a 2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4)。2 设 ，且A =m ，则B=( )（A）m。（B）一 8m。（C） 2m。（D）一 2m。3 设 1， 2， 3， 1， 2 均为四维列向量，且A= 1， 2， 3， 1=m，B= 1， 2， 2， 3=n，则 3， 2， 1，( 1+2)=
2、( )（A）m+n 。（B） m 一 n。（C）一 (m+n)。（D）nm。4 设 A=(1， 2， 3)是三阶矩阵，则A=( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1。（B） 1+2， 2+3， 3+1。（C） 1+22， 3， 1+2。（D） 1， 2+3， 1+2。5 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=0，则B+E=( )（A）一 6。（B） 6。（C） 。（D） 。二、填空题6 行列式 =_。7 行列式 =_。8 设三阶行列式 D3 的第二行元素分别为 1、一 2、 3，对应的代数余子式分别为一3、2、1，则 D3=_。9 已知三阶行列式 =_。10 设 A=
3、(1， 2， 3)是三阶矩阵，且A=4 。若 B=(1 一 32+23， 223，2 2+3)，则B=_。11 设 A= ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=0，则B+E =_。12 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则D= =_。13 设三阶方阵 A 与 B 相似，且2E+A =0 。已知 1=1， 2=一 1 是方阵 B 的两个特征值，则A+2AB =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算行列式 。15 计算行列式 。16 计算：D 2n= ，其中未写出的元素都是 0。17 设 n 阶矩阵 A= 。证明：行列式 A=(n+1)a n。18 计算
4、Dn= 。19 设矩阵 A= ，三阶矩阵 B 满足 ABA*=EBA1 ，试计算行列式B 。考研数学二（行列式）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据行列式的按 k 行(列)展开法则，将此行列式第二、三行 (列)展开，得 D= =(a2a3b2b3)(a1a4b1b4)，所以应选 D。【知识模块】 行列式2 【正确答案】 D【试题解析】 将行列式A的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式B。由行列式的性质知B=一 2A =一 2m。【知识模块】 行列式3 【正确答案】
5、D【试题解析】 由行列式运算法则 3， 2， 1，( 1+2)= 3， 2， 1， 1+ 3， 2， 1， 2，且 3， 2， 1， 2=一 1， 2， 3， 2= 1， 2， 2， 3= B=n ， 故可得 3， 2， 1，( 1+2)=一A+B=一 m+n。【知识模块】 行列式4 【正确答案】 C【试题解析】 1+22， 3， 1+2= 1， 2， 3 =A。故选C。【知识模块】 行列式5 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=一E，即 (A+E)(B+E)=一 E，两边取行列式，由行列式乘法公式得A+E BE=1，又A+E
6、= =一12，故B+E= ，因此应选 C。【知识模块】 行列式二、填空题6 【正确答案】 一 2(x3+y3)【试题解析】 将后两列加到第一列上【知识模块】 行列式7 【正确答案】 120【试题解析】 将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即原式=10(21)(3 一 1)(4 一 1)(32)(42)(43)=120。【知识模块】 行列式8 【正确答案】 一 4【试题解析】 根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3=a21A21+a22A22+a23A23=1(一 3)+(一 2)2+31=
7、一4。【知识模块】 行列式9 【正确答案】 【试题解析】 结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即【知识模块】 行列式10 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 B= 132+23， 223，5 3=5 132+23， 2 一 23， 3 =5 132， 2， 3=5 1， 2， 3=5A =20。【知识模块】 行列式11 【正确答案】 【试题解析】 由 AB+B+A+2E=O 可知 A(B+E)+B+E=一 E，也即(A+E)(B+E)=一E。取行列式可得A+E B+E=E=1，由于A+E=一 12，故B+E = 。【知识模块】 行列式
8、12 【正确答案】 【试题解析】 根据行列式按行(列)展开法则，得 D=(一 1)33A。【知识模块】 行列式13 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=0，可得一 2EA=0，即 =一 2 是 A 的一个特征值。 因 A 与 B 相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1=1， 2=一 1 也是A 的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1=1， 2=一 1， 3=一 2，则 E+2B 的三个特征值分别为 3，一 1，一 3。从而可得A= 123=2，E+2B=3(一 1)(一3)=9，故A+2AB =A(E+2B)=AE+2B=18 。【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明
9、、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 把第一行的一 1 倍分别加至其余各行，然后将第 2n 列依次加至第一列，得【知识模块】 行列式15 【正确答案】 把第一行的一 1 倍分别加至其余各行得【知识模块】 行列式16 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。=andnD2n2 一 bncnD2n2 。由此得递推公式 D2n=(andn 一 bncn)D2n2 。按递推公式逐层代入得 D2n= (aidibici)D2，而 D2= =a1d1 一 b1c1，因此原行列式D2n= (aidibici)。【知识模块】 行列式17 【正确答案】 数学归
10、纳法。记 Dn=A= ，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an。当 n=1 时，D 1=2a，结论成立。当 n=2 时，D 2=3a2，结论成立。假设结论对小于 n 的情况成立，将 Dn 按第一行展开，则有 Dn=2aDn1 一 =2aDn1 a2Dn2 =2anan1 一 a2(n一 1)an2 =(n+1)an，故A =(n+1)a n。【知识模块】 行列式18 【正确答案】 将第一行的一 1 倍加到其余各行可得 Dn=。当 n3 时，上述行列式第 2 到 n 行是成比例的，故 Dn=0。当 n=2 时，D n= =(x1 一 x2)(y1y2)。当 n=1时，D n=1+x1y1。【知识模块】 行列式19 【正确答案】 矩阵方程中出现了矩阵 A 的伴随矩阵 A*与 A1 ，故考虑先将等式化简。由于 A*A=AE=2E，A 1 A=E，故在等式 ABA*=EBA1 两边同时右乘A，可得 2AB=AB，则有(2A+E)B=A 。以上等式两边取行列式得2A+EB= A=2，易求得2A+E =55 ，因此B= 。【知识模块】 行列式
