1、考研数学（数学一）模拟试卷 273 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为 R 上不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 g(x)=f(x)/x( )。（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=02 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且( y，(x，y)0 ，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0
2、)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)03 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )（A）Cy 1(x)-y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)-y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)4 下列各选项正确的是( ) 5 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 则(
3、 )（A）C=P -1AP（B） C=PAP-1（C） C=PTP（D）C=PAP T6 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1+2， 3+3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1-32+23，3 1+52+337 设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量，X 1 与 X2 的分布函数，为使 F(x)=aF1(x)一 bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( )8 设两个随机变量 X 与 Y 独立同分布，PX=-1=PY=-1=1/2，PX=1=P
4、Y=1=1/2，则下列各式中成立的是( ) （A）PX=Y=1/2（B） PX=Y=1（C） PX+Y=0=1/4（D）PXY=1=1/4二、填空题9 设常数 a1/2,则 =_10 方程 所确定的函数 z=z(x，Y) 在点(1，0，-1)处的全微分 dz=_11 微分方程 y+y=-2x 的通解为_12 =_13 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 E 为单位矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，则 B=_14 设总体 X 的概率密度为 f(x)=(1/2)e-x (-x)，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，其样本方差 S2，则 E(S2)=_三、解答题解答应写
5、出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 问函数 f(x)在 x=1 处是否连续?若不连续，修改函数在 x=1 处的定义使之连续16 17 从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2 于点 Q1(1，1)，再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P2，然后又从 P2 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点 P1，Q 1，P 2，Q 2，P n，Q n，()求() 求级数 的和，其中 n(n1)为自然数，而 表示点 Qi 与 Pi 之间的距离18 设 f(x)在0，1上二阶可导且， f(x)0，证明：19 在变力 F=yzi+zxj+xyk的
6、作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点 M(，)，问当 、 、 取何值时，F 所做的功 W 最大，并求出 W 的最大值20 考虑二次型 f=x12+4x22+4x32+2x1x2-2x1x3+4x2x3，问 取何值时，f 为正定二次型21 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 a1=(-1，2，-1) T，a 2=(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A； ()求 A 及(A-(3/2)E) 6，其中 E 为三阶单位矩阵22 设 X1，X 2，X 9 是来自正态总体
7、 X 的简单随机样本，证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布23 假设随机变量 X1、X 2、X 3、X 4 相互独立，且同分布，PX i=0=06，PX i=1=04(i=1 ，2，3，4)，求行列式 的概率分布.考研数学（数学一）模拟试卷 273 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，f(-x)=-f(x)，则有 f(0)=0，从而 f(0)=即 g(x)在 x=0 处极限存在，但 x=0 时 g(x)无定义，因此可补充定义 g(0)=f(0)，则 g(x)在 x=0 处连续综上，g(x)有可去间断点 x=
8、0，所以选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 依题意知(x 0，y 0)是拉格朗日函数，F(x，y，)=f(x，y)+(x，y) 的驻点，因为 y(x0，y 0)0，所以从(2)式可得 代入(1)式得 fx(，)-即 fx(x0，y 0)y(x0，y 0)=z(x0，y 0)fy(x0，y 0)当fy(x0，y 0)0 且 y(x0，y 0)0 时，f x(x0，y 0)y(x0，y 0)0，从而厂 fy(x0，y 0)0，故选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y 1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 的一个非零解，又 y
9、1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知 y1(x)+Cy1(x)-y2(x)是原非齐次线性微分方程的通解，其中 C 为任意常数，故选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 (u n+un)n=un2+2unvn+vn2(un2+vn2)，所以 (A)是答案5 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件，用初等矩阵描述有故选(B) 6 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，观察四个选项： 关于(A)，由于 (1+2)-(1+2)+(3+1)=0，则 1+2， 2+3， 3+1 线性相关关于(B)，由于 (1+2)+(1+2)-(1+22+3)=0，则 1+2， 2
10、+3， 1+2+3 也线性相关，关于(C)，由定义，设有一组数k1，k 2，k 3，使得 k1(1+22)+k2(22+33)+k3(33+1)=0 即(k 1+k3)1+(2k1+2k2)2+(3k2+3k3)3=0，由已知 1， 2， 3 线性无关，则 该方程组的系数矩阵的行列式为 从而 k1=k2=k3=0，由此知(C)中向量组线性无关而由同样的方法，建立关于(D)中向量组相应的方程组，可计算出系数矩阵的行列式为 0，则(D)中向量组线性相关综上选 (C)7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查分布函数的性质，即 则由题意得所以 a-b=1，四个选项中只有(A)的a，b 满足上式的条件
11、，所以选(A)8 【正确答案】 A【试题解析】 由于X=Y=X=1 ，Y=1X=-1，Y=-1，且由题设知 X 与 Y 独立同分布，则 PX=Y=PX=1，Y=1+PX=-1，Y=-1 =PX=1PY=1+PX=-1PY=-1 =(12) 2+(12) 2=12， PX+Y=0=PX=1，Y=-1+PX=-1，Y=1 =2PX=1PY=-1=2(12) 2=12， PXY=1=PX=1，Y=1+PX=-1，Y=-1=1 2综上，选(A)二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 【试题解析】 这是求隐函数在某点的全微分，这里点(1，0，-1)的含意是z=z(1，0)=-1，将方程两边求全微
12、分，由一阶全微分形式不变性得再由全微分四则运算法则得令 x=1，y=0 ，x=-1 得11 【正确答案】 y=c 1cosx+c2sinx-2x【试题解析】 特征方程 2+1=0=i 于是齐次方程通解为 设特解为 y*=Ax，代入方程得 y*=-2x，所以 y=c1cosx+c2sinx-2x12 【正确答案】 2/3【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由公式AA*=A*A=AE 化简矩阵方程 A*BA=2BA-8E即分别以 A 左乘该方程，以 A-1右乘该方程得-2B=2AB-8E从而 2(A+E)B=8E，即(A+E)B=4E，因此 B=4(A+E)-1，14 【正确答案】 2
13、【试题解析】 因为样本方差 s2 是总体方差的无偏估计，所以 E(S2)=D(x)=2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 若令 f(1)=-(4/2)，则函数在 x=1 处连续16 【正确答案】 观察知道，此题为“0/0”型但不能用洛必达法则求解应该以去掉分子中的模符号“ ”为化简方向17 【正确答案】 () 依题意画图(如图) 由 y=x2 得y=2x，任给 a(0a1) ，抛物线 y=x2 在点(a，a 2)处的切线方程为 y-a2=2a(x-a)，该切线与 x 轴的交点为(a 2，0) ，18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 先写出在变力 F 的
14、作用下质点由原点沿直线运动到点M(，)时所作的功 W 的表达式点 O 到点 M 的线段记为 L，则W=LFds= Lyzdx+zxdy+xydz()计算曲线积分：L 的参数方程是x=t，y=t ，z=t，t 0，1 ()化为最值问题并求解：问题变成求 W= 在条件 2/a2 + 2/b2 + 2/c2=1(0，0 ，0)下的最大值与最大值点用拉格朗日乘子法求解20 【正确答案】 二次型 f 的矩阵为 二次型 f 正定的充分必要条件是 A 的顺序主子式全为正，事实上，A 的顺序主子式为：D 1=10，D 2=4-2 =-42-4A+8=-4(-1)(+2)于是，二次型f 正定的充分必要条件是 D
15、20，D 30，由 D2=4-20 得-2 2，由 D3=-4(-1)(+2)0 得-21于是，二次型 f 正定当且仅当-2121 【正确答案】 () 依题意，因为 A= 所以 3 是矩阵 A 的一个特征值，a=(1，1，1) T 是 A 属于 3 的特征向量，又因为Aa1=0=0a1，Aa 2=0=0a2，所以 a1，a 2 是矩阵 A 属于 =0 的特征向量，所以 A 的特征值是 3、0、0，且 =0 的特征向量为 k1(-1，2，-1) T+k2(0，-1，1) T(k1，k 2 是不全为 0 的常数)，=3 的特征向量为 k=(1，1，1) T(k0 为常数)()由于 a1，a 2 不
16、正交，所以要做 Schmidt 正交化： 1=a1=(-1，2，-1) T，22 【正确答案】 由题设，Y 1 是样本(X 1+X6)的样本均值，Y 2 是样本(X7，X 8，X 9)的样本均值， S2 是样本(X 7，X 8，X 9)的样本方差，设|D(x)= 2E(x)=，则 E(Y1)=E(Y2)=，且有 D(Y1)=(1/6)2，D(Y 2)=(1/3)2，已知 Y1 与 Y2 独立，且E(Y1-Y2)=0，又由正态总体样本方差的性质知 服从自由度为 2 的 X2 分布，因为 Y1 与S2 独立，Y 2 与 S2 独立，因而 Y1-Y2 也与 S2 独立，由服从 t 分布的随机变量的结
17、构可知 服从自由度为 2 的 t 的分布23 【正确答案】 记 Y1=X1X4，Y 2=X2X3，则 X=Y1-Y2，且 Y1，Y 2 独立同分布： PY1=1=PX1=1，X 4=1=PX1=1PX4=1=016=PY 2=1；PY 1=0=1-PY1=1=084=PY 2=0。 X=Y 1-Y2 的所有可能取值-1、0 、1，且 PX=-1=PY 1-Y2=-1=PY1=0，Y 2=1=PY1=0PY2=1=084016=01344： PX=1=PY 1-Y2=1=PY1=1，Y 2=0=PY1=1PY2=0=016084=01344； PX=0=1-201344=07312于是行列式的概率分布【试题解析】 X 由二阶行列式表示，实际上是随机变量 X1、X 2、X 3、X 4 的函数，仍是一个随机变量，且 X=X1X4-X3X2，根据 X1、 X2、X 3、X 4 独立同分布，有X1X4 与 X3X2 独立同分布，因此可先求出 X1X4 与 X2，X 3 的分布律，再求 X 的分布律
