1、考研数学（数学一）模拟试卷 285 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =2，则( ) （A）a=-(5/2)（B） a=5/2（C） a=-2（D）a=22 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)=( )（A）-1（B） 01（C） 1（D）053 设：x 2+y2+z2=1(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则( )4 设 F(x)= ，其中 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0，f (0)0，则 x=0 是 F(x)的( )（A）连续点
2、（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定5 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 a 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P -1a（B） PTa（C） Pa（D）(P -1)Ta6 设 A 为三阶方阵，A 1，A 2，A 3 表示 A 中三个列向量，则 A=( )（A）A 3，A 2，A 1（B） A1+A2，A 2+A3， A3+A1（C） -A1，A 2，A 3（D）A 1，A 1+A2，A 1+A2+A37 设 X1，X 2 为来自正态总体 N(， 2)的样本，则
3、 X1+X2 与 X1-X2 必( )（A）线性相关（B）不相关（C）相关但非线性相关（D）不独立8 设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 FX(x)，F Y(y)，则Z=min(X，Y) 的分布函数是( )（A）F Z(z)=maxFX(x)，F Y(y)（B） FZ(z)=minFX(x)，F Y(y)（C） FZ(z)=1-1-FX(x)1-FY(y)（D）F Z(z)=FY(y)二、填空题9 极限 =_10 函数 u=ln(x2+y2+z2)在点 M(1，2，-2)处的梯度 gradu M=_11 z=arctan ，则 dz=_12 设 f(x，y)连续，且 f(x，y
4、)=xy+ ，其中 D 由 y=0，y=x 2 及 x=1 围成，则 f(x，y)=_13 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1-E=_ 14 设总体 X 的概率密度为 f(x，)= ，而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(x)在(-，+) 内可导，且，求 c 的值16 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足求17 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y) 处在曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数(Q
5、 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在(1，1)处在切线与x 轴平行18 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明： ()存在 (a，b)，使得 f()=g()； ()存在(a， b)，使得 f()=g()19 设曲线方程为 y=e-x(x0) ()把曲线 y=e-x(x0)、x 轴、y 轴和直线 x=(0)所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，求满足V(a)= ()在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积20 设 A 为 n 阶非
6、奇异矩阵，a 是 n 维列向量，b 为常数，P=()计算 PQ；()证明 PQ 可逆的充分必要条件是aTA-1ab21 设有 n 元实二次型 f(x1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn+anx1)2，其中ai=(i=1，2，n)为实数，试问：当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次型f(x1，x 2， xn)为正定二次型?22 假设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X
7、 有如下关系：T= 问平均内径肛取何值时，销售一个零件的平均利润最大 ?23 设 ，求矩阵 A 可对角化的概率考研数学（数学一）模拟试卷 285 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 函数微分的函数增量的线性主部所以本题就是已知微分值、自变量 x 的增量，反过来求函数的导数值 f(1) 因为 dy=f(x2)dx2=2xf(x2)dx，所以得01=-2f (1)(-01) ，即 f(1)=05，选(D)3 【正确答案】 C【试题解析】 因为曲面关于平面 xOz，yOz 对称，所以注意到 ，故选
8、(C)4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，知 F(0)=f(0)=0，可见 F(x)在 x=0 处的极限存在但不等于在此点的函数值，为第一类(可去)间断点，故应选(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 a 是 A 的属于特征值 的特征向量，所以 Aa=a 矩阵(P -1AP)T 属于特征值 A 的特征向量 必满足(P -1AP)T= 将 =PTa 代入上式得(P -1AP)T(PTa)=PTAT(P-1)TPTa=PTAT(PT)-1PTa=PTAa=(PTa)故选(B)6 【正确答案】 D【试题解析】 由行列性质，用排除法 设 A=(A1，A 2，A 3)，则A=A 1，A 2，
9、A 3，由行列式性质A 3，A 2，A 1=- A 1，A 2，A 3， 故(A)不对； -A1，-A 2，-A 3=-A 1，A 2，A 3，故(C)不对； A 1+A2，A 2+A3，A 3，A 1=2A 1，A 2，A 3故(B)不对 所以，此题正确答案应为(D)7 【正确答案】 B【试题解析】 假设 Y1=X1+X2，Y 2=X1-X2 所以 E(Y2)=E(X1)-E(X2)=0 cov(Y 1，Y 2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=E(X12-X22)=E(X12)-E(X22)=0(B)是答案8 【正确答案】 C【试题解析】 F z(z)=PZz=Pmin(X，Y)z=
10、1-Pmin(X，Y)z =1-Pxz ，Yz =1-PXzPYz =1-1-FX(x)1-FY(y) 故应选(C) 二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 xy+ 1/8【试题解析】 13 【正确答案】 24【试题解析】 由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同， 即 B 的特征值也为12、13、14、15，从而 B-1-E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1-E=1234=2414 【正确答案】 1+【试题解析】 本题考查矩估计量的求法，由题设，三、解答题解答应写出文字说明、证明
11、过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设，由拉格朗日中值定理得f(x)-f(x-1)=f()*1，其中 在 x-1 与 x 之间，则综上，e 2c=e，从而 c=1/216 【正确答案】 由题设， =fu*y+fv*x， =fu*x-fv*y，因此 =yfuu*y+uv*x+fv+xvu*y+fvv*x=y2fuu+2xyfuv+x2fvv+fv =xfuu*x-fuv*y-fv-yfvu*x-fvv*y=x2fuu-xyfuv-ffv-xyffuv+y2fvv=x2fuu-2xyfuv+y2fvv-fv，因此=y2fuu+2xyfuv+x2fvv+fv+x2fuu-2xyfuv+y2fvv
12、-f=(x2+y2)(fuu+fvv)=x2+y217 【正确答案】 曲线 y=y(x)在点 P(x，y)处的发现方程为 Y-y=- 1/y(X-x)(当 y0时)，它与 x 轴的交点是 Q(x+yy，0)，从而PQ= (当 y=0 时，有 Q(x，0)，PQ=y，上式仍成立)，根据题意得微分方程 即 yy=1+Y2且当x=1 时 y=1。 y=0令 y=P(r)，则 y= ，二阶方程降为一阶方程=1+P2分离变量得 ，积分并注意 P x=1=y x=1=0，得即 y2=y2-1。y = ，分离变量得 积分并注意y x=1=1，得 即18 【正确答案】 (I)设 f(x)，g(x)在(a ，b
13、)内某点 c(a，b)同时取得最大值， 则 f(c)=g(c)，此时的 c 就是所求点 ，使得 f()=g()， 若两个函数取得最大值的点不同，则可设 f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)， 故有 f(c)-g(c)0，f(d)-g(d)0， 由介值定理，在(c ，d)内(或 (d，c) 内) 肯定存在 ，使得 f()=g() ()由罗尔定理在区间(a，)、(，b)内分别存在一点 1， 2， 使得 f(1)=g(1)，f (2)=g(2)在区间( 1， 2)内再用罗尔定理， 即存在 (a，b)，使得 f()=g()19 【正确答案】 () 如图，旋转体体积()如图， 设切点为(a
14、 e -a)，因 y=(e-x)=-e-x，所以切线方程为y-e-a=-e-a(x-a)，令 x=0，得 y=(1+a)e-a，令 y=0，得 x=1+a，于是切线与坐标轴所夹面积 S=1/2(1+a)2e-a，S =(1+a)e-a-1/2(1+a)2e-a=1/2(1-a2)e-a，令 S=0，得 a1=1，a 2=-1，其中 a2=-1 应舍去 当 a1 时，S =1/2(1-a2)e-a0，当 a1 时，S =1/2(1-a2)e-a 0， 故当 a=1 时，面积最大，所求切点为 (1，e -1)，最大面积 S=1/2(1+1)2e-1=2e-120 【正确答案】 (I)解：PQ (1
15、I)证：PQ=A 2(b-aTAa)， PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即 aTA-1ab21 【正确答案】 本题有以下两种较为简单的解法：(I)由题设，任给x1，x 2，x n，都有 f(x1，x 2，x n)0，因此，f(x 1，x 2，x n)=0 当且仅当该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是系数行列式不为0， 因此，当 1+(-1)n+1a1a2an0时，任给不全为零的 x1，x 2，x n，都有 f(x1，x 2，x n)0，即当 a1a2an(-1)n 时，f(x 1，x 2，x n)为正定二次型 ()令 ，此线性变换的矩阵的行列式与()中行列式相同， 因此当 a1a2an(
16、-1)n 时，此线性变换可逆，记其逆变换为 x=py， 可化原二次型为标准形：y 12+y22+n2， 由于正惯性指数为 n，可知原二次型为正定二次型22 【正确答案】 因为 X-N(，1)，于是销售一个零件的平均利润 E(T)=-1PT=-1+20PT=20+(-5)PT=-5=-(10-)+20(12-)-(10-)-51-(12-)=25(12-)-21(10-)-5令 dE(T)/d=25(12-)(-1)-21(10-)(-1)=-25(12-)+21(10-)=0两边取对数得 =11-1/2 ln25/21109 所以 =109 mm 时，销售一个零件的平均利润最大23 【正确答案】 由E-A= =(-1)(-2)(-Y)=0 得矩阵 A的特征值为 1=1， 2=2， 3=Y若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化；当 Y=1时，A= ，=1 为二重特征值，因为 r(E-A)=2，所以 A 不可对角化；当Y=2 时，A= ，=2 为二重特征值，因为 r(2E-A)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 PY1，2+PY=2=PY=0+PY=2+PY=3=2/3
