1、考研数学（数学一）模拟试卷 288 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 ，讨论函数 f(x)的间断点，其结论为( )（A）不存在间断点（B）存在间断点 x=1（C）存在间断点 z=0（D）存在间断点 x=-12 设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列各种说法中不正确的是( )（A）若在 D 内，有 ，则 f(x，y) 常数（B）若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则 f(x，y)常数（C）若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数（D）若在 D 内，有 ，则 f(x，y) 常数3 设平面区域 D：1x
2、2+y24，f(x，y) 是区域 D 上的连续函数，则等于( )4 级数 (a0)( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关5 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当A=a(a0)时，B=a（B）当 A=a(a0)时，B=-a（C）当 A0 时，B=0（D）当A=0 时，B=06 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则( )（A）(A *)*=A n-1A（B） (A*)*=A n+1A（C） (A*)*=A n-2A（D）(A *)*=A n+2A7 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件，A 1=掷第一次出现正面、A 2=掷
3、第二次出现正面 、 A3=正、反面各出现一次、A 4=正面出现两次 ，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） 1，A 2，A 3 两两独立（D） 2，A 3，A 4 两两独立8 设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x) 为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(-a)=1- 0a(x)dx（B） F(-a)=1/2 -0a(x)dx （C） F(-a)=F(a)（D）F(-a)=2F(a)-1二、填空题9 极限 =_10 设 f(x)= ，则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x= 处收敛于_11
4、 设 f(x)= =_12 设 u=sinx+(sinx+cosy)( 为可微函数)，且当 x=0 时，u=sin 2y，则=_13 设 A= 其中aiaj(ij，i ， j=1，2，n)，则线性方程组 ATx=B 的解是_14 设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)= ，以 Y 表示对 X 进行三次独立重复观察中事件 出现的次数，则 PY=2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求16 设 L 是不经过点(2 ，0) ，(-2 ，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算17 设
5、a，b 为正常系数， 为非负常数，微分方程 dy/dx +ay=be- ( )求该方程的通解； () 证明：当 =0 时， ，当 0 时，18 设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知经在 0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)19 求微分方程 y+5y+6y=2e-x 的通解20 已知 4 阶方阵 A=(a1，a 2，a 3，a 4)，a 1，a 2，a 3，a 4 均为 4 维列向量，其a2，a 3，a 4 线性无关，a 1=2a1-a3，如果 =a1+a2+a3+a4，求线性方程组 Ax= 的通解21 设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单
6、位阵，证明 A+E 的行列式大于 122 设总体 X 的分布函数为 F(x)，(X 1，X 2，X n)是取自此总体的一个子样，若F(x)的二阶矩阵存在， 为子样均值，试证(X i- )与(X j- )的相关系数j=1，2， n23 设总体 X 服从于正态分布 N(， 2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值为 ，求统计量 Y=的数学期望 E(Y)考研数学（数学一）模拟试卷 288 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f(x)= 当-1x1 时，f(x)=1+x；当 x=1 时
7、，f(x)=1；当 x1 时，f(x)=0所以 f(x)=，不难确定在 x=1 点处 f(x)间断，选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 由排除法(A)，(B)，(C) 正确，故选(D)显然(A)是正确的，在区域D，df(x，y)0 所以(C)也是正确的现在考虑(B)设(x 0，y 0)D为任意一点，它存在两个不共线的方向： i=(cosai，cos i)(i=1，2)使得由于 1， 2 不共线，所以由线性方程组理论所以 f(x，y)常数，故(B) 正确，因此选(D)3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以 收敛，即原级数绝对收敛，选(C)5 【正确答
8、案】 D【试题解析】 由题设，若 B=A，则 A 与 B 等价，因此 A=B，显然(B)，(C)不正确其次，当 A0 时，若对 A 施以一定的初等变换得 B，则B 可以变为任何不为 0 的实数，可见(A)亦不正确，所以只有 (D)正确事实上，由于初等变换不改变矩阵的秩，直接可判断出只有(D)正确，综上，选 (D)6 【正确答案】 C【试题解析】 涉及伴随矩阵 A*，首先联想到公式 AA*=A*A=AE 由题设，矩阵 A 非奇异，故 A 可逆，所以由公式 AA*=A*A=AE 可得 A*=A A -1， 于是(A *)*=( A n-1A)*=AA -1(AA -1)-1=A nA-11/A (
9、A -1)-1= A n-2A，故选 (C)7 【正确答案】 C【试题解析】 定义事件组 =(正正，)，(正，反)，(反，正)，(反，反) 由古典概型的定义，知 P(A1)=1/2=P(A2)=P(A3)，而 P(A4)=1/4，则 P(A1A2)=P(两次均为正面)=1/4=P(A 1)JP(A2)，即 A1 与 A2 独立；P(A 1A3)=P(第一次出现正面且第二次出现反面)=1/4=P(A 1)P(A3)，即 A1 与 A3 独立；P(A 2A3)=P(第一次出现反面且第二次出现正面)=1/4=P(A 2)P(A3)， 即 A2 与 A3 独立至此知 A1，A 2，A 3 两两独立，但
10、由P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)， 知 A1，A 2，A 3 不相互独立，此外，显然A4 A2，P(A 2A4)=P(A4)=1/4P(A2)P(A4)， 因此 A2，A 3，A 4 不两两独立，所以也不会相互独立故选(C) 8 【正确答案】 B【试题解析】 因为随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 10 【正确答案】 1/2 2【试题解析】 x= 是- ，区间的端点，由收敛性定理知，该傅氏级数在 x=处收 敛于 1/2f(-+0)+f(-0)=1/2-1+1+2=1/2 211 【正确答案】 e -1-1【
11、试题解析】 12 【正确答案】 2(sinxsiny+cosysiny)【试题解析】 =(sinx+cosy)(-siny)将 x=0，u=sin 2y 代入已知函数得：sin2y=(cosy)=1-cos2y 设 v=cosy，故 (v)=1-v2， (v)=-2v 则 (sinx+cosy)=-2(sinx+cosy)， =(-2sinx-2cosy)(-siny)=2(sinxsiny+cosysiny)13 【正确答案】 x=(1，0，0) T【试题解析】 由于A T=A ，故知 ATx=B 有唯一解，且由克莱姆法则知唯一解为 其中 Dj 是把A T中第 j列元素用 B 代替后所得行列
12、式，显然 D1=A T，D 2=Dn=0 故线性方程组AT=B 的解为 x=(1，0， ，0) T14 【正确答案】 9/64【试题解析】 因为 PX1/2= 则 Y 服从参数为n=3，p=1/4 的二项分布，因此所求概率 PY=2=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求 由复合函数求导法得则=2(-F11+sinxf12)+cosx2+(-f21+sinxf22)ycosx；=-2f 11+(2sinx-ycosx)12+ysinxcosxf22+cosxjf216 【正确答案】 显然曲线积分 I1，I 2 都
13、满足柯西一黎曼条件() 当(2， 0)，(-2 ，0)都在 L 所围成的区域之外时，I 1=I2=0，因此 I=0( )当(2，0)，(-2，0)都在 L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r1，r 2 为半径的圆 C1，C 2，使它们都在 L 内，则则理，2=-2，因此 I=-4；( )当(2，0)，(-2，0)有个点在 L 围成的区域内，个点在 L 围成的区域外时，I=-217 【正确答案】 () 通解为 y=e-adx(be-eadxdx+c)=e-ax(be(a-)xdx+c)()当 =0 时，y=ce -ax+ b/a，所以，当 x0 且 a 时， y(x)=ce-ax+当
14、 x0 且 =a 时，y(x)=(bx+c)e -ax，18 【正确答案】 由题意得 有，两边求导，得 f(x)= 即 f(x)+令 z=f(x)-1/2，得 可求得 z=Cx+ 1/a，即f(x)=(Cx+ 1/a)-2=19 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0，故特征根为-2 和-3，于是，对应齐次微分方程的通解为 =C1e-2x+C2e-3x，其中 C1，C 2 为任意常数设所给非齐次方程的特解为 y*(x)=Ae-x将 y*(x)代入原方程，可得 A=1 由此得所给非齐次微分方程的一个特解是 y*(x)=e-x 从而，所给微分方程的能解为 y(x)
15、=C1e-2x+C2e-3x+e-x20 【正确答案】 由 a2，a 3，a 4 线性无关及 a1=2a2-a3 知，向量组的秩r(a1，a 2，a 3，a 4)=3，即矩阵 A 的秩为 3，因此 Ax=0 的基础解系中只包含一个向量那么由(a 1，a 2，a 3，a 4) =a1-2a2+a3=0 知。Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0) T再由 =a1+a2+a3+a4=(a1a2a3a4) 知，(1，1，1，1) T 是 Ax= 的一个特解故 Ax= 的通解是 k ，其中 k 为任意常数21 【正确答案】 因为 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使 QTAQ=Q-1AQ=A=其中 i0(i=1，2，n) ， i 是 A 的特征值因此 QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ=A+E两端取行列式得A+E=Q TA+EQ=Q T(A+E)Q=A+E=( i+1) 从而A+E122 【正确答案】 由于二阶矩阵存在，不妨设23 【正确答案】 设 Zi=Xi+Xn+i(i=1，2，n)，为从总体 z 中取出的样本容量为n 的样本 则 E(Zi)=E(Xi)+E(Xn+i)=+=2 D(Zi)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)(Xi 与Xn+i 相互独立)= 2+2=22ZN(2，2 2)由样本与总体同分布，则S2 是总体 Z 的方差的无偏估计量
