1、考研数学（数学一）模拟试卷 294 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数 中在点 x=0 处可导的共有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 曲线 的拐点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）33 有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为（A）（B）（C）（D）4 设 F(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域有连续的偏导数，F(x 0，y 0)=0，则 Fy(x0，y 0)0 是F(x，y)=0 在点(x 0，y 0)某邻域能确定一个连续函数
2、y=y(x)，它满足 y0=y(x0)，并有连续的导数的_条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充分且必要（D）既不充分又不必要5 设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，一 1，一 2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是（A）A+E（B） AE（C） A+2E（D）2A+E6 n 维向量组(I)： 1， 2 s 和向量组( )： 12 t 等价的充分必要条件是（A）秩 r(I)=r() 且 s=t（B） r(I)=r()=n（C）向量组(I)的极大无关组与向量组() 的极大无关组等价（D）向量组(I)线性无关，向量组 ()线性无关且 s=t7 已知随机变量 且 X1 与 X2 独立记 A=X1
3、=1，B=X2=1，C 1=X1X2=1，C 2=X1X2=一 1，则（A）A，B，C 1 相互独立，A，B，C 2 相互独立（B） A，B ， C1 相互独立， A，B ，C 2 两两独立（C） A，B ， C1 两两独立， A，B ，C 2 相互独立（D）A，B，CI 两两独立，A，B，C 2 两两独立8 设随机变量 XiB(i，0 1) ，i=1，2，15，且 X1，X 2，X 15 相互独立，根据切比雪夫不等式，则（A）0325（B） 0325（C） 0675（D）0675二、填空题9 设 f(1)=a，则数列极限 =_.10 设 u=M(x，y)满足 则 u(x，y)=_11 设平面
4、上连续曲线 y=f(x)(axb，f(x)0)和直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的质心是( ，0，0)，则 的定积分表达式是_12 若将柱坐标系中的三重累次积分 化为直角坐标系 Oxyz中的三重累次积分(先对 z，再 y 最后埘 x 积分) ，则 I=_13 已知 则 A-1=_14 设 X,Y 分别服从参数为 的 0 一 1 分布，且它们的相关系数 则 X与 Y 的联合概率分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知极限 求常数 a，b，c 15 设有摆线 试求：16 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积；17 L 与 x 轴
5、所围平面图形的形心( )18 求空间曲线积分 其中 L 是圆柱面 x2+y2=2y 与平面 y=x 一1 的交线，从 x 轴正向看去取逆时针方向18 设 z=z(x，y)有二阶连续的偏导数且满足19 作自变量与因变量变换 u=x+y，v=x 一 y，w=xy 一 z，变换 z 的方程为 w 关于u，v 的偏导数满足的方程：20 求 z=z(x，y)21 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导，Rf(0)=0，f(1)=1，求证： v(0，1)使得21 已知 A 是 3 阶矩阵， 1(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 Ai=ii(i=1，2，3) ，令 =1+2+322 证明：，A
6、 ，A 2 线性无关；23 设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP23 设二次型 xTAx=x12+4x22+x32+2ax3x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵 A 满足 AB=0，其中24 用正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用正交变换；25 求(A 一 3E)b26 设某地区在一年内发生一般性交通事故的次数 X 和发生重大交通事故的次数 Y相互独立，且分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布试求在一年内共发生了 n(n0)次交通事故的条件下重大交通事故 Y 的条件概率分布26 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为其中 0，A0 为已知参
7、数记27 求 A 的矩估计量 和最大似然估计量 ；28 )求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计量 考研数学（数学一）模拟试卷 294 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 按定义分析，即分析 的存在性，并要逐一分析因此选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 y与 y由 在（-，+）连续，且在 两侧 y变号，x=0 两侧 y也变号(0，0)， 均为 的拐点，再无其他拐点因此，选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 取坐标系如图所示，椭圆方程为 对小区间x， x+dx对应的小横条薄板，液体对它的压力于是液体对薄板的侧压
8、力为故应选 B4 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数 定理知，在题设条件下，F (x0，y 0)0 是方程 F(x，y)=0在点(x 0，y 0)某邻域能确定一个连续函数 y=y(x)，满足 y0=y(x0)并有连续导数的充分条件，但不是必要条件，如 F(x，y)=x 3 一 xy，F(0，0)=0，F y(0，0)=一 x x=0=0，但 F(x,y)=0 确定函数 y=x2(满足 y(0)=0)因此选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 由于A= i，故 A 可逆 A 的特征值不为 0由 A 的特征值为 1，一 1，一 2，可知 2A+E 的特征值为 3，一 1，一 3所以 2A+E
9、可逆故选D6 【正确答案】 C【试题解析】 向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关例如：向量组(1 ，0，0) ，(2，0，0) 与向量组(0，1，0)，(0 ，2，0)的秩相等，但它们不等价；向量组(1，0，0) ，(2 ，0，0) 与向量组(3，0， 0)等价，但向量个数不同，故 A不正确r(I)=r( )=n 是向量组(1) 与向量组()等价的充分条件，不必要例如，向量组(1 ，0，0) ，(0，1，0) 与向量组(2，0，0)，(0 ，2，0)等价，但秩不为 n故(B)不正确向量组(I) 与向量组 (I)的极大尤关组等价，向量组()与向量组() 的极大尤关组等价如果向量组(
10、I)的极大无关组与向量组()的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组(I)与向量组()等价，反之亦对，故 C 正确应选 C注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故 D 不正确7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件计算得 P(A)=P(B)=P(C1)=P(C2)=0.5，P(A)P(B)P(C 1)=0.125=P(A)P(B)P(C2)，P(AB)=P(AC 1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=0.25，P(ABC 1)=0 25，P(ABC 2)=0，由此验证知 D 正确应选 D8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 EX1=0.1i，DX 1=0.09i
11、，i=1，2，15，则于是由切比雪夫不等式，有故选A二、填空题9 【正确答案】 a【试题解析】 10 【正确答案】 c(y)为 y 的任意函数【试题解析】 偏导数实质上是一元函数函数的导数当 y 任意给定时就是一阶线性常微分方程 两边乘 ex2 得对 x 积分得11 【正确答案】 【试题解析】 在空间 Oxuz 中，设该旋转体为 ，不妨设体密度为 1，按质心公式其中 y 为 的体积，按旋转体体积公式 现按先二后一化三重积分为累次积分公式，过 x 轴上 xa，b处作平面与 x 轴垂直与 相交的截面区域记为 D(x)，它是圆域： y2+x2f2(x)，面积为 f2(x)，则因此12 【正确答案】
12、【试题解析】 这是三重积分 在柱坐标变换(x=rcosy=rsin ，z=z)后的累次积分将 的柱坐标表示：变换为 Oxyz 中的直角坐标表示：于是13 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以那么14 【正确答案】 【试题解析】 依题意设(X，Y) 的联合分布与边缘分布如下表： 由于 X，y 只取 0，1 两个值，所以再由(X，Y)的联合分布与边缘分布的关系，可得p12=0，p 11=p21=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【分析与求解一】用洛必达法则由b+c=0 (否则 I=，不合题意)继续用洛必达法则 3ac=0 (否则 I=，不合题意)再用洛必达法则
13、 由， 式b= 一10, 【分析与求解二】用泰勒公式 已知代入得16 【正确答案】 这是由参数方程给出的曲线由于 x()=1 一 cos，y ()=sin，则按旋转面面积计算公式，可得该旋转面的面积17 【正确答案】 由平面图形的形心公式，有 当 x=sin 时 一 ，对应 x一 ， ，相应地 y(x)=1 一 eos因此 由对称性知， 故所求平面图形的质心为18 【正确答案】 【分析与求解一】L 的方程是x=cost，y=1+sintz=2+sint按 L 的定向 t 从 0到 2，于是代公式得 其中【分析与求解二】L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分圆柱面所截平
14、面 y=z 一 1 部分记为按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分 L 化为上的第二类曲面积分，有 在 xy 平面的投影区域易求，即Dxy:x2+(y 一 1)21将此曲面积分 J 投影到 xy 平面化为二重积分，则的方程为 【分析与求解三】L 是母线平行于 z 轴的柱面与平面的交线，可投影到 xy 平面上，然后用格林公式由 L的方程x=y+1，dz=dy ，L 在 xy 平面上的投影曲线记为 F：x 2+(y 一 1)2=1，z=0帽应地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得其中 Dxy 是 F 所围的圆域19 【正确答案】 z=xy 一 w 由复合函数微分法则，得再求导代入原方程即 (
15、*)20 【正确答案】 解方程(*)，对 u 积分得 再对 u 积分其中 (v)，(v)是任意的有二阶连续导数的函数则21 【正确答案】 因为 ，由连续函数的介值定理可知存在c(0，1)，使得 对此 c，在0，c 与c，1上分别应用拉格朗日中值定理 (0，c) ， (c，1) ，使得 又左端为 故得证。【试题解析】 按题设与要证的结论，要在0，1的某两个区间上用拉格朗日中值定理： 取 c(0，1) ，分别在0，c与c ，1上用拉格朗日中值定理 (0，c)，(c，1)使得 即关键是取 c(0，1)及 f(c)使得左端为 2，只需取 f(c)使得 f(c)一 f(0)=f(1)一 f(c)，即 则
16、达目的22 【正确答案】 由 A1=1，A 2=22，A 3=33，且 1， 2， 3 非零可知，1， 2， 3 是 A 的不同特征值的特征向量，故 1， 2， 3 线性尤关又A=1+22+33，A 2=1+42+93，若 k1+k2A+k3A2=0，即 k1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0，则(k 1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)2+(k1+3k2+9k3)3=0由 1， 2， 3 线性无关，得齐次线性方程组 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关23 【正确答案】 因为 A3=1+
17、82+273=6 一 11A+6A2，所以AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，6 一 11A+6A2) 故24 【正确答案】 由 知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0的解向量记 则 A1=0=01，A 2=0=02由此可知 =0 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1,2 是 =0 的线性无关的特征向量根据 iaii,有0+0+3,2=1+4+1，故知矩阵 有特征值 =6因此，矩阵 A 的特征值是0，0，6设 =6 的特征向量为 3,2=(x1,2，x 2,2，x 3,2)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 解出 3=(1，2，一 1)T对 1,2 正交化，令
18、1=(1，0，1) T，则 2=2- =(2，一 1，0)T 一(1， (1，1) T=(1，一 1，一 1)T再对 1， 2， 3 单位化，得那么经坐标变换x=Qy，即 二次型化为标准形 xTAx=yTAy=6y325 【正确答案】 因为 AA，有 A 一 3EA 一 3E，进而 (A 一 3E)6 一(A 一 3E)6又 A 一 3E= 所以由 Q-1AQ=A 得 Q-1(A 一 3E)6Q=(A 一 3E)6=36E于是(A 一 3E)6=Q(A 一 3E)6Q-1=Q(36E)Q-1=36E26 【正确答案】 由条件知，n 的取值为 0，1，2，在一年内发生 X+Y=n,次交通事故的概率为对任意整数k(0kn)，有 由上面计算可知，在一年内发生 n 次交通事故的条件下，重大交通事故 Y 的发生次数服从二项分布27 【正确答案】 令 ，得 的矩估计量 样本的似然函数 L(x1，x 2，x n；)=取对数 令解得 从而 的最大似然估计量28 【正确答案】 由于 EY 是 的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故 EY 的最大似然估计量为
