1、考研数学（数学二）模拟试卷 294 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但不为2 设 f(x)=2x+3x-2，则当 x0 时( ) （A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)比 x 更高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 较低阶的无穷小3 若 3a2-5b0，则方程 x5+2ax3+3bx+4c=0( )（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同的实根（D）有五个不同的实根4 设 f(x)=x(1-x)，则( ) （A）
2、x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，O)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设函数 f(x)连续，F(u， v)= ，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则 =( )（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）6 已知 y=x/lnx 是微分方程 y(B)=y/x+(x/y)的解，则 (x/y)的表达式为( )7 设 3 阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩
3、等于 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2b08 设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0E-A)X=0 的基础解系为1， 2，则 A 的属于 0 的全部特征向量为( )（A） 1 和 2（B） 1 或 2（C） c11+c22(c1，c 2 全不为零 )（D）c 11+c22(c1，c 2 不全为零)二、填空题9 =_10 设 ，其中 f 可导，且 f(0)0，则 =_11 z=arctan ，则 dz=_12 设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ ，其中 D 由 y=0
4、，y=x 2 及 x=1 围成，则 f(x，y)=_13 微分方程 y+y=-2x 的通解为_14 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1-E=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限 ，其中 n 是给定的自然数16 计算17 已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， e1/x，求 f(x)18 没 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1) 的曲率半径，s=s(x) 是该抛物线上介于点 A(1，1) 与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为19 计算 ，D： 2x2+y21，并求此
5、积分当 0 +时的极限20 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f(a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f(a)021 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数22 设齐次线性方程组 ，其中 a0，b0，n2试讨论a，b 为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解? 在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解23 设二次型 f=x12+x22+x32+2ax1x2+2x2x3+2x1x3，经正交变换 x=Py 化成f=y22+2y32，P 是 3 阶正交矩阵，试求常数 、 考研数学
6、（数学二）模拟试卷 294 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 x1 时函数没有极限，也不是，故应选(D)2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 且ln2+ln31，所以应选 (B)3 【正确答案】 B【试题解析】 设 f(x)=x5+2ax3+3bx+4c 则 f(x)=5x4+6ax2+3b=5(x2)2+6a(x2)+3b 由于(6a)2-4*5*3b=12(3a2-5b)0，所以 f(x)=0 无实根根据连续函数的介值定理及 f(x)的严格单调增加性质知 f(x)有唯一零点， 即方程 f(x)=0 有唯一实根故应
7、选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)是(-，+) 上的连续函数，在(-1/2，1/2)内有表达式即 x=0是 f(x)的极小值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点故应选(C)。5 【正确答案】 A【试题解析】 在极坐标系下，6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 y=x/lnx，则 同时由，与题设所给微分方程比较，知 所以选(A)7 【正确答案】 C【试题解析】 由秩(A *)=1 知秩(A)=3-1=2，则A=0但 a=b 时秩(A)=12故 ab且 a+2b=0故应选(C)8 【正确答案】 D【试题解析】 A 的属于 0 的全部特征向量为方程组(E-A)X=0 的通解，
8、即c11+c22 (c1，c 2 不全为零 )应选(D)二、填空题9 【正确答案】 2/3【试题解析】 10 【正确答案】 3【试题解析】 由于11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 x+y+ 1/8【试题解析】 令 ，则 f(x，y)=xy+k，两边在 D 上积分得，解得 k=1/8，所以 f(x，y)=xy+ 1/813 【正确答案】 y=C 1cosx+C2sinx-2x【试题解析】 方程 y+y=-2x 对应的齐次方程的特征方程为 2+1=0，特征根为 1,2=i，故对应的齐次方程通解为 C1cosx+C2sinx 因为 a=0 不是特征根，因此原方程的特解可设为 y*=
9、Ax+B， 代人原方程得 A=-2，B=0 所以原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx-2x14 【正确答案】 24【试题解析】 由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同， 即 B 的特征值也为12、13、14、15，从而 B-1-E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1-E=1*2*3*4=24三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 本题考查由重要极限 导出微分方程，再求解微分方程，由题设，18 【正确答案】 由题设， 且抛物线在点 M(x，y)处的曲率半径为19 【正确答案】 20 【正确答案】
10、因为21 【正确答案】 由复合函数求导法，得22 【正确答案】 由题设，方程组的系数矩阵为 A= 则A =a+(n-1)b(a-b)n-1当 ab 且 a+(n-1)b0，即 a(1-n)b 时，方程组仅有零解当 a=b 时，对 A 可作初等行变换化为阶梯形则不难求得原方程组的基础解系为因此方程组的全部解是 x=k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1，为任意常数当 a=(1-n)b 时，同样对 A 作初等行变换化为阶梯形 则可得此时基础解系为 ，从而原方程组的全部解是 k，其中 k 为任意常数23 【正确答案】 变换前后二次型的矩阵分别为 二次型可以写成 f=xTAx 和 f=yTBy，。由于 pTAp=B，P 为正交矩阵，故 P-1AP=B，因此E-A=E-B ，即 3-3A2+(2-a2-3)+(a-)2=3-32+2，比较系数得 a=0
