1、考研数学（数学一）模拟试卷 299 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列无穷小量中阶数最高的是（A）（B） tanxsinx（C） 4x2+5x3 一 x5（D）e -2x2 一 cos2x2 下列函数中在区间一 2，3上不存在原函数的是（A）（B） f(x)=maxx，1（C）（D）3 下列命题若 则 发散 若 收敛，则 收敛若 则 ，收敛 设 aa0(n=1,2,)并存在极限若 收敛，则 中正确的是（A），（B） ，（C） ，（D），4 已知累次积分 其中 a0 为常数，则，I 可写成（A）（B）（C）（D）5 设 A 为 n 阶
2、矩阵，对于齐次线性方程(I)A nx=0 和()A n+1x=0，则必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） ()的解是(1)的解，但(I) 的解不是()的解（D）(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解6 已知 4 维列向量 1,2,3 线性无关，若 i(i=l，2，3，4)非零且与 1,2,3 均正交，则秩 r(1， 2， 3， 4)=（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设随机变量 X1，X 2 独立同分布，其分布函数为 F(x)，则随机变量X=minX1，X 2的分布函数为（A）F 2(x)（B
3、） 2F(s)一 F2(x)（C） F(x)一 F2(x)（D）1 一 F(x)+F2(x)8 设 X1，X 2，X n+1 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，记已知 则 k，m 的值分别为（A）（B）（C）（D）二、填空题9 数列极限 =_.10 若 f(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且 f(0)=8，则 f(x)=_11 函数 在点 M0(1，1，1)处沿曲面 2z=x2+r2 在点 M0 处外法线方向n 的方向导数12 设曲线 ，取逆时针方向，则 =_.13 已知二次曲面 X2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a 一 2)yz=1 是椭球面，则 a 的取值为_
4、14 设随机变量 且满足条件 PX1+X2=0=1，则PX1=X2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)在( 一，+)有连续的导数，且 f(0)=0，f (0)=1，15 求常数 A 使得 F(x)在(一，+) 连续16 确定 A 后，求 F(x)并证明 F(x)在(一，+)连续17 求 f(x，y， z)=2x+2yz2+5 在区域 :x2+y2+z22 上的最大值与最小值17 设 1a2x，求证 f(x)满足不等式18 0(x)1)19 19 设正项级数 是它的部分和20 证明 收敛并求和；21 证明级数 绝对收敛21 设22 求23 求 其中 C 是圆
5、周 x2+y2=32，取逆时针方向23 没 A 是 n 阶反对称矩阵，24 证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时， A是对称矩阵；25 举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；26 证明：如果 A 是 A 的特征值，那么一 也必是 A 的特征值27 已知 求 A 的特征值与特征向量，并指出 A 可以相似对角化的条件27 有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，2 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数，试求：
6、28 (X， Y)的联合分布；29 cov(X，Y)+cov(Y，Z)29 设随机变量 X 在0，2上服从均匀分布，y 服从参数 =2 的指数分布，且X，Y 相互独立30 求关于 a 的方程 a2+Xa+Y=0 有实根的概率(答案可用符号表示，不必计算出具体值)31 求 PX+2y3考研数学（数学一）模拟试卷 299 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 分别考察每个无穷小量的阶数由可知，A ，C 均是二阶的又由 可知，B 是三阶的用泰勒公式考察 D当 t0 时有从而由D 是四阶的因此应选 D2 【正确答案】 C【试题解析】
7、【分析一】我们知道连续函数一定存在原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则其余的一个就被选中，A 存在原函数显然， x0 时 f(x)连续，又因为 f(x)在点 x=0 处连续因此 f(x)在一 2，3 上连续f(x)在一 2，3上 原函数B 存在原函数因为 存一 2，3上连续f(x)在一 2， 3上 原函数D 存在原函数因为，g(x)在一 2，3上有界，除 x=1 外连续g(x)在一 2，3上可积 上连续 上 原函数综上分析，应选 C【分析二】直接证明 C 中给出的 f(x)在一 2，3上不存在原函数显然，当 x0 时，f(x)连续；当 x=0 时，由于可知 x=0 是 f(x)的第一类间断
8、点f(x)在 一 2，3上不 原函数因此，应选 C3 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】这 4 个命题中有两个正确，两个错误，因此只需断定其中的两个是正确的或错误的即可。易知命题是错误的，即添加了括号后的级数收敛，推不出原级数收敛例如 发散，但收敛命题也是错误的对于正项级数 不能保证 可能有 此时比值判别法失效如 但 发散因此， 正确故应选 D【分析二】显然是正确的由 自然数 N当这表明 nN 时 an 同号，不妨设 an0，这正是正项级数比值判别法的极限形式，由 发散对于命题，同样由比较原理的极限形式，因 极限 若 l0，则 发散因而由 。收敛，得 l=0，即，故命题正确综上分析，应选
9、 D4 【正确答案】 C【试题解析】 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将，表成 由 D 的极坐标表示即 r2=x2+y2aFcosO=ax可知，如右图若是先 y 后 x 的积分顺序，则 D：0xa ，于是 故应选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I)的解，即 An=0，显然 An+1=A(An)=AO=0，即 必是()的解可排除 C 和 D若 是()的解，即 A=0假若 不是(I) 的解，即An0，那么对于向量组 ，A ，A 2，A n，一方而这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若 k+k1A+k2A2+kA n=0，用 An
10、左乘上式，并把An+1=0，A n+2=0，代入，得 kAn=0由于 An0，必确 k=0对k1A+k2A2+kA n=0，用 An-1 左乘上式上推知 k1=0类似可知ki=0(i=2，3，)于是向量组 ，A，A 2，A n 线性无关，两者矛盾所以必有 An=0，即()的解必是(1)的解由此町排除 B故应选 A6 【正确答案】 A【试题解析】 设 1=(11,12,13,14)T， 2=(21,22,23,24)T， 3=(31,22,33,34)T，那么 i 与讲 1,2,3 均正交，即内积 pT=0(j=1，2，3，4)亦即 j(j=1，2，3，4)是齐次方程组 的非零解由 1,2,3
11、线悱尤关，故系数矩阵的秩为 3所以基础解系有 43=1 个解向量从而 r(1， 2， 3， 4)=1故应选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 本题可用分布函数的性质排除 C、D因为, 但对于 A 与B，则无法用分布函数的性质来判定，因为它们都可以作为某个随机变量的分布函数，故需通过计算来判定F(x)=PXx=Pmin(X 1，X 2)x=1 一 Pmin(X1，X 2)x=1 一 PX1x，X 2x=1 一 PX1x.PX2x=1 一(1 一 PX1x)(1 一 PX2x)=1一1 一 F(x)2=2F(x)一 F2(x)，故选 B8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 三者相互独立，且故
12、所以选 A二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 令 t=cosx+2cosx=t 一 2，cos 2x=(t 一 2)2，sin 2x=1 一(t 一 2)2，tan 2x=(t 一 2)-2 一 1f (t)=(t 一 2)-2 一 1+33(t 一 2)2=2+(t 一 2)-2 一 3(t 一 2)f(t)=2t 一(t 一 2)-1 一(t 一 2)3+C 由因此11 【正确答案】 【试题解析】 ，则 1。2。M 0 在曲面 2z=x2+y2 上，曲面方程改写为 F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=x 2+y2 一 2z，Mn 处曲面外法向 n
13、 的方向余弦3。代公式得12 【正确答案】 216【试题解析】 先用曲线方程化简被积函数：方法 1。再用参数方程化为定积分：x=2cost，y=3sint ，t0，2 ，则有方法 2。用格林公式C 围成区域 D，则 其中椭圆 D 的面积为 613 【正确答案】 【试题解析】 二次曲面 f=1 是椭球面 二次型 f 的特征值全大于 0 是正定二次型 顺序主子式全大于 0由二次型矩阵 有其顺序主子式故当 时，顺序主子式全大于 0，即 f 正定14 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 PX1+X20=0，而 PX1+X20=PX1=一 1，X 2=一 1+PX1=一 1，X 2=0+PX1=0，X
14、 2=一 1+PX1=0，X 2=1+PX1=1，X 2=1=0所以等式中的各项概率都等于零，再根据 Xi 的分布，可以求得(X 1， X2)的联合分布表(如右所示) ，从而算得 PX1=X2=PX1=一 1，X 2=一 1+PX1=0，X 2=0+PX1=1，X 2=1=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因 x0 时显然 F(x)连续，要使 F(x)在(一，+)连续，只需 F(x)在 x=0 连续，即 x0 时， 于是因此16 【正确答案】 x0 时，由连续性运算法则及变限积分函数的连续性知，x0 时 F(x)连续，又，从而 F(x)在 x=0 也连续，因
15、此 F(x)在(一 ，+)处处连续17 【正确答案】 f(x，y，z) 在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值第一步，先求 f(x，y，z) 在 内的驻点由 在 内无驻点，因此f(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值，即求 f(x，y,z)在条件 x2+y2+z22=0 下的最大、最小值。令 F(x，y，z，A)=2x+2yz 2+5+(x2+y2+z2 一 2)，解方程组由，x=y，由z=0 或 =1由 x=y，z=0 代入x=y=1，z=0 当 =1时由，也得 x=y 一 1，z=0因此得驻点
16、 P1(一 1，一 1，0)与P2(1，1，0)计算得知 f(P1)=1，f(P 2)=9因此，f(x，y，z)在 的最大值为 9，最小值为 118 【正确答案】 求出f (x)在1，+)单调下降 f(x)(1)=2(x1)19 【正确答案】 方法 1。 引进辅助函数利用单调性证明不等式，将 b 改为 x，考察辅助函数 其中 1axb其中又当 1a(x) 即 G(x)在a， +) ，从而 G(x)G(A)=0(xa)，特别有 G(B)0，即方法 2。 用泰勒公式，在 处展开，有分别取被展开点x=a，b，得其中+得 f(A)+f(B)由题(I)，f (x)1)f(1)+f(2)20 【正确答案】
17、 级数 的部分和 Tn 易求出因为 (若正项级数 发散)，或(是正数，若 收21 【正确答案】 考察级数 由 Sn 与 an 的关系：Sn=a1+a2+an-1+an,an=SnSn-1，将一般项 改写成只与 Sn 有关，即因正项级数的部分和数列 Sn 单调上升，上式可放大成由题(I) 收敛，再由比较原理知 收敛，因此，原级数绝对收敛22 【正确答案】 23 【正确答案】 因为 可考虑用格林公式计算 J,因为P，Q 在点(一 1，0)处没定义，所以不能在 C 围成的区域 D 上直接用格林公式，但可在 D 中挖掉以(一 1，0)为圆心，0 充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见右图求解如下：
18、以(一 1，0)为圆心 0 充分小为半径作圆周 C-(取顺时针方向)，C 与 C 同成的区域记为 D，存 D上用格林公式得其中 C+取逆时针方向。用“控洞法”求得(*)式后，可用 C的方程(x+1) 2+y2=2 简化被积表达式，然后用格林公式得 其中 D*是C+所围的区域24 【正确答案】 按反对称矩阵定义：A T=一 A，那么A= A T=一A=(一 1)n A，即1 一(一 1)nA=0 ，若 n=2k+1，必有A=0所以 A可逆的必要条件是 n 为偶数因 AT=一 A，由(A *)T=(AT)*有(A *)T=(AT)*=(一 A)*又因(kA) *=kn-1A*，故当 n=2k+1
19、时，有(A *)T=(一 1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵。25 【正确答案】 例如， 是 4 阶反对称矩阵，且不可逆26 【正确答案】 若 A 是 A 的特征值，有EA=0，那么EA =(一E)T=一 E-AT=E+A= 一(EA) =(一 1)(-1)nE 一 A=0，所以一 是 A 的特征值。27 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到 A 的特征值是 1=1 一 a， 2=a， 3=a+1由得到属于 1=1 一 n 的特征向量是 1=k1(1，0，1) T，k 10。由得到属于 2=n 的特征向量是2=k2(1，1 2a，1) T，k 20由得到属于 3=a+1 的特征向量
20、3=k3(2 一 a，一 4a，a+2) T，k 30如果 1， 2， 3 互不相同，即 1 一 aa，1一 aa+1，aa+1，即 且 a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A 可以相似对角化。若 即 1=2= 此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化若 a=0，即 1=3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化28 【正确答案】 【解法一】(I)用全概率公式求(X，Y) ，(Y，Z)的联合分布，即有从而(X，Y) 与(y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：()于是cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY EXEY)+(EYZEYEZ)【解法二】(I)求(X，Y) 的联合分布同【解法一】，但不求(Y，Z) 的联合分布29 【正确答案】 由 Z=2 一 XY，故 cov(x，y)+cov(y，Z)=cov(X，y)+cov(Y，2一 XY)=cov(X，Y)一 cov(Y，X)一 cov(Y，Y)=一 DY 又故30 【正确答案】 且 X，Y 相互独立，故方程 a2+Xa+Y=0 有实根，则需要 X2 一 4Y0，即故方程有实根的概率为31 【正确答案】
