1、考研数学（数学一）模拟试卷 336 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 已知 0P(B)1，且 P(A1+A2)B=P(A 1BO+P(A 2B)，则下列选项成立的是( )3 4 5 6 7 下列命题正确的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在|xx 0| 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)连续（C）（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x0 处可导，且8 设随机变量 X 服从正态分布 N(1，1
2、2)，随机变量 Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 P|X-1|P|Y-2|（A） 1 2 .（B） 1 2.（C） 1 2 .（D） 1 2 .二、填空题9 10 已知两条直线的方程是 ，则过 L1而平行于 L2 的平面方程是_11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 20 21 设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 1=1， 2=2， 3=-2，又 a1=(1，-1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 (I)验证 a1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部
3、特征值与特征向量； ()求矩阵 B21 (2002 年试题，十) 设 A，B 为同阶方阵22 如果 A、B 相似，试证 A、B 的特征多项式相等；23 举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；24 当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立25 用区间表示满足下列不等式的所有 x 的集合：(1)x3 (2)x21(3)xa(a 为常数，0）(4)x5 (5)x12考研数学（数学一）模拟试卷 336 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 P(A1+A2)B=P(A 1
4、B 1)+P(A2B)知：又因为 P(B)0，所以有 P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)故应选(B) 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点， (A)，(B)不对；所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导， (C)不对； 因为 f(x)在 x0 处连续且在 x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 f(x)一 f(x0
5、)=f()(xx0)或其中 介于 x0 与 x 之间，两边取极限得存在，即 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=选(D) 8 【正确答案】 B【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题9 【正确答案】 7/2【试题解析】 10 【正确答案】 x-3y+z+2=0【试题解析】 所求平面竹过直线 L1，因而过 L1 上的点(1，2，3)； 过 L1 平行于L2，于是 平行于不共线的向量 1=(1，0，-1)， 2=(2，1，1)(分别是直线 L1 与 L2的方向向量)于是平面 的方程 =0，即 x-3y+z+2=0 为所求11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13
6、 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 () 容易验证 Ana1=1na1(n=1，2，3，)，于是 Ba1=(A5+4A3+E)a1=(15-413+1)a1=-2a1于是 -2 是矩阵 B 的特征值， k1a1 是 B 属于特征值-2 的全部特征向量(k 1R，非零)同理可求得矩阵 B 的另外两个特征值 1，1；因为 A 为实对称矩阵，则 B 也为实对称矩阵，于是矩阵 B 属于不
7、同特征值的特征向量正交设 B 的属于 1 的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则有方程 x1-x2+x3=0，于是求得 B的属于 1 的全部特征向量为 =k2a2+k3a3，其中 a2=(-1，0，1) T，a 3=(1，1，0)T， k2，k 3R，不全为零()令矩阵 P=(a1a2，a 3)= ，则 P1BP=diag(-2，1，1) ，于是 B=P*diag(-2，1，1)P -1=【知识模块】 特征值与特征向量22 【正确答案】 若 A、B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则E 一B=EP -1AP=P -1(EA)P=P -1E 一 AP =EA ，命题得证【知
8、识模块】 特征值与特征向量23 【正确答案】 令 显然EA=E 一 B=( 一 1)2若 A 与 B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得 B=P-1AP=P-1P=E，与 矛盾，故知 A 与 B 不相似【知识模块】 特征值与特征向量24 【正确答案】 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵又 A，B 的特征多项式相等，可设其解为 1， 2， n，则即存在可逆矩阵 P，Q 使于是(PQ -1)-1A(PQ-1)=B，由此知 A，B 相似【试题解析】 注意若 A 一 B，则 A、B 的特征多项式相等，亦即它们具有相同的特征值；反过来，若 A、B 有相同的特征值，则 A、B 不一定相似但若 A、B 具有相同的特征值，且特征值均不相等，则 A、B 相似故第 (2)问在举反例时，必须保证其特征值是重根【知识模块】 特征值与特征向量25 【正确答案】 利用绝对值的性质先将不等式化简，然后根据区间的定义将不等式转化为与之对应的各种区间的形式。(1)x3 有3x3，则 x3,3(2)x21 有1x21 即 1x3，则 x1， 3(3)xa(a 为常数，0)有xa 即 a xa，则 x(a，a)(4)x5 有 x5 或 x5，则 x( ，55，(5)x1 2 有 x12，即 x3 或 x1则 x(，3)(1，)【知识模块】 综合
