1、考研数学（数学一）模拟试卷 377 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 如下图，连续函数 yf(x)在区间 3，2、2，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0 ，0，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x)（A） （B） （C） （D） 7 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1) ，数 uo 满足PXu o，若 PXx，则 x 等于( )（A） （B） （C） （D） 8 设随机变量 X 服从正态分布 N
2、(1，1 2)，随机变量 Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 P|X-1|P|Y-2|（A） 1 2 .（B） 1 2.（C） 1 2 .（D） 1 2 .二、填空题9 10 11 12 设 dy/dx=xln(1+x2)，且 y(0)=1/2，则 y(x)=_13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 n 阶矩阵 A= ()求 A 的特征值和特征向量； ()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵16 17 18 19 20 21 (2002 年试题，七)(1)验证函数)满足微分方程 y+y+y=ex；(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数22 证明方程
3、 lnx=x-e 在(1，e 2)内必有实根23 考虑下列各种情形用泊松分布近似二项分布 b(n，p)的精度：(1)n=10，p=01； (2)n=10，p=001；(3)n=50，p=01； (4)n=50，p=001考研数学（数学一）模拟试卷 377 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 C7 【正确答案】 C8 【正确答案】 B【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题9
4、 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 10【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 1/2(1+x 2)ln(1+x2)-1+1【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 3【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 由题设，先由特征值多项式A-E=0 求 A 的特征值，即=1-+(n-1)b(1-b)n-1，因此 A 的特征值为 1=1(n-1)b， 2=3= n=1-b当 b0时，对应于 1=1+(n-1) 不难求出1= 是(A- 1E)x=0 的基础解系，从而属于 1 的特征向
5、量为 C1= ，其中 C为任意非 0 常数，对应于 2=3= n=1-b，A-(1-b)E=易得出基础解系为1= 从而特征向量为 C22+C33+Cnn，其中C2，C 3， Cn 是不全为 0 的常数当 b=0 时，A= =E，从而 A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量 ()由前述已知，当 b0，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 P=(1， 2， 3， n)，则 P-1AP=而当 b=0 时，A=E，任取 P 为可逆矩阵，都有P-1AP=E16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 (1)由题设，结合幂级数可以逐
6、项求导的性质，先求 y(x)和 y(x)，即由 于是因此 y(x)是微分方程y+y+y=ex 的解(2)通过求(1) 中微分方程来得到 y(x)，该微分方程相应的齐次方程的特征方程为 2+1=0，从而特征根为 因此原方程相应的齐次线性方程的通解为 设原方程特解为y*=Aex。则代入原方程有，3Ae x=ex，即 综上，原方程通解为由题设(1)可知 y(0)=1，y (0)=0，可解出C 2=0，所以幂级数 的和函数为【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 令 F(x)lnx-x+e，则 F(x)在1，e2上连续， 且 F(1)=ln1-1-e-1+e-(1-e)0，F(e2)=ln e 2-e2+e2-e 2+e0 因此由零值点定理可知 F(x)在(1，e 2)内一定有零值点， 即方程 lnxx-e 在(1 ，e 2)内必有实根【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 综合
