1、考研数学（数学一）模拟试卷 386 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)连续可导，且 f(0)为 f(x)的极值，则( )（A）当 f(0)=0 时，f(0) 是 f(x)的极小值（B）当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值（C）当 f(0)0 时，f(0) 是 f(x)的极大值（D）当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极小值3 点(2， 1，
2、一 3)到直线 的距离为( )4 设幂级数 在 x=-1 处收敛，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不能确定5 下列结论正确的是( ) （A）若 A，B 特征值相同，则 AB（B）矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等（C）若 A，B 特征值相同，则 A，B 等价（D）A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 AB6 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，令向量组() ： 1， 2， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组( )线性相关，则 ( )（A）向量组() 与向量组 () 都线性相关
3、（B）向量组()线性相关（C）向量组()线性相关（D）向量组() 与()至少有一个线性相关7 设 P(AB)=P(BA)= ，则( )（A）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（B）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（C）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=（D）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=8 设连续型随机变量 x 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)=-xf(t)dt，则对任意常数a0，P X a为( ) （A）22F(a)（B） 1 一 F(a)（C） 2F(a)（D）2F(a)一 1二、填空题9 微分方程 X2y“+3xy+y=0 有极值 y(1)=2 的特解 y(x
4、)，则 y(x)=_10 11 设 为过直线 L： 且与平面 x 一 2y+z 一 3=0 垂直的平面，则点 M(3，一 4，5)到平面 的距离为_12 设 f(x，y)一阶连续可偏导，且 f(tx，ty)=t 2f(x，y)，又 f1(1，2)=2，f 2(1，2)=4，则 f(1，2)=_13 为三维空间的两组不同的基，令 =1+22 一 33，则 在基 1， 2， 3 下的坐标为_14 设 X，Y 是两个相互独立且服从正态分布 N(0， 1)的随机变量，则随机变量Z=max(X，Y)的数学期望 E(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 g(x)二阶可导，且
5、f(x)= ()求常数 a，使得 f(x)在 x=0处连续；()求 f(x)，并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性16 设 a 为实数，问方程 ex=ax2 有几个实根?17 计算 ，其中 D 是由 x2+y2=4 与 x2+(y+1)2=1 围成的区域18 设 f(x)为连续函数，=(x，y，z)|x 2+y2+z2t2，z0)，为 的表面，D xy 为 在 xOy，平面上的投影区域，L 为 Dxy 的边界曲线，当 t0 时有求 f(x)19 20 设 ()当 a，b 为何值时， 不可由 1， 2， 3 线性表示；()当 a，b 为何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示，写出表达式21
6、设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得且 A*= ()求正交矩阵 Q； ()求矩阵A22 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 Y= 求：()PX+y=0； ()随机变量 Y 的分布函数；()E(y)23 设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n) ，问 k1，k 2，k n 应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 最小?考研数学（数学一）模拟试卷 386 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
7、求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以正确答案为(B)2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)连续可导，所以由 得 f(0)+f(0)=0当f(0)0 时，因为 f(0)0，所以 f(0)不是极值，(C)，(D) 不对；当 f(0)=0 时，f(0)=0，由得 f“(0)=1 0，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(A)3 【正确答案】 C【试题解析】 设点 M0(1， -3，0)L，s=1，一 2，2/L,M 1(2，1，-3)，4 【正确答案】 A【试题解析】 令 3x+1=t，则级数 当 t=一 2 时收敛，故级数 的收敛半径 R2，因为 1R，所以当 t=1 时，级
8、数 绝对收敛，即级数 绝对收敛，应选(A) 5 【正确答案】 D【试题解析】 令 因为E 一 A=E B= 2(一 1)，所以 A，B 特征值相同，但 r(A)=2r(B)=1，故 A，B 不相似，(A) 不正确；对 显然 1=2=0， 3=1，而 r(A)=2，所以(B)不正确；由(A) ，A，B 特征值相同，A，B 的秩不一定相等，故(C)不正确；设 A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，令其特征值为 1， 2， n，因为 A，B 都可对角化，所以存在可逆阵 P1，P 2，使得 P11AP1=P21BP2= 从而有 P1-1AP1=P2-1BP2，于是(P 1P2-1)AP1P2-1
9、=B，令 P1P2-1=P，则 P-1AP=B，即 AB ，选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 当向量组()线性相关时，r(A)n，由 r(AB)r(A)得 r(AB)n，即向量组()线性相关；同理，当向量组() 线性相关时，r(B)n，由 r(AB)r(B)得 r(AB)n，即向量组( )线性相关，应选(D) 7 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(AB)=P(BA)= 得 P(A)=P(B)，再由 ，得 P(A)=P(B)= 因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立，故 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)= 选(C) 8 【正确答案】 A【试题解析】 PX
10、a=1 一 PXa=1P一 aXa=1 一 F(a)+F(一 a)，而 F(一 a)= =a+(t)dt=1 一 -af(t)dt=1 一 F(a)，所以 PXa=22F(a)，选(A) 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 令 x=et，则 原方程化为通解为 y=(C1+C2t)e-t，原方程的通解为由 y(1)=2，y(1)=0 得 C1=2，C 2=2，即10 【正确答案】 【试题解析】 当 0x1 时，f(x)= 当 x=1 时，f(x)=0；11 【正确答案】 【试题解析】 过直线 L 的平面束为(2xz 一 4)+(2y+3z+2)=0，即 2x+2y+(3 一 1)z+2 一
11、 4=0，由2，2 ， 3 一 1.1，一 2，1=0 得 =1，从而 ：x+y+z 一 1=0，于是12 【正确答案】 5【试题解析】 f(tx，ty)=t 2f(x，y)两边对 t 求导数得 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=2tf(x，y)，取 t=1，x=1 ，y=2 得 f1(1，2)+2f 2(1，2)=2f(1 ，2)，于是 f(1，2)=513 【正确答案】 (一 4，一 2，2)【试题解析】 由( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)Q，可得 Q=(1， 2， 3)-1(1， 2， 3)=1+2233=(1， 2， 3)(1，2，一 3)T=(1， 2， 3)Q(
12、1，2，一 3)T则 在基 1， 2， 3 下的坐标为(一 4，一 2，2) 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X，Y 是两个相互独立且服从标准正态分布的随机变量，所以(X， Y)的联合密度函数为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1，当 f(x)在x=0 处连续时，a=g(0)( )当 x0 时，f(x)=当 x=0 时，所以 f(x)在x=0 处连续16 【正确答案】 当 a=0 时，方程无解；当 a0 时，令 (x)= 由 (x)=2xex 一 x2e-x=x(2 一 x)e-x=0 得 x=0 或
13、 x=2当 x0 时，(x)0；当 0x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0，1)当 a0 时，方程无解；2) 时，方程有两个根，分别位于(一，0)内及x=2；3)当 时，方程有三个根，分别位于( 一，0)，(0，2)，(2，+)内；4)当 时，方程只有一个根，位于(一，0)内17 【正确答案】 由对称性得 令D0:x2+(y+1)21，18 【正确答案】 令 1：x 2+y2+z2=t2(z0)， 2：z=0(x 2+y2t2)，则19 【正确答案】 由 un(x)=un(x)+ 得 un(x)一 un(x)= 于是20 【正确答案】 1)当 a一 6，a+2b 一 40 时，因为 r(
14、A) ，所以 不可由 1， 2， 3 线性表示；2)当 a一 6， a+2b 一 4=0 时， 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为 =21 一 2+03；当 a=一 6 时，当 a=一 6，b5 时，由 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为 =61+12+23；当a=一 6，b=5 时，由 可由 1， 2， 3 线性表示，表达式为 =(2k+2)1+(k 一 1)2+k3，其中 k 为任意常数21 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=2，A *的特征值为 1=2=-2， 3=1 因为 为 A*的属于特征值 3=1 的特征向量，所以 是 A 的属于特
15、征值3=2 的特征向量，令 3令 A 的属于特征值 1=2=一 1 的特征向量为因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一 x1 一 x2+x3=0，则 A 的属于特征值 1=2=一 1 的线性无关的特征向量为22 【正确答案】 (I)PX+Y=0=PY= 一 X=P|X| 1)=1 一 PX1=1-(1 一 e)=e-()F Y(y)=PYy)=PYy，0X1+PYy ，X 1=PXy，0X1+PX一 y，X1当 y一 1 时，F Y(y)=PX一 y)=1 一 PX一 y)=ey；当一 1y0时，F Y(y)=PX1=e y；当 0y1 时，F Y(y)=P0Xy+PX1=1 一 e-y+e；当 y1 时，F Y(y)=P0X1+PX 1=1 于是 FY(y)=()因为 fY(y)=所以 E(Y)=1yeydy+01ye-ydy=23 【正确答案】 因为 E(Xi)=(i=1，2，n)，所以 的无偏性要求是这就是约束条件，而目标函数为 由拉格朗日乘数法，作函数
