1、考研数学（数学一）模拟试卷 392 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶而非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 g(x)可微， f(x)=ln2(1+g(x)+2ln(1+g(x)，f (1)=1，g(1)= ，则 g(1)=（A）1（B） 0（C） 2（D）3 设 f(x，y)= (x，y)(0，0) ，f(0，0)=0，则 f(x，y)在(0，0) 处（A）不连续（B）连续，但（C）连续且 但不可微（D）可微4 设 y=f(x)在1，3上单调，导函数连续，反函数为 x
2、=g(y)，且 f(1)=1，f(3)=2 ，则 =_（A）13（B） 53（C） 52（D）125 设 A，B，C 是，n 矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是（A）A TBTATCT=E（B） BAC=CAB（C） BA2C=E（D）ACAB=CABA6 设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是7 盒中盛有 10 个分币，其中含有 0 个，1 个，2 个，10 个铜币是等可能的，现向盒中放入一个铜币，然后随机从盒中取出一个分币，则这个分币为铜币的概率是（A）510（B） 610（C） 511（D）6118 设总体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n 是取自
3、总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2，则 EX2 的矩估计量是二、填空题9 设曲线 的极坐标方程是 r=e(0)，则 上与直线 y+x=1 平行的切线的直角坐标方程是_10 设 u(x，y)满足 =y2，则 M(x，y)=_11 设有摆线 L () ，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积 A=_12 设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 S，都有其中 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，则 f(x)_13 已知 ，则 A1 =_14 假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是p(00 时单调增加17 设 u=f(xy， x2y 2
4、，x)，其中函数 f 有二阶连续偏导数，试求： ( )du； ()18 求空间曲线积分 J=Ly2dx+xydy+xzdz，其中 L 是圆柱面 x2+y2=2y 与平面 y=z1的交线，从戈轴正向看去取逆时针方向19 设函数 Fn(x)= ，x 0，+)，其中，n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数，求证： ()F n(x)在(0，+)存在唯一零点xn； ( ) ln(1+xn)收敛； () Fn(x)=+20 已知 4 元齐次线性方程组 的解全是 4 元方程(ii)x1+x2+x3=0 的解， () 求 a 的值； ()求齐次方程组(i)的解； ()求齐次方程(ii)
5、的解21 已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 =(1，2，1) T 且满足 A=2 ()求该二次型表达式； () 求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； () 若 A+kE 正定，求 k 的取值22 设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y j)(i，j=1，2)，且 PX=x2= ， PY=y1X=x 2 = ，PX=x 1Y=y 1= ，试求： ()二维随机变量(X， Y)的联合概率分布； ()X 与 Y 的相关系数 xy； ()条件概率PY=yjX=x 1，j=1 ，223 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是p
6、(00，则 f(x)=113 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 12【试题解析】 首先求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值依题意 X 取值为 2，3，且 PX=n=pqn1 +qpn1 ，(q=1 p)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 这里就是要对定积分 Jn 作恒等变形用分部积分法得()直接计算不易实现，先作恒等变形即题()中的方法得到16 【正确答案】 x(0，+)时 f(x)单调增加 f(x)0(x(0，+)且在(0，+)的子区间上 f(x)0f(x)=kln(1+x)arctanx 则若 k0，则 f(x)0)，于是只
7、需考察 k0 的情形令 g(x)=kx2x+k 1，则当 x0 时 f(x)与g(x)同号 由于 g(x)满足 由此可见 g(x)在(0， +)上的最小值 为使必须且只需正数 k 满足即使得f(x)=kln(1+x)arctanx 当 x0 时是单调增函数的 k 是大于或等于 的一切正数17 【正确答案】 () 利用一阶全微分形式不变性，直接求全微分得 du=f 1d(xy)+f2d(x 2y 2)+f3dx =f 1(ydx+xdy)+2f 2(xdxydy)+f 3dx =(yf 1+2xf2+f3)dx+(xf12yf 2)dy () 由 du 表达式中 dx 的系数可得 u x=yf1
8、+2xf2+f3 上式再对y 求偏导数，即得 u“ xy=y(f1)y+2x(f2)y+(f3)y+f1 由于 f 1=f1(xy，x 2y 2，x)， f2=f2(xy，x 2y 2，x) ，f 3=f3(xy，x 2y 2，x) ， 它们仍是复合函数，求它们关于 y的偏导数与求 f(xy，x 2y 2，x)关于 y 的偏导数的方法是相同 的，同样由复合函数求导法有 (f 1)y=xf“112yf“ 12， (f 2)y=xf“212yf“ 22， (f 3)y=xf“312yf“ 32 代入 u“xy的表达式，并利用 f“12=f“21(因为它们连续)，得 u“ xy=y(xf“112yf
9、“ 12)+2yf“212yf“ 22)+xf“31 2yf“32+f1 =xyf“11+2(x2y 2)f“124xyf“ 22+xf“312yf“ 32+f118 【正确答案】 L 的方程是 L 的参数方程是 x=cost， y=1+sint， z=2+sint 按 L 的定向 t 从 0 到 2，于是代公式得 J= (1+sint)2(sint)+(1+sint)cos 2t+(2+sint)cos2tdt= (2sin 2t+3cos2t)dt=，其中( sintsin 3t+2sintcos2t)dt19 【正确答案】 ()F n (x)在0，+) 内可导（也就必然连续），又Fn(x
10、)在0，+) 单调上升 Fn(x)在(0，+)有唯一零点，就是这个 xn ()在前面的证明中已得估计式 ln(1+xn )x n (n)()前面已导出20 【正确答案】 () 因为方程组(i) 的解全是(ii)的解，所以(i)与(iii)同解那么(i)和(iii)的系数矩阵有相同的秩如 a=0，则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 a0由于因为 a 和 a1 不能同时为 0，故秩 r(A)=3又当 a= 时，r(B)=3 ，此时(i) 与(iii)同解 则通解是 k，其中 k 为任意实数 ()由于 x1+x2+x3=0 的基础解系为 1=(1，1，0，0)T， 2=(1， 0，1，0)
11、 T， 3=(0，0，0，1) T，则通解是 k11+k22+k33，其中k1，k 2，k 3 是任意实数21 【正确答案】 () 据已知条件，有解出a12=2，a 13=2，a 23=2，所以 xTAx=4x1x2+4x1x34x 2x3 得矩阵 A 的特征值为 2，2，4 得=2 的特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T；得 =4 的特征向量3=( 1，1， 1)T 将 1， 2 正交化令 1=1，则再对 1， 2， 3 单位化，有xTAx=()因为 A+kE 的特征值为 k+2，k+2，k4，所以当k4 时，矩阵 A+kE 正定22 【正确答案】 依题意，随机变量 X
12、 与 Y 的可能取值分别为 x1，x 2 与 y1，y 2，且 PX=x1=1PX=x 2=1 =14 又题设 PX=x 1Y=y 1=14，于是有PX=x1Y=y 1=PX=x1，即事件X=x 1与事件Y=y 1相互独立，因而X=x 1的对立事件X=x 2与Y=y 1独立，且X=x 1与Y=y 1的对立事件Y=y 2独立；X=x2与Y=y 2独立，即 X 与 Y 相互独立 ( ) 因 x 与 y 独立，所以有 PY=y1=PY=y1X=x 2=23； PY=y2=1PY=y 1=13；PX=x 1，Y=y 1=PX=x1PY=y1= ；PX=x 1，Y=y 2=PX=x1PY=y2= ；PX
13、=x 2，Y=y 1=PX=x2PY=y1= ；PX=x 2，Y=y 2=PX=x2PY=y2= ；或PX=x2，Y=y 2=1 ；于是(X，Y) 的联合概率分布为()由()知 X 与 Y独立，因此它们的相关系数 XY=0 () 因 X 与 Y 独立，所以 PY=yjX=x 1=PY=yj，j=1，2，于是有 PY=y1X=x 1=PY=y1=23， PY=y2X=x 1=PY=y21323 【正确答案】 依题意，试验总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pqm 1，其中 m=1，2，q=1 p题中数据就是从总体 X 中取出的样本值，样本容量 n=10其未知参数 p 的矩估值与 q 的最大似然估计值待求 ()试验成功率p 的矩估计量 ，相应矩估计值为 ()最大似然函数 L(x1， ，x 10；p)，简记为 L，则于是试验成功率 p 的最大似然估计值 ，根据最大似然估计的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为
